2024-2025学年北京师范大附属中学九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】

2024-2025学年北京师范大附属中学九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是()A ．0a ≤B ．3a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≥2、（4分）下列图象能表示一次函数()y k x 1=-的是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）某园林队原计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比原计划提前3小时完成任务,若每人每小时绿化的面积相同，求每人每小时绿化的面积。

若设每人每小时绿化的面积为x 平方米，根据题意下面所列方程正确的是（）A ．()1801803662x x -=+B ．()1801803626x x -=+C ．()1801802636x x -=-D ．()1801803626x x +=+4、（4分）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ∥CD ，添加下列条
件后仍不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）
A ．A
B ＝CD B ．AD ∥B
C C ．OA ＝OC
D ．AD ＝BC
5、（4分）将直线51y x =-平移后，得到直线57y x =+，则原直线（）
A．沿y轴向上平移了8个单位B．沿y轴向下平移了8个单位
C．沿x轴向左平移了8个单位D．沿x轴向右平移了8个单位
6、（4分）下列手机手势解锁图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
7、（4分）某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（）
A．第一天B．第二天C．第三天D．第四天
8、（4分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME AM
⊥，ME交AD的延长线于点E．若12
AB=，5
BM=，则DE的长为（）
A．18B．253C．
96
5
D．109
5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在ABCD中，60
B
∠=︒，4
AB=，点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG，点E、F分别是AH、GH的中点，连接EF.则EF的最小值为________.
10、（4分）已知5的整数部分为a ，5的小数部分为b ，则a +b 的值为__________11、（4分）x 的取值范围是________．12、（4分）若4个数5，x ，8，10的中位数为7，则x =_______.13、（4分）阅读后填空：已知：如图，，，、相交于点.求证：.分析：要证，可先证；要证，可先证；而用______可证（填或或）.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知：如图(1,2)A ，(3,2)B --，(3,3)C -，求ABC △的面积．
15、（8分）现有两家可以选择的快递公司的收费方式如下．
甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元．设物品的重量为x 千克，甲、
乙公司快递该物品的费用分别为y 甲，y 乙．（1）分别写出y 甲和y 乙与x 的函数表达式（并写出x 的取值范围）；（2）图中给出了y 甲与x 的函数图象，请在图中画出（1）中y 乙与x 的函数图象（要求列表，描点）．x …__________…y …__________…16、（8分）计算（1）3224(3)()(5)a b b ab ab ⋅---⋅-（2）2(23)(23)()a b a b a b +--++--（3）解下列方程组21367x y x y -=⎧⎨=-⎩（4）解下列方程组3284132x y y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩（）17、（10分）解方程：
（1）352x x --＝2+12x
x +-；（2）2(1)
47
1
3933x x x x --=+--．
18、（10分）如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，90AOB ∠=︒，这时 2.4m AO =.如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端B 也外移0.4m 吗？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一次函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
20、（4分）如图，跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=0.8m；当它的一端B地时，另一端A离地面的高度AC为____m.
