相似三角形的判定的综合能力提升
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2
上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C 的坐标为________________
y
B
Байду номын сангаас
x
C ''
C'
O
C
A
旋转
模型4：手拉手模型
A
D
D E
B
E C
判定定理3
例4：已知如图
AB AD
BC DE
AC AE
点B，D，
F
，E在同
一条直线上
求证: △BAD ∽△CAE
A E
F D
B
浮山县第二中学数学示范课
第23章 相似三角形判定的综合应用
九年级上册
模型1：平行线型
预备定理： D' E'
几何语言：A字型
如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
D
8字型
A 如果D'E'∥BC，
那么△AE'D'∽△ABC
E
B
C
例1：在 ABCD中，找出图中相似的三角形
共有 对
D
C
G F
A
B
E
模型2：相交线型---反“A”型
P
8
2cm/秒
A
4cm/秒
Q 16
C
分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以∆PBQ
与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为，即
PB QB AB CB
PQ∥AC；另一种情况为
PB CB
QB AB
。
如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM， 点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动同时 点Q从C点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设 运动的时间为X。 （1）当X何值时，PQ‖BC？ （2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长， 若不能，请说明理由。
平面镜
性质 相似比 性质
对应角相等
对应边成比例 （合比、等比）
中位线 重心
位
基平 本移
似
变旋
图
换转 在轴
形
坐对 标称
的相
反似
映等
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些 收获？
2.你还有哪些疑问或还想研究 哪些问题？
反馈练习 在△ABC中，∠BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
CD⊥BC交BC于点D,图中相似三角形有哪些？
A
* 射影定理：
AB2 =BD·BC
AD2 =BD·DC
B
D
AC2 =CD·CB
C
模型2：相交线型---飞镖型
A
D
蝴蝶结
E C
B
判定定理2
例2：如图 已知： AD·AB = AF·AC 求证： △DEB∽△FEC
A
F D
E
B
C
练习
如图,已知直线y= - 1 x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴
连AM。
求证：①△MAD∽△MEA
B
②AM2=MD·ME
E A
D
C M
巩固提高：在∆ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从 点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q 分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
C
手拉手模型
模型5：十字架模型
A
DA
D
M
B
E
F
M
CB
E
F C
模型6：一线三等角模型 （ 一线三直角）
例5：如图，在△ABC中，AB = AC，
A
P,D分别是BC，AC边上的点，且∠CPD=∠B
（1）求证：AC·CD= CP·BP
（2）若 AB = 10 BC =12，当PD‖AB时，
求BP的长
D
A
判定定理1：
D
如果∠ACB=∠ADE
因为∠A=∠A E 那么△ADE∽△ACB
C
B
练习1：如图，P是△ABC 的边上一点，过点P作
直线截得的三角形与△ABC 相似，那么这样的直
线可以作
条？
A
A
P
B
P
C
B
P
C
模型2：相交线型---母子相似型
A A
D
E
B
D
B
C
B
母子相似型
例3：在Rt△ABC中， ∠BAC为直角，
B
P
A
Q
C
B
C
P
例6 如图，已知点A B在直线BD的同侧，AB = BD CD = BD 垂足分别为B ，D，且AB =8 CD =6
BD =16， 在线段BD上取一点C,使得△BAD 与 △CAE 相似，求BP的长
A
2
C
8
B
x
6
3
1
P 16-x D
定义
定义
影子
相
相 似 图
似 三 判定 角
应
画
坐
用
法
标
形
形
上有一点C，使B、O、C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C 的坐标为________________
y
B
Байду номын сангаас
x
C ''
C'
O
C
A
旋转
模型4：手拉手模型
A
D
D E
B
E C
判定定理3
例4：已知如图
AB AD
BC DE
AC AE
点B，D，
F
，E在同
一条直线上
求证: △BAD ∽△CAE
A E
F D
B
浮山县第二中学数学示范课
第23章 相似三角形判定的综合应用
九年级上册
模型1：平行线型
预备定理： D' E'
几何语言：A字型
如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
D
8字型
A 如果D'E'∥BC，
那么△AE'D'∽△ABC
E
B
C
例1：在 ABCD中，找出图中相似的三角形
共有 对
D
C
G F
A
B
E
模型2：相交线型---反“A”型
P
8
2cm/秒
A
4cm/秒
Q 16
C
分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以∆PBQ
与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为，即
PB QB AB CB
PQ∥AC；另一种情况为
PB CB
QB AB
。
如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM， 点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动同时 点Q从C点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运动，设 运动的时间为X。 （1）当X何值时，PQ‖BC？ （2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长， 若不能，请说明理由。
平面镜
性质 相似比 性质
对应角相等
对应边成比例 （合比、等比）
中位线 重心
位
基平 本移
似
变旋
图
换转 在轴
形
坐对 标称
的相
反似
映等
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些 收获？
2.你还有哪些疑问或还想研究 哪些问题？
反馈练习 在△ABC中，∠BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
CD⊥BC交BC于点D,图中相似三角形有哪些？
A
* 射影定理：
AB2 =BD·BC
AD2 =BD·DC
B
D
AC2 =CD·CB
C
模型2：相交线型---飞镖型
A
D
蝴蝶结
E C
B
判定定理2
例2：如图 已知： AD·AB = AF·AC 求证： △DEB∽△FEC
A
F D
E
B
C
练习
如图,已知直线y= - 1 x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴
连AM。
求证：①△MAD∽△MEA
B
②AM2=MD·ME
E A
D
C M
巩固提高：在∆ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从 点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q 分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
C
手拉手模型
模型5：十字架模型
A
DA
D
M
B
E
F
M
CB
E
F C
模型6：一线三等角模型 （ 一线三直角）
例5：如图，在△ABC中，AB = AC，
A
P,D分别是BC，AC边上的点，且∠CPD=∠B
（1）求证：AC·CD= CP·BP
（2）若 AB = 10 BC =12，当PD‖AB时，
求BP的长
D
A
判定定理1：
D
如果∠ACB=∠ADE
因为∠A=∠A E 那么△ADE∽△ACB
C
B
练习1：如图，P是△ABC 的边上一点，过点P作
直线截得的三角形与△ABC 相似，那么这样的直
线可以作
条？
A
A
P
B
P
C
B
P
C
模型2：相交线型---母子相似型
A A
D
E
B
D
B
C
B
母子相似型
例3：在Rt△ABC中， ∠BAC为直角，
B
P
A
Q
C
B
C
P
例6 如图，已知点A B在直线BD的同侧，AB = BD CD = BD 垂足分别为B ，D，且AB =8 CD =6
BD =16， 在线段BD上取一点C,使得△BAD 与 △CAE 相似，求BP的长
A
2
C
8
B
x
6
3
1
P 16-x D
定义
定义
影子
相
相 似 图
似 三 判定 角
应
画
坐
用
法
标
形
形