人教高中数学必修四第二章231 24.docx

§ 2.3.1平面向量基忝定理
复习引入:
1.实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作：x a
(1)|X a|=|X||a|； (2)入＞0时人a与N方向相同；人＜0时入7与a方向相反；入=0时人
5=6
2.运算定律
结合律：(|i5)=( ).1)a；分配律：(^-+(1)5 = ^ a+yia , ^(a + b )=^ a + ^ b
3.向量共线定理向量方与非零向量云共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b = a.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果石是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量云，有且只有一对实数入1，入2使3=^ 1^ +X2£2•
探究：
(1)我们把不共线向量"、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底―、e 2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.几1，入2是被云，弓，e?唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1已知向量e】，e2求作向量-2.5ej +3e2.
例2如图U7ABCD的两条对角线交于点M,且AB = a,
AD=b ,用a,島示応，MB ,尿^和而
OB表示OP.
(2)设刃、西不共线，点P在0、A、B所在的平面内，且OP = (\-t}dA + tdB(teR). 求证：
A、B、P三点共线.
例5已知a=2e\-3e^ b= 2ei+3e2>其中勺，％不共线，向量c=2ei-9g2，问是否存在这样的实数
2、〃，使2 = 2： + 〃乙与c共线.
四、课堂练习：
1.设01、02是同一平面内的两个向量，则有()
A.®、02 一定平行
B.S、02的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有。

=加1+〃02(久、“UR)
D.若切、％不共线，则同一平面内的任一向量a都有0=加1+必2(久、〃WR)
2.已知矢量a = 0i-202，b =2^I+^2>其中引、％不共线，则a+〃与c =6*202的关系
A.不共线B共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量6、血不共线，实数兀、尹满足(3x-4y)ei+(2x-3j)e2=6ei+3e2,则兀・y的值等于()
A.3
B.・3
C.O
D.2
4. ___________________________________________________________已知a、〃不共线，且。

=久1°+久2〃(久1'弘丘出，若c与〃共线，则久i= ______________ .
5.已知久i>0,久2>0, 6、02是一组基底'且a =2101+^202,则a与勺____ , a与__________ (填共线或不共线).
§ 2.3.2— § 2.3.3平面向量的正交分解和坐标叢录及运翼
一、复习引入：
1.平面向量基本定理：如果哥，石是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量云，有且只有一对实数人1，入2使a = X 1^] +^2^2
(1)我们把不共线向量ei、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量8在给出基底e I、e 2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.九，入2是被云，£，石唯一确定的数量
二、讲解新课：
1.平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量八丿作为
基底.任作一个向量Q,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数兀、
a = xi + yj ............... ①
我们把(兀,7)叫做向量Q 的(直角)坐标，记作
a = (x.y) (2)
其中兀叫做Q 在兀轴上的坐标，尹叫做Q 在尹轴上的坐标，Q 式叫做向 量的坐标表示.与a 柏等的阿皐西芈标电为(兀,尹).
特别地，Z = (1,O), j = (0,1), 0 = (0,0).
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA = a,则点/的位置 由a 唯一确定.
设OA = xi + yj ,贝！J 向量0/的坐标(兀,尹)就是点/的坐标；反过来，点/的坐标(兀，尹)也 就是向量刃的坐标•因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示.
2. 平面向量的坐标运算
(1 ) 若。

