高中数学 第二章 三角形中的几何计算教案1 北师大版必修5 教案

§2 三角形中的几何计算
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发引导式
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题
型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边
角互换作用
教学过程： 一、复习引入： 正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 22
2
2
A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
,cos 22
2
2
B ca a c b -+=⇔ca
b a
c B 2cos 2
22-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=，⇔ab
c b a C 2cos 2
22-+=
二、讲解X 例：
例1在任一△ABC 中求证：
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a
证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例2 在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45︒ 求A 、C 及c
解一：由正弦定理得：23
2
45sin 3sin sin =
== b B a A ∵B=45︒<90︒即b <a ∴A=60︒或120︒
当A=60︒时C=75︒22
645
sin 75sin 2sin sin +===
B
C b c 当A=120︒时C=15︒2
2
645sin 15sin 2sin sin -===
B C b c 解二：设c =x 由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+= 将已知条件代入，整理：0162
=+-x x 解之：2
26±=
x 当2
2
6+=
c 时 2
)13(2312
26223
)226(
22cos 2
2221=++=+⋅
⋅-++=-+=bc a c b A
从而A=60︒，C=75︒ 当2
2
6-=
c 时同理可求得：A=120︒，C=15︒ 例3 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积 解：（1）cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-
2
1
∴C=120︒ （2）由题设：⎩⎨⎧=-=+2
3
2b a b a
∴AB 2
=AC 2
+BC 2
-2AC •BC •osC
120cos 222ab b a -+=
ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10
（3）S △ABC =
2
323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒求BC
的长
解：在△ABD 中，设BD=x
则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 22
2
2
即
60cos 10210142
2
2
⋅⋅-+=x x 整理得：096102
=--x x 解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：
BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135
sin 16=⋅=
BC 例5 △ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ; 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *
∈N k 且1>k
∵C 为钝角 ∴0)
1(24
2cos 222<--=-+=
k k ac c b a C 解得41<<k ∵*
∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去 当3=k 时 109,4
1
cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x ,4=+y x
S )4(4
15415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15
例6 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正
弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为
BC 中点，所以BD 、DC 可表示为
2
x
，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x
，
在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(422222
22x x
BD
AD AB BD AD ⨯
⨯-+=⋅⋅-+
在△ADC 中，cos ADC ＝.2
423)2(42222
2
22x x DC
AD AC DC AD ⨯
⨯-+=⋅⋅-+
又∠ADB ＋∠ADC ＝180°
∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC
∴2
423)2(42425)2(42
22222x x x x ⨯
⨯-+-
=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2
, 所以，BC 边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下： 由三角形内角平分线性质可得
3
5
==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同
角平方关系求出sin A
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC 三边为a ，b ，c 则Ｓ△ABC ＝
B ac sin 2
1
∴
b
B
abc B ac abc S ABC 2sin 2sin =
=∆ 又
R B
b
2sin =，其中R 为三角形外接圆半径 ∴
R
abc S ABC 41
=
∆, ∴abc ＝4RS △ABC ＝4×1×0．25＝1 所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
R C
c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC ＝B ac sin 2
1
发生联系，对abc 进行整体求解
2在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求
AB
解：在△ADC 中，
cos C ＝
,14
11
3725372222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC AC AD DC AC 又0＜C ＜180°，∴sin C ＝14
3
5 在△ABC 中，
C
AB
B A
C sin sin =
∴AB ＝
.2
6
5721435sin sin =⋅⋅=AC B C 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC 中，已知cos A ＝
53，sin B ＝13
5
，求cos C 的值
解：∵cos A ＝
5
3
＜22＝cos45°，0＜A ＜π
∴45°＜A ＜90°, ∴sin A ＝
5
4
∵sin B ＝
135＜2
1
＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符
∴0°＜B ＜30°cos B ＝
13
12 ∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝65
16
135********=
⋅-⋅ 又C ＝180°－（A ＋B ）
∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－
65
16
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的X 围，以便对正负进行取舍，在确定角的X 围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
四、小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记及备用资料： 1正、余弦定理的综合运用
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得： sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C －2sin B sin C cos A
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之
［例1］在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2
A ＝3sin A sin C ，求
B 的度数
解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2
C －2sin A sin C cos B ， ∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C
∵sin A sin C ≠0 ∴cos Β＝－
2
3
∴B ＝150° ［例2］求sin 2
10°＋cos 2
40°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin 210°＋sin 2
50°＋sin10°sin50°
在sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C －2sin B sin C cos A 中，令B ＝10°，C ＝50°， 则A ＝120°
sin 2120°＝sin 210°＋sin 2
50°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin 2
10°＋sin 2
50°＋sin10°sin50°＝（
23）2＝4
3 ［例3］在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状
解：在原等式两边同乘以sin A 得：2cos B sin A sin C ＝sin 2
A ， 由定理得sin 2
A ＋sin 2
C －sin 2
Β＝sin 2
A ， ∴sin 2
C ＝sin 2B
∴B ＝C
故△ABC 是等腰三角形
2一题多证
在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形
证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝
B
A b sin sin ∴2b cos C ＝
B
A
b sin sin ，即2cos C ·sin B ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0
即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形
证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c c os B ， 又∵a ＝2b cos C ∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B
∴b cos C ＝c cos B ，即
.cos cos C
B c b = 又∵
.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin C
B C B =即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C ∴△ABC 为等腰三角形
证法三：∵cos C ＝
,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222b
a
ab c b a =-+ 化简后得b 2
＝c
2
∴b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形。