21、（4分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点则PM＋PN的最小值是_
22、（4分）一次函数y＝kx+b(k≠0，k，b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b ＜0的解集为______．
23、（4分）若函数y＝x﹣1与
2
y
x
=的图象的交点坐标为（m，n），则
11
m n-的值为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某商店销售A 型和B 型两种型号的电脑，销售一台A 型电脑可获利120元，销售一台B 型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的3倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式；（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A 型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A 型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围．25、（10分）每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲.节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量y （件）是销售单价x （元/件）的一次函数.销售单价x (元/件)…30405060…每天销售量y (件)…350300250200…（1）求出y 与x 的函数关系；（2）物价局要求,销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100﹪：①当销售单价x 取何值时,该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元?(利润=销售总价-成本价)；②试确定销售单价x 取何值时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润W （元）最大？并求出花店销该鲜花礼盒每天获得的最大利润.26、（12分）（1）011(3)()12π---++；
（2-
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】3,a =3a =-，33a a =-=-，30a ∴-≤，3.a ∴≤故选B.2、D 【解析】将y=k （x-1）化为y=kx-k 后分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论即可．【详解】y=k （x-1）=kx-k ，当k ＞0时，-k ＜0，此时图象呈上升趋势，且交与y 轴负半轴，无符合选项；当k ＜0时，-k ＞0，此时图象呈下降趋势，且交与y 轴正半轴，D 选项符合；故选：D ．考查了一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论．3、A 【解析】设每人每小时的绿化面积为x 平方米，等量关系为：6名工人比8名工人完成任务多用3小时，据此列方程即可．
【详解】
解：设每人每小时的绿化面积为x 平方米，
由题意得，()180180
3
662x x -=+故选：A ．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程．4、D 【解析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可;1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3、对角线互相平分的四边形是平行四边形;4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.【详解】A 、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；B 、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；C 、由AB ∥CD 可得出∠BAO ＝∠DCO 、∠ABO ＝∠CDO ，结合OA ＝OC 可证出△ABO ≌△CDO （AAS ），根据全等三角形的性质可得出AB ＝CD ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB ∥CD 、AD ＝BC 无法证出四边形ABCD 是平行四边形．故选D ．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD 是平行四边形是解题的关键．5、A 【解析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】
∵将直线51y x =-平移后，得到直线57y x =+，设平移了a 个单位,
∴51x a -+=57x +，
解得：a=8，
所以沿y 轴向上平移了8个单位，
本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握平移的规律.
6、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、B
【解析】
根据图象中的信息即可得到结论．
【详解】
由图象中的信息可知，利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，
故选B．
8、D
【解析】
先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG 即可得出结论．
【详解】
四边形ABCD是正方形,AB=12,BM=5,
∴=-=.ME AM
MC
1257
⊥,
90AME ∴∠=︒,90AMB CMG ∴∠+∠=︒,90AMB BAM ∠+∠=︒,BAM CMG ∴∠=∠,90B C ∠=∠=︒,ABM MCG ∴∆∆,AB BM MC CG ∴=,即1257CG =,解得3512CG =,35109121212DG ∴=-=,AE BC ∥
,,E CMG EDG C ∴∠=∠∠=∠,MCG EDG ∴∆∆,MC CG DE DG ∴=,即3571210912DE =,解得1095DE =.故选D.本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【解析】连接AG ，利用三角形中位线定理，可知1
2EF AG =，求出AG 的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图1，连接AG ，
∵点E 、F 分别是AH 、GH 的中点，∴12EF AG =，∴EF 的最小值，就是AG 的最小值，当AG BC ⊥时，AG 最小，如图2，Rt ABG ∆中，60B ∠=︒，∴30BAG ∠=︒，∵4AB =，∴2BG =，AG =，∴12EF AG ==，∴EF ..本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定EF 的最小值，就是AG 的最小值，属于中考填空题中的压轴题．