=(兀1，尹1), b = (x 2,y 2),贝！J a + b =(旺+兀2，必+%) ‘ a_b = (x\-x 2,y 1 -y 2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为八 j ,贝\\a + b = (x x i + yj) + (x 2z + y 2j) = + x 2 )z +
+ ,y 2 )j
即Q + b =(兀1 +兀2，北+儿)，同理可得a_b =(旺-x 2?y 1 -y 2)
(2) 若力(兀1，必)，3(兀2，儿)，则AB = {X 2-x l9y 2-yj
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB = OB — OA =( X2， y2)—(xi ，yi)=(x2-xi ， y2_yi)
(3) 若 a - (x 9y)和实数 2,则 Aa = (Ax,Ay).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
y
a
i i • • • i • i ' !
! •
I
O 1
X
儿
a /
y
/(x 』)
... 刁
k
o
X
y ,使得
设基底为八八则加=A(xz + yj) = Axi + Ayj，即加=(Ax, Ay)
三、讲解范例：
例1已知A(x” yj, B(X2, y2)，求4S的坐标.
例 2 已知a =(2, 1), b =(-3, 4),求a + &, a-b , 3 a+4乙的坐
标.
例3已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-l, 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由AB = DC得Di=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时, 得D2=(4, 6),当平行四边形为DACB时，得D3=(-6, 0) 例4已知三个力片(3, 4), F2 (2, -5), F3 (x, y)的合力F l+F2+F3=0 ,求毘的
坐标.
解:由题设瓦+可+瓦=6得：(3, 4)+(2, -5)+(x, y)=(0, 0)
3+ 2 + x = 0 x = -5 即：\/J
4— 5 + j = 0 [ j = 1 .•.场(一5, 1)
四、课堂练习：
--- * 1 -------- * 一
1.若M(3, -2) N(-5, -1)且MP = -MN,求P 点的坐标
2.若A(0, 1), B(l, 2), C(3, 4),则AB-2BC= ______________ .
3.已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(l, 3), D(5, -3),求证：四边形ABCD
是梯形.
§ 2.3.4平面向量共线苗坐袜叢示
一、复习引入：
1.平面向量的坐标表示
分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量八丿作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数*、y ,使得a = xi + yj
把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a = (x,y)
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，/ = (1,0), j = (0,1)- 0 = (0,0).
2. 平面向量的坐标运算
若a = (x n vj , Z> = (x 2,v 2),
则 a + 方=(X] + 七，Vi + ”2)，a -b - - x 2,v x - v 2) > 加=(/be,勿).
若*1，北),5(x 2, v 2), KiJ J5 = (X 2 -X 1?J 2 -J J 二、讲解新课：
a //
b (b 乂6)的充要条件是 xiy2-x 2yi=0
设 a =(xi, yi) , b =(x 2,
y 2) 其中 b .
1 2
消去入，xiy 2-x 2yi=0
IJi =尿
一个不为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b (bzO)o 兀1尹2_兀2
尹］=0
三、讲解范例:
例 1 已知 5=(4, 2), b =(6, y),且 a // b ,求 y.
例2已知A(-l,
-1), B(l, 3),
C(2, 5),试判断A, B, C 三点之间的位置关系.
例3设点P 是线段PR 上的一点，Pi 、P2的坐标分别是(xi ，yi), (x 2, y 2).
(1)
当点P 是线段P1P2的中点时，求点P 的坐标；
⑵当点P 是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量5=(-1, x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x
由云=入 B 得,(xi ， yi) = X(x 2, y 2) d
探究：(1)消去、时不能两式相除，••』” 『2有可能为o, m
..X 2,
y 2中至少有
(2)充要条件不能写成巴=生
兀］ 兀2
TX1，X2有可能为0
a - Ab
解：V 5=(-1, x)与b =(-x,2)共线(-l)X2-x*(-x)=0
・・.X=± V2T N与方方向相同/.x= V2
例5已知A(-l,-1), B(l, 3), C(l, 5) , D(2, 7),向量屈与而平行吗？直线
AB与平行于直线CD吗？
解：V AS =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1, 7-5)=(1, 2)
又V2X2-4X1=O /. AB // CD
