教学设计配方法——教案学案教学设计资料文档

配方法
教学目标
1.知识技能
1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.
2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.
3.数学思考
在根据平方根的定义解形如V=〃(∕7⅛0)的方程的过程中，能运用“整体性”将此方法迁移到解形如(加什/?) 2=p(p≥O)的方程.
4.解决问题
在学习的过程，体会配方法的运用，并能求解形如a (e广力2+片。

型的一元二次方程，进一步发展符号感，提高代数运算能力.
5.情感态度
学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.
重难点、关键
重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.
难点：用配方法解形如c=0 (IHWlO,且a为偶数)的方程.
关键：将一元二次方程转化成两个一元一次方程.
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题与达标检测题.
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容.
教学过程
一、问题情境，导入新课
小知识：堰塞湖
堰塞湖是由火山熔岩流，冰硬物或由地震活动使山体岩石崩塌下来等原因引起山崩滑坡体等堵截山谷，河谷或河床后贮水而形成的湖泊.
堰塞湖的堵塞物不是固定永远不变的，它们也会受冲刷、侵蚀、溶解、崩塌等等。

一旦堵塞物被破坏，湖水便漫溢而出，倾泻而下，形成洪灾，极其危险。

灾区形成的堰塞湖一旦决口会对下游形成洪峰,破坏性不亚于灾害的破坏力。

为此要采取开凿泄洪渠等一系列抢险措施.
南方某地区因连降暴雨，山体滑坡导致一条河流形成堰塞湖，为排除险情需要开凿400米长的泄洪渠，已知泄洪渠的截面为梯形下底是上底的3倍，高和上底长度相等，预计需挖土石方总量约为15000立方米求所挖泄洪渠的上底长度是多少米？
解：设所挖泄洪渠的上底长度是才米,根据题意得
4(K)X(X+ 2x)=15000.
2
师：这个方程是我们上节遇到的一元二次方程，如何解为类型的方程是本节课我们共同学习的目标.上述方程可化"=25.这个方程的解是什么？你会求解吗？
生：x-±5.
师：你的依据是什么？
生：我们在八年级学过平方根，用这一定义可得到x=±5.
师：我们今后将写作：x1=5, ⅛=-5.
生：及二一5不合题意，应舍去.因此所挖泄洪渠的上底长度是5米.
师：很好!这位同学的数学思维很深刻！
二、基于问题，探索方法
妨照上述解方程的方法，你能解下列方程吗？
(2χ-l) 2=9.(学生尝试)
解：2χ-l=±3.
2x—1=3 或2x—1=-3.
所以，方程的两根为汨=2,, x2=-l.
师：具有什么结构牲的一元二次方程能用上述方法去解呢？你能举出这样的例子吗？
生：举例：x=49; /=12; CrH)2=4; (3『2产=5 等.
师：请同学求解上述方程的根，要求每人至少解两个方程，之后与同伴相互交流你的方法.・
归纳(学生)：在解上述方程时,我们把原来的方程转化成两个一元一次方程.
归纳(师)：如果方程能化成/ = P或(〃a+ 〃)2=〃(/^0)的形式，那么直接
开平方可得x = ±而或∕nx+/ = ±/ .
练习1
(1)方程Y=O. 25的根是;
(2)方程2/= 18的根是；
(3)方程(户I)Jl的根是
例1用开平方法解方程9√=4.
师分析，示范完成解答.
4
解：两边同除以9,得 .
9
利用开平方法，得於
所以，原方程的根是M 二三”二.
例2用开平方法解方藜⅛=-4. 3
解：两边同除以3,彳号2二」.
因为负数没有平方根，所以虞方程没有实数根•
探究一：对于方程√÷6A÷9=25,V+6Λ=16你会解吗？请解答并说说你的理由.
Y+6A÷9=25. V+6A=16∙
I 1
0 观察比较
Y÷6x÷9=16+9.
(X+3)2=25.
V
(Λ+3)2=25.
探究二：如果换成方程√+6χ-lβ=0你会解吗
x+3 = ∑t5
师：在学生讨论方程*+6户16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤.
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.
练习2
完成下列填空空题：
(l)x2+ IOx += (x+ )2；(2)X2+X += (x+ )2；
2
(3)√--x += (x- )2
问：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
(1)V-8x +1=0；(板书)
(2)2x2 +1 = 3x;(3) 3χ2-6x+4 = 0.
生：先独立思考，自主探索，然后交流配方时发现的规律.
分析交流：(1)中经过移项可以化为Y—8x = -1,为了使方程的左边变为
完全平方式，可以在方程两边同时加上4?,得到8x+42=-1+42,从而将原方程化为(L4) 2=15；
(2)中二次项系数不是1,此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系
数2,然后再进行配方，即/-3χ = -l,方程两边都加上(2)2,方程可以化为2 2 4
, 3、2 1
4 16
(3)按照(2)的方式进行处理.
解：(1)移项，得X2- 8x= -1.
配方，得X2- 8x+42= -l+42.
(χ-4)2= 15.
即：X- 4 = 土店.
所以，方程的根为：％=拒+4，X2=-√15+4
(2)移项，得2/- 31=丁1
二次项系数化为1,得X2.1X=Λ
配方得%2-|»(3)2=_3(_扣2.2
由此可得"一》2=5.
即：x-^=±l .
所以，∖χ=^χ2=- •
(3)移项,得3χ2- 6会-4.
二次项系数化为L得/一2工=一3 .
3
4
配方，得X ~2Λ+1 = F1 ♦
3
即：U-I)2=--
所以，原方程无实根.
师：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题(比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理)，然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式⑪2+法+C = O;
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.
三、小结提升
问：本节课你在哪些方面有了新的提高，受到什么启发？
生（师完善）：1.一般地,对于V二夕或（加什〃）2二夕（020）的方程,根据平方根的定义,用开平方法取求解.
2.如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有X 的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次的方法去求解.
注意:配方时，首先把二次项系数化为1,再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方.教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程.
四、布置作业
课本P36习题22. 2选择。