10、12-【解析】
的取值范围，再求出5与5的取值范围，从而求出a ，b 的值．
【详解】
解：∵3＜4，
∴8＜5＜9，1＜5＜2，∴5的整数部分为a =8，5的小数部分为b =5-1=4，∴a +b =8+4=12-，故答案为12．的范围．11、2x 【解析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可得.【详解】根据题意，得x 20- ，解得，x 2≥，故答案为：x 2≥．)a 0 叫二次根式、二次根式中的被开方数必须是非负数”是解题的关键.12、6【解析】根据中位数的概念求解．【详解】解：∵5，x ，8，10的中位数为7，∴872x +=，
解得：x=1．
故答案为：1．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13、
【解析】根据HL 定理推出Rt △ABC ≌Rt △DCB ，求出∠ACB=∠DBC ，再根据等角对等边证明即可．【详解】解：HL 定理，理由是：∵∠A=∠D=90°，∴在Rt △ABC 和Rt △DCB 中∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），∴∠ACB=∠DBC ，∴OB=OC ，故答案为：HL ．本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，AAS ，ASA ，SSS ，直角三角形全等还有HL 定理．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、14【解析】试题分析：构造矩形DECF ，用矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得.试题解析：如图，构造矩形DECF ，
ABC ABD ACF BEC DECF S S S S S =---矩形，
111222DF CF AD BD AF CF BE CE
=⋅-⋅-⋅-⋅，
111
65442516222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，
30853=---，14=．15、（1）2001=20(1)41x y x x <≤⎧⎨+-⋅>⎩甲，，，=7100)y x x +>乙，(；（2）x …__1_____2____3___…y …___17____24____31___…图象见解析【解析】（1）根据题目中甲乙公司不同的收费方式结合数量关系，找出y 甲和y 乙与x 之间的关系；（2）根据y 乙的方程进行列表，依次描点连线即可得出函数图象．【详解】解：（1）设物品的重量为x 千克由题意可得()2001=20141
x y x x <≤⎧⎨+-⋅>⎩甲，，；=710(0)y x x +>乙，；（2）y 乙列表为x …__1_____2____3___…y …___17____24____31___…函数图象如下：
故本题最后答案为：（1）()2001=20141x y x x <≤⎧⎨+-⋅>⎩甲，，，=710(0)y x x +>乙，；（2）x …__1_____2____3___…y …___17____24____31___…图象如上所示．（1）本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据不同的x 的范围列出不同的解析式，其中不要忽略本题为实际问题，即x 的取值范围为正；（2）本题主要考查了函数图象的画法，明确画函数图象的步骤是解题的关键．16、（1）3361a b ；（2）2226932a a b ab -+-++；（3）235x y =⎧⎨=⎩；（4）02x y =⎧⎨=⎩.【解析】（1）先计算乘方，然后同底数幂乘法，最后合并即可；（2）原式利用平方差和完全平方公式，化简计算即可；（3）利用代入消元法，即可求出方程组的解；（4）方程先通过化简，然后利用加减消元法解方程即可.【详解】解：（1）原式=32224925a b b ab a b ⋅+⋅=33333625a b a b +=3361a b ；（2）原式=22(23)(23)(2)a b a b a ab b -+-----+=2222
(3)42a b a ab b --+-+-=2222
6942a a b a ab b -+-+-+-=2226932a a b ab -+-++；
（3）21367x y x y -=⎧⎨=-⎩①
②，
由②代入①，得：67213y y --=，
解得：5y =，把5y =代入②，解得：23x =，∴方程组的解为：235x y =⎧⎨=⎩；（4）3284132x y y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩（）化简得：324236x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由23⨯-⨯①②，得：510y -=-，解得：2y =，把2y =代入①，解得：0x =，∴方程组的解为：02x y =⎧⎨=⎩；此题考查了整式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法是解本题的关键．17、（1）x ＝0；（1）x ＝1．【解析】(1)两边同时乘以x-1，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可；(1)两边同时乘以3(x-3)，化为整式方程，解整式方程后进行验根即可得.【详解】(1)两边同时乘以x-1，得：3x ﹣5＝1(x ﹣1)﹣x ﹣1，
解得：x ＝0，
检验：当x ＝0时，x-1≠0，
所以x=0是分式方程的解；
(1)两边同时乘以3(x-3)，得
1x ﹣1＝11x ﹣11+x ﹣3，
解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，3(x-3)≠0，所以x=1是分式方程的解．本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法以及注意事项是解题的关键.解分式方程要进行验根.18、梯子的顶端沿墙下滑0.4m 时，梯子底端并不是也外移0.4m ，而是外移0.8m .【解析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD=OD-OB 即可得出结论．【详解】解：∵在Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒， 2.5m AB = 2.4m AO =，∴222222.5 2.40.49OB AB OA =-=-=.∴0.7OB ==在Rt COD ∆中，90AOB ∠=︒，2.5m AB =2m CO AO AC =-=∴222222.52 2.25OD CD OC =-=-=.∴ 1.5OD ==∴ 1.50.70.8m BD OD OB =-=-=∴梯子的顶端沿墙下滑0.4m 时，梯子底端并不是也外移0.4m ，而是外移0.8m .