5-(-1))=(2, 6) , AB=(2, 4), 2X4-2X 6^0 /. AC与曲不
平行
.'.A, B, C不共线/.AB与CD不重合 A AB//CD
四、课堂练习：
1.若a=(2, 3), b=(4, -1+j),且a//b,则尸( )
A.6
B.5
C.7
D.8
2.若A(x, -1), B(l, 3), C(2, 5)三点共线，则x的值为( )
A.-3
B.-\
C.l
D.3
3.若AB =i+2/, DC =(3-x)i+(4-y)/(其中i、/的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).
45与DC共线，则x、y的值可能分别为()
A.1, 2
B.2, 2
C.3, 2
D.2, 4
4.已矢口a=(4, 2), b=(6, y),且a//b,则尸____________ .
5.已知a=(l, 2), b=(x, 1),若a+2b与2a-b平行，则x的值为_____________ .
6.已知oABCD四个顶点的坐标为A(5, 7), B(3, x), C(2, 3), D(4, x),则尸___________________ .
§ 2.4.1平面向量的數量釈的畅理背繋及基會义
一、复习引入:
1.向量共线定理向量方与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数使
b a.
2.平面向量基本定理：如果勺，勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量云，有且只有一对实数入”入2使5 = ^. 1^ +^2e 2 3. 平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量八丿作为基底.任作一个向量a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ,使得a = xi + yj 把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a = (x,y)
4. 平面向量的坐标运算 若o = (x 1,j 1), b = (x 2,y 2),则a + b = (x t +x 2,y t +y 2), a-b = {x x -x 2,y x -j 2),
Aa = (Ax, Ay).
若 A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2), JUM5 = (x 2-x t ,y 2 -
5. a // b (b 工0 )的充要条件是xiy 2-x 2yi=0
6.
线段的定比分点及入
&点P 的位置与久的范围的关系：
① 当久＞0时，丽与两同向共线，这时称点P 为丽的内分点.
② 当H ＜O (2H —1)时，好P 与P 鬥反向共线，这时称点P 为斥鬥的外分点. 9.
线段定比分点坐标公式的向量形式:
在平面内任取一点O ，设OP\ = & , OP 2 = b ,
Pi ， P2是直线/上的两点, P 是/上不同于P” P2的任一点，存在实数八，
使 P\P =入 PP 2 , 叫做点P 分好厶所成的比，有三种情况：
入＞0(内分)
(外分)入＜0(入 ＜・1) (外分)入＜0 (・1＜入＜0)
7.
定比分点坐标公式: 若点 P1 (xi, yi)
尸2(X2, y 2),久为实数，且P {P= A PP 2 ,则点P 的坐标为
x t +Ax 2 北 + 观
1 +
2 '1 + 2 我们称久为点P 分百鬥所成的比.
—TH Q + 肋1 久"
可得 = --------- = ------ a + ------ b .
1 +
2 1 + 2 1 + 2
10.力做的功：W=|幵|s|cosB, B是F与s的夹角. 二、讲解新课：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量刀与b,作Q4 = a , OB = b ,则A A O B= 0叫刃与b的夹角.
说明：(1)当0=0时，a与b同向；
(2)当0= JI时，a与b反向；
JT
(3)当& =—时，a与Z•垂直，记a丄/>；
2
(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°^0^180°
C
2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与"它们的夹角是&,贝IJ数量
|a||Z>|cos0叫&与〃的数量积，记作a•万，即有a b = |ffi(|Z>|cos0,
(0W8W”).并规定0与任何向量的数量积为0.
•探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosG的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成mb；今后要学到两个向量的外积aXb,而sb是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ • ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“ X ”代替.
(3)在实数中，若狞0,且a-b=0,贝必=0；但是在数量积中，若a却，且ab=0,不能推出b=0.因为其中cosG有可能为0.
(4)已知实数a、b、c(brO),贝!] ab=bc na=c.但M a b = b ea = c 如右图：a-
b = |a||Z>|cosp = |/>||OA|, be = |/>||c|cosa = |^||OA|
ab = be {Bare
(5)在实数中"有(a・b)c = a(b・c),但是(a b)c a(b c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 3•“投影”的概念：作图
