北师大版初中八年级数学下册第二章1 认识无理数

【归纳提升】 无理数“三要素” (1)是小数；(2)是无限小数；(3)不循环．
【变式一】：巩固 (2021·济南期中)下列数是无理数的是( B )
A．－59
·
B．π C．0 D．0.23
【变式二】：提升 (2021·苏州质检)如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，高为 h， h 可能是整数吗？可能是分数吗？
【一题多变】
用 48 m 长的篱笆材料，在空地上围成一个圆形的绿化场地，则该场地的面积是
(D )
A．整数
B．分数
C．自然数
D．无理数
【母题变式】 (变换条件)小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地，现共有 a 米长的篱笆材料， 他设计了两种方案，一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么
【变式一】：巩固Biblioteka (2021·太原期中)一个直角三角形两条直角边的边长分别为 3
和 5，斜边长 a，则 a 是一个___无__理__数_____数，它的整数部分是__5__．
【变式二】：提升 设面积为 5π 的圆的半径为 a. (1)a 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计 a 的值(精确到 0.1)
第二章 实数 1 认识无理数
识新知·自主预习
【旧知再现】 _整__数____和___分__数____ 统称有理数，它们都可以用有限小数和无限___循__环____(填 “循环”或“不循环”)小数来表示．
【新知初探】 阅读教材P21【做一做】，完成以下问题． 探究1：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大 正方形的边长为a，计算a2＝___2___. 思考：a可能是整数吗？可能是分数吗？为什么？ 因为12＝1，22＝4，1＜2＜4，所以a不可能是整数． 没有两个相同的分数相乘得2，故a不可能是分数． 结论：a___不__是____有理数．
因为__5__.2_2__＝27.04，__5_._3_2__＝28.09，
又因为 27.04<28<28.09，
所以 x 精确到 0.1 时，x≈__5_._3___．
所以__5_._2___<x<__5__.3___，
………………确定 x 的近似值
………………确定 x 十分位上的数
因为___5_._2_9_2__＝27.984 1，__5_.3__2___＝28.09，
解：(1)因为 πa2＝5π， 所以 a2＝5. a 不是有理数，因为既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数． (2)因为 22＝4，32＝9，4<5<9， 所以 2<a<3， 因为 2.22＝4.84，2.32＝5.29，4.84<5<5.29， 所以 2.2<a<2.3， 因为 2.22＝4.84，2.242＝5.017 6，4.84<5<5.017 6， 所以 2.2<a<2.24， 所以当 a 精确到 0.1 时，a≈2.2.
又因为 27.984 1<28<28.09，
所以__5_._2_9___<x<__5_._3___，
………………确定 x 百分位上的数
【归纳提升】 运用“夹逼法”估算无理数的“三个步骤” 1．估计 a 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小整数即为整数部分． 2．确定 a 的十分位上的数，按同样方法寻找它在哪两个连续数之间． 3．按照上述方法依次确定 a 的百分位，千分位，……，从而确定 a 的值．
【完善解答】因为客厅的面积为 28 平方米，
所以 x2＝___2_8___，所以 x 既不是整数，也不是分数，
所以 x 不是有理数．………………………………有理数的意义
因为__5__2 ___＝25，___6_2___＝36，25<28<36，
所以__5____<x<__6___，…………确定 x 的整数部分
解：因为△ABC 是等边三角形，且 AD⊥BC， 所以 BD＝DC，则 BD＝12 BC＝1， 由勾股定理得，h2＝22－12＝3， 所以既不可能是整数，也不可能是分数．
无理数的估算 【P25T2 拓展】——“夹逼法” 国涛同学家的客厅是面积为 28 平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客 厅的边长 x 是不是有理数．如果不是有理数，那么边长 x 的取值是多少(精确到 0.1)?
猜想：a___不__是____有限小数；a___不__是____循环小数． 归纳：___无__限__不__循__环__小__数____称为无理数．
【图表导思】 有理数和无理数有什么区别？
解：(1)小数形式的区别：小数中的有限小数和无限循环小数是有理数；只有 无限不循环小数才是无理数． (2)分数形式的区别：有理数都能化为分数，而无理数不能化为分数．
探究2 ：阅读教材P22，填空、观察、猜想，完成以下问题．
边长a 1＜a＜2 1.4＜a＜1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.414 2＜a＜1.414 3
面积S 1＜S＜4 1.96＜S＜2.25 1.988 1＜S＜2.016 4 ____1_.9_9_9__3_9_6__＜S＜___2_._0_0_2_2_2_5___ ___1_._9_9_9_9_6_1__6_4__＜S＜___2_.0_0_0__2_4_4_4_9___
【质疑判断】 1．有限小数都是有理数．( √ ) 2．无限小数都是无理数．( × ) 3．有理数可能是无限小数．( √ ) 4．无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数．( √ )
研重点·典例探析
无理数 【P23“例”变式】——有理数、无理数的辨别 在272 ，π5 ，23 ，1.3，0，4.14，|－7|，7.151 551…(每相邻两个 1 之间依次多一个 5)中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是无理数？ 【自主解答】整数有：0，|－7|； 分数有：272 ，23 ，1.3，4.14； 无理数有：π5 ，7.151 551…(每相邻两个 1 之间依次多一个 5).
选用哪一种方案围成场地的面积较大( B )
A．围成正方形 B．围成圆形 C．两者一样大 D．不能确定
培素养·思维拓展
【火眼金睛】 判断对错，并说明理由：一个直角三角形的两 边长分别是 6 和 8，则另一边一定是有理数．
正解：错误．理由：设另一边的边长为 x，由题意，显然 6 不可能是斜边，如果 x 是斜边边长，那么有 62＋82＝x2，解得 x＝10；如果 8 是斜边边长，那么 62＋x2 ＝82，解得 x＝2 7 . 故另一边不一定是有理数．