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领
会数形结合的思想的应用．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、2【解析】如图所示：因为∠PBO=∠POA ，所以∠BPO=90°，则点P 是以OB 为直径的圆上．设圆心为M ，连接MA 与圆M 的交点即是P ，此时PA 最短,∵OA ＝4，OM ＝2，∴MA ==又∵MP ＝2，AP ＝MA －MP
∴AP ＝2-．
20、1.6
【解析】
确定出OD 是△ABC 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】
解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC=2OD=2×0.8=1.6米．
故答案为1.6米．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，是基础题，熟记定理是解题的关键．
21、1
【解析】
试题分析：要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，∵ME⊥AC交AD 于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，而由已知可得AB=1∴AE=BN，∵四边形ABCD是菱形，∴AE∥BN，∴四边形AENB为平行四边形，∴EN=AB=1，∴PM+PN的最小值为1．
考点：轴对称—最短路径问题
点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键
22、x＞1
【解析】
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＜0的解集．【详解】
解：函数y＝kx+b的图象经过点(1，0)，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＞1时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故答案为x＞1．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
23、1 2
【解析】
有两函数的交点为（m ，n ），将（m ，n ）代入一次函数与反比例函数解析式中得到mn 与n-m 的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵函数y ＝x ﹣1与2y x =的图象的交点坐标为（m ，n ），∴将x ＝m ，y ＝n 代入反比例解析式得：n ＝2m ，即mn ＝2，代入一次函数解析式得：n ＝m ﹣1，即n ﹣m ＝﹣1，∴111122n m m n mn --==-=-，故答案为﹣12．此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点代入解析式二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y=﹣20x +14000；（2）商店购进25台A 型电脑和75台B 型电脑的销售利润最大；（3）这100台电脑销售总利润的范围为12800≤y ≤13500【解析】分析：（1）据题意即可得出2014000y x =-+；（2）利用不等式求出x 的范围，又因为2014000y x =-+是减函数，所以得出y 的最大值，（3）据题意得，()20140002560y x x =-+≤≤，y 随x 的增大而减小，进行求解．详解：（1）由题意可得：()1201401002014000y x x x =+-=-+；（2）据题意得，1003x x -≤，解得25x ，≥∵2014000,200y x =-+-<，∴y 随x 的增大而减小，
∵x 为正整数，
∴当x =25时，y 取最大值，则10075x -=，
即商店购进25台A 型电脑和75台B 型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，()120140100y x x =+-，即()2014000 2560,y x x =-+≤≤当13600y =时，解得x =20，不符合要求
y 随x 的增大而减小，∴当x =25时，y 取最大值，即商店购进25台A 型电脑和75台B 型电脑的销售利润最大，此时y =13500元．当x =60时，y 取得最小值，此时y =12800元.故这100台电脑销售总利润的范围为12800≤y ≤13500.点睛：考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质.25、见解析【解析】分析：(1)、利用待定系数法求出函数解析式；(2)①、根据题意列出方程，从而求出x 的值，然后根据利润不高于100%得出答案；②、根据题意得出W 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的增减性得出答案．详解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将30350x y =⎧⎨=⎩和40300x y =⎧⎨=⎩分别的代入y=kx+b 得，3035040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5500k b =-⎧⎨=⎩，所以，y x y 5x 500=-+与的函数关系式为（2）①据题意得：()()x 305x 5005000--+=，1x 50=解得2x 80=又因为()301100%60⨯+=，8060>不合题意，舍去，当销售单价x=50时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元．②据题意得，()()W x 305x 500=--+，()2W=5x 656125--+即，即当x 65W 6125656065=>时，有最大值，但，所以不合题意，舍去，
()2W=5x 656125a 50--+=-<在中，，
()2W=5x 656125x 65y x 抛物线开口向下，在对称轴的左边，随的增大而增大，--+=所以，当销售单价x=60时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润W （元）最大，最大利润()2W=5x 6561256000元--+=．
点睛：本题主要考查的是待定系数法求函数解析式、一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是列出方程和函数解析式．26、（1）2+；（2）－5.【解析】（1）首先根据立方根、零次幂、负指数幂和绝对值的性质化简，然后计算即可；（2）将二次根式化简，然后应用乘法分配律，进行计算即可．【详解】解：（1）原式21212=-++-=+；（2）原式101552=-=-=-.此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。