定义：Q|cose叫做向量5在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为0；当6 = 0°时投影为|切；当6 = 180°时投影为-国.
4.向量的数量积的几何意义：
数量积a-b等于a的长度与b在a方向上投影|/>|cos0的乘积.
5.两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1°ea = a^e =|tz|cosO
2°Q丄b o = 0
3°当a 与b 同向时,a-b = \a\\b\；当a 与b反向时,ad = -|d||b|.特别的a-a = 或| a |= Ja • a
4° cosB = 口b
\a\\b\
5°\a-b\ W \a\\b\
、讲解范例：
例1已知|Q|=5,|切=4,a与b的夹角6 =120°,求a • b.
例2已知|a|=6,|切=4, a 与 b 的夹角为60°求(a+2b) • (a-3b).
例3已知|Q|=3,|切=4,且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4判断正误，并简要说明理由.
① a• 0=0；② 0 • a = 0 ；③0—AB = BA:④丨a • b \ = \ a I I b \；⑤若a
HO,则对任一非零b有匂・bHO；®a - b=0,则玄与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a , b , c都有(a • b ) c= a ( b • c )；⑧刃与b是两个单位向量，则a2 = b 2
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0 •匂=0；对于②：应有0 • a =0；
对于④：由数量积定义有=
这里〃是刀与b的夹角，只有〃=0或0=71：时，才有丨玄・6丨=丨爲丨・丨/>丨；
对于⑤：若非零向量刀、b垂直，有刃• b=0；
对于⑥：由玄• b = 0可知刀丄b可以都非零；
对于⑦：若刀与c共线，记a = A c,
则玄・b = (T I C)・b = A (C・b) = 4 ( Z? • c),
・；(a • Z>) • c = A ( b • c ) c = I b • c ) A c =( Z? • c ) a 若匂与c不共线，贝!j(刃• b) c工(b • <? ) a .
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6已知丨刃丨=3, |b|=6,当①a // b , ® a L b ,③刃与b的夹角是60°时，
分别求a • b.
解：①当a// b时，若刃与b同向，则它们的夹角3= 0 ° ,
・；a • b = \ a \ • \ b \ cos0° =3X6X1 = 18；
若匂与〃反向，则它们的夹角9 = 180° ,
・；a • b = \ a \ \ b \ cosl80° =3X6X (-1) = — 18；
②当匂丄b时，它们的夹角0=90° ,
・*. a • b = 0 ；
③当刀与b的夹角是60°时，有
a • b= \ a \ \
b \ cos60° =3X6X 丄=9
2
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是[0° , 180° ],因此，当刃〃b时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知I|Q|=1, ,且(d“)与Q垂直，则Q与b的夹角是( )
A.60°
B.30°
C.135°
D. 4 5 °
jl
2.已知\a\=2, \b\=\, Q与6之间的夹角为亍，那么向量m=a-4b的模为()
A.2 5.2^3 C.6 D.12
3.已知Q、b是非零向量，贝ij|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( )
A.充分但不必要条件必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
JT
4.已知向量0、b 的夹角为3，14=2, |b|=l,则\a+b\ • \a-b\= __________ .
5.已知a+b=2i-Sj, a-b=-Si+16J,其中Z、丿是直角坐标系中x轴、尹轴正方向上的单位向量，
那么Q •b= ____________ .
6.已知Q丄b、c 与Q、b 的夹角均为60°,且|Q|=1, |b|=2, |c|=3,则(a+2b-c)2 = _______ .
7.已知\a\=l, \b\=y[2 , (1)若Q〃方,求Q・b； (2)若a、b 的夹角为6 0 °,求|a+b|；(3)若
a-b 与Q垂直，求Q与b的夹角.
8.设加、〃是两个单位向量，其夹角为6 0 °,求向量a=2m+n与b=2n・3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b,求使|Q+划最小时的f值，并求此时b与Q+仞的夹角.
§ 2.4.2平面向量数量釈的运翼律
一、复习引入：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量8与b,作OA = a , OB = b ,则Z.AO B= 0(0W&W”)叫a与〃的夹角.
2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与厶，它们的夹角是贝擞量|a||Z>|cos0叫&与的数量积，记作同，即有a-^ = |a||Z)|cos9,
(0 W &W ”).并规定0与任何向量的数量积为0.
3.“投影”的概念：作图
定义：QlcosG叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为0；当0 = 0。

时投影为\b\；当6 = 180。

时投影为-|久
4.向量的数量积的几何意义：
数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|/>|cos0的乘积.
5.两个向量的数量积的性质：
设Q、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1°e-a = a-e =|tz|cos0； 2° a丄b 0 a・b = 0
3°当a与b同向时,= \a\\b\；当a与b反向时,ad = -|a||b|.特别的a-a = \af或| a \= y/a a
4°cos0 = a5°\a-b\ W \a\\b\
\a\\b\
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
证：设 Q , b 夹角为0,贝a • b = |（7||Z>|cos0, b • Q = Q||Q |COS B
・ °・ a • b = b • a
2.
数乘结合律：（九Q ）d =九（°切=Q •（九b ）
证：若九〉0,（九d ）-b =X|a||Z>|cosO,九（a ・b ） = X|a||fe|cos0, Q •（九b ） =X|a||i|cos0, 若九v 0,（九a ）・b =|九Q |Q|COS （兀一0） = -X|a||6|（-cos0） =X|a||i|cos0,九（a ・b ） =X|a||&|cos0, a •（九 b ） =\a\\X&|cos （7t-0） = -X|a||Z ）|（-cosO ） =X|a||Z>|cos0. 3・分配律：（Q + b ）・c = Q ・C +
在平面内取一点O,作OA = a, AB = b, OC = c, '•* a + b （即OB ）在c 方向上的 投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 \a + b\ cos0 = \a\ cosOi + \b\ cos02
・：| c | |Q + b\ cosG =\c\ \a\ cosOi + \c\ \b\ cos02» ••- c-（a + b ） = c a + c ・b b'C 说明：（1） 一般地，（a ・ b 、cf a （ b • c ）
（2） a • c = b ・ c, c HO* a = b （3） 有如下常用性质：八=丨I 2, （5+ b ）7
= a 2
+ 2 a • b + b
例1已知Q 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，Q - 4b 与7Q - 2b 垂直，求Q 与方 的夹角.
解：由（6? + 3b ）（Ja - 5b ） = 0 => 7a 2
+ 16a b -15b 2
= 0 ①
（Q - 4b ）（7a -2b ） = 0^ 7a - 30a-b + 8Z ）2 = 0
②
两式相减：2a ・b = I ）1
代入①或②得：a=b 2
… . b
t2 ]
设 a 、b 的夹角为G,贝!] cosO = ------- = --------- = —
/.0 = 60°
lall^l 2| 肝 2
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD 中，AB = DC, AD = BC , AC = AB + AD
------ *• r *• * 0 * 2 * 2 ► *
：.\AC\1=\AB + AD\^=AB + AD + 2AB - AD ^BD = AB-AD ,
------ ► ► ► ► 2 ► 2 ► ►
:.\BD^=\AB-AD^=AB + AD - 2 AB - AD
:.\AC^+\BD^ = 2AB~ +2AD~= \AB^ +|5C|2 + | DC |2 +\AD^ 例 3 四边形 ABCD 中，AB = a , BC =
b, CD = c, DA = d,且8・ b = b • c = c • d= d • a,试问四边形ABCD 是什么图形？
（刀+ b ）（c+d ） = a • c + a • d + b • c + b • d 讲解范例: 即：（a + b ）・c = a c +
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：°.°a+b+c+d=O, •*. a+b=— (c+d), .-.(a+Z>)2= (<?+</) 2 即I a |_+2 a* b ~\~ \ b \ ^ = \ c「+2c・d+| d \
由于 a • b —c • d, a I 2+ I b \ 2— \ c「+| d \ '①
同理有I a丨2+ I dI c | “「②
由①②可得= ，且丨厶丨=丨孑丨即四边形ABCD两组对边分别相等. 四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由b = b • c,有〃 (a — c ) = 0 ,而由平行四边形ABCD可得a =—c,代入上式
得b• (2 a)= 0 ,即 a • Z> = 0 , a L b也即AB丄BC.
综上所述，四边形/BCD是矩形.
评述：⑴在四边形中，AB, BC, CD, D4是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即
a+ b+ c+ d=0,应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种
关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是()
A.向量的数量积满足交换律向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律
D.a • b是一个实数
2.已知|a|=6, |切=4, a 与 b 的夹角为 6 0 °,贝!|(a+2Z>) • (a-3b)等于( )
A.72 5.-72 C.36 D.-36
33
3.|a|=3, |切=4,向量a+— b与a-一b的位置关系为( )
44
7T
A.平行垂直 C.夹角为丝D.不平行也不垂直
3
4. ______________________________________________________ 已知|a|=3, |切=4,且a
与 b 的夹角为150°,贝Ij(a+Z))2= _______________________________ .
5.已知|a|=2, |切=5, a • b=-3,则a+b|= ____ , \a-b\= __________ .
6.设|a|=3, |b|=5,且a+久b 与a~ ^-b垂直，则久= _____________ .
§ 2.4.3平面向量数量釈的坐袜叢录.模、夹角
1、复习引入：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与〃，作0A = a , OB = b ,则A A O B= 9（OW&W”）叫a与〃的夹角.
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量&与厶，它们的夹角是则数量|a||*|cos0叫a与〃的数量积,记作a・b,即有a-b = |a||6|cos0,
（0 W & W ”）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3.向量的数量积的几何意义：
数量积a-b等于a的长度与b在a方向上投影|^|cos0的乘积.C
4.两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与0同向的单位向量.
1°e-a = a-e =|^z|cosO； 2°al.b 0 a・b = 0
3°当d与b同向时，a-b = |a||b|；当Q与b反向时，a-b =一|d||b|.特别的a-a =或
\ a \=^l a a
4° cosG = 口 "；5。

匕.切W |a||b|
\a\\b\
5.平面向量数量积的运算律
交换律：a ■ b = b • a
数乘结合律：（Xa）-b =X（ab） = a•（九b）
分配律：（Q +b\c = a c + b e
二、讲解新课：
1・平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量。

=（兀1』1）, b =（兀2』2），试用Q和b的坐标表示
设d是兀轴上的单位向量，丿是尹轴上的单位向量，那么a = x x i + yj , b = x2i + y2j 所以a-b = (XjZ + yj)(x2i + y2j) = x x x2i2 + x x y2i • j + x2y{i • j + y x y2j2
又i・Z = l, j• j = \, i• j = j・i = 0,所以a-b = x r x2 + y r y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a-b = x x x2 +y r y2
2.平面内两点间的距离公式
一 兀
又・.・ owes, :. o = —
4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5如图，以原点和力(5, 2)为顶点作等腰直角△Q4B,使Z 〃 = 90。

，求点〃和向量48的 坐标.
、设 a = (x, y),则 | a |2= x 2 + y 2
或 | a |= J* +才.
(2)如果表示向量Q 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(兀,北)、(x 2, j 2),那么
| a |= Jg —勺尸+①―力)2 (平面内两点间的距离公式)
二、向量垂直的判定
设0 =(兀1』1), /?=(兀2，尹2)，则Q-Lb O 兀1兀2 +尹1尹2 = 0 三、两向量夹角的余弦(owes%)
八
a b
CO50 =
兀i 兀2 + y 』2
\a \'\b \ Jxj + yj
2 , 2 兀 2 +丁2
四、 讲解范例： 五、 设Q = (5, -7), b = (-6, -4),求a ・b 及a 、b 间的夹角6 (精确到1°) 例2已知力(1,
2), BQ, 3), C(-2,
5),试判断^ABC 的形状，并给出证明.
例3已知a = (3, -1), b = (l, 2),求满足x a = 9与兀小=一4的向量x.
解：设 x =(6
s),
X' a = 9
[ 3t-s = 9
由” => 5
=> x • Z? = —4 ” + 2s = -4
s =-3
Ax=(2,
-3)
例4已知a= ( 1 , V3 ), b= ( V3 + 1 , V3 - 1 ),则Q 与b 的夹角是多少？
分析：为求d 与b 夹角,需先求Q ・b 及丨°丨• \ b \ ,再结合夹角0的范围确定其值. 解：由 Q = ( 1 , V3 ), b — ( V3 + 1 , A /3 — 1 )
有 a • b= V3 + 1+ V3 (A /3 — 1) = 4, \ a \ = 2 , \ b \ = 2 ^2 .
记Q 与b 的夹角为0,则c o
a b _
V2 H-H - 2
解：设〃点坐标(兀，y),则 OB = (x, y), AB = (x-5, y-2)
*.* OB 丄 AB ・*.x(x-5) + y(y-2) = 0 即：x +y 2
—5x -2y = 0
又 *.* | OB | = | AB |
.\x 2 +y 2 = (x-5)2 + (y-2)2 即：10兀+ 4尹=29
求力直
A2X(-l)+3X(/l-3) = 0
六、课堂练习：
1. 若 a=(-4, 3), b=(5, 6),贝!]3|a 『一 4a ・b=( ) A.23
5.57
C.63
D.83
2. 已知 A(l, 2), BQ, 3), C(-2, 5),则厶ABC 为( )
A.直角三角形
B 锐角三角形C.钝角三角形
D.不等边三角形
3. 已知a=(4, 3),向量b 是垂直a 的单位向量，贝0 b 等于( )
3 4 4 3 3 4
3 4 A.(=—)或(一,？)
3(?,—)或
5 5 5 5
5 5
5
5
3
4
4 3
3 4 3 4 D.(★或(一齐)
4. a=(2, 3), b=(・2, 4),则(a+b) • (a-b)= _________ .
5. 已知力(3, 2), 5(-1, -1),若点P(x, -|)在线段/〃的中垂线上，则尸 _____________ .
6.
已知力(1, 0), B(3, 1), C(2, 0), ^a=BC , b=CA,则 Q 与 b 的夹角为
由[—-2尸0』 10x + 4y = 29 x 2 或＜
丁
2
一 7 3
3 7
.•.B 点坐标; 例6在△48C 中,
AB =(2, 3), &C=(1, k),且^ABC 的一个内角为直角,
解：当2 = 90。

时, ABAC = 0, ••.2X1+3X"。

当B = 90°时, AB • BC = 0, BC = AC-AB = (l-2, k-3) = (-1, k-3)
当 C=90°时，AC BC = 0,
/.-I + 逖一3) = 0。