高考数学模拟复习试卷试题模拟卷11615

高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
【重点知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ． cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα．
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． tan 2α＝2tan α1－tan2α．
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2． (3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin 2α＝(sinα－cosα)2，
sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α±π4.
4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)⎝⎛⎭
⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝
a2＋b2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】
考点一 三角函数式的化简与给角求值
【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：
（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α
2）
2＋2cos α＝________．
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．
【答案】(1)cos α (2)6 【规律方法】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.
2＋3
2
C. 3 D ．22－1
(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2cos 2αcos 2β＝________．
【答案】(1)C (2)1
2
考点二 三角函数的给值求值、给值求角
【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭
⎫α2－β＝2
3，
求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，求2α－β的值．
【规律方法】
(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭
⎫α2－β；
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切
函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝
⎛⎭
⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围
是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，选正弦较好．
【变式探究】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.
考点三 三角变换的简单应用
【例3】 (·广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝
⎛⎭
⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭
⎫5π12＝3
2.
(1)求A 的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ.
【规律方法】
解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【变式探究】 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫3x ＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
【真题感悟】
【高考重庆，文6】若1
1
tan ,tan()
3
2
,则tan =（） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56
【答案】A
【高考上海，文1】函数x x f 2
sin 31)(-=的最小正周期为.
【答案】π
【高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值； （2）求
2sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值．
【答案】（1）3-；（2）1．
1．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l1⊥l4
B ．l1∥l4
C ．l1与l4既不垂直也不平行
D ．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D
2． (·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
3.(·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
4．(·江西卷) 已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭
⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．
(1)求a ，θ的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π3的值．
5．(·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B.
6．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1
7．(·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝
6
3，B＝A＋
π
2.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
8．(·四川卷) 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()
图1-3
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m 【答案】C
9．(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
10．(·重庆卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin Acos2B 2＋si n Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9
2sin C ，求a 和b 的值．
【押题专练】
1．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝
( )
A. 3 B ．－3 C.33
D ．－3
3
【答案】A
2．已知sin α＋cos α＝13，则sin2⎝⎛⎭
⎫π4－α＝ ( )
A.1
18 B.1718 C.89
D.29
【答案】B
3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于 ( )
A ．7
B.17
C ．－1
7
D ．－7
【答案】B
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，则角β等于 ( ) A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
【答案】C
6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A·tan B ，则C 等于 ( ) A.π3
B.2π3
C.π6
D.π4
【答案】A
7．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝
( )
A ．－1
8 B ．－116 C.116
D.18
【答案】A
8．设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭
⎫π2－x
＋sin x ＋a2sin
⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________．
【答案】±3
9．若sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋θ＝3
5，则cos 2θ＝________．
【答案】－7
25
10．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭
⎫2x －π4－22sin2x 的最小正周期是________．
【答案】π
11．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭
⎫2α＋π3＝________．
【答案】2－15
6
12．已知α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，求cos β的值．
13．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcos x ，x ∈R.
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫π6的值；
(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭
⎫α2＋π24.
高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
【热点题型】
题型一函数零点的判断与求解
【例1】 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}
解析(1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确；
同理可验证B，D不正确，对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零点位于区间(1，2)．
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.
当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.
令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x3＝－2－7，x4＝－2＋7＞0(舍)，
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1，3}，故选D.
答案(1)C(2)D
【提分秘籍】
(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根．【举一反三】
已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x≤1，
1＋log2x ，x ＞1，则函数f(x)的零点为()
A.12，0 B ．－2，0 C.1
2 D ．0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f(x)＝1＋log2x ＝0，解得x ＝1
2，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
答案 D
题型二根据函数零点的存在情况，求参数的值
【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e2
x (x ＞0)． (1)若y ＝g(x)－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g(x)＝x ＋e2
x ≥2e2＝2e ，
图1
等号成立的条件是x ＝e ，
故g(x)的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m≥2e ，则y ＝g(x)－m 就有零点． 法二 作出g(x)＝x ＋e2
x (x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g(x)－m 有零点，则只需m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
即y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象有两个不同的交点，
图2
在同一坐标系中，作出g(x)＝x ＋e2
x (x ＞0)与f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1的大致图象如图2.
∵f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e2.
∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e2.
故当m －1＋e2＞2e ，即m ＞－e2＋2e ＋1时，y ＝g(x)与y ＝f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m 的取值范围是(－e2＋2e ＋1，＋∞)． 【提分秘籍】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
【举一反三】
(1)函数f(x)＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是() A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)
(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x≥2，若方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()
A ．(1，3)
B ．(0，3)
C ．(0，2)
D ．(0，1)
答案 (1)C(2)D
题型三与二次函数有关的零点问题
【例3】是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且
只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)当f(3)＝0时，a ＝－1
5， 此时f(x)＝x2－135x －6
5. 令f(x)＝0，即x2－135x －6
5＝0， 解得x ＝－2
5或x ＝3.
方程在[－1，3]上有两个实数根， 不合题意，故a≠－1
5.
综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．
【提分秘籍】
解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
【举一反三】
已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围． 解 法一 设方程x2＋(a2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a2－1)＋1＜0， 即a2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.
法二 函数图象大致如图，则有f(1)＜0，
即1＋(a2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1. 故实数a 的取值范围是(－2，1)． 【高考风向标】
【高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为.
【答案】12
-
【解析】在同一直角坐标系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：
由题意，可知2
112-
=⇒-=a a 【高考湖北，文13】函数2π
()2sin sin()2
f x x x x =+-的零点个数为_________.
【答案】2.
【解析】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π
2sin sin()02x x x +-=的根的个数，
即函数π
()2sin sin()2sinxcosx sin 2x 2
g x x x =+==与2h(x)x =的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像
如下图所示，由图可知，函数()g x 与h(x)的图像有2个交点.
【高考湖南，文14】若函数()|22|x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b <<
【解析】由函数()|22|x
f x b =--有两个零点，可得|22|x
b -=有两个不等的根，从而可得函数
|22|x y =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：02b <<.
【高考山东，文10】设函数3,1()2,1x
x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩
，若5
(())46f f =，则b = ( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)1
2
【答案】D
【解析】由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，512
53()42
b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224b
b -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解
得1
2
b =
，故选D. （·北京卷）已知函数f(x)＝6
x －log2x ，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，4)
D ．(4，＋∞) 【答案】C
【解析】方法一：对于函数f(x)＝6
x －log2x ，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.
方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝6
x 与g(x)＝log2x 的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．
（·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则() A ．c≤3 B ．3＜c≤6 C ．6＜c≤9 D ．c ＞9 【答案】C
【解析】由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒
⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，
b ＝11， 则f(x)＝x3＋6x2＋11x ＋
c ，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3，∴6<c≤9，故选C.
（·重庆卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，
x ，x ∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()
A.⎝⎛⎦⎤－94
，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.
⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12
C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23
D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦
⎤0，23
【答案】A
（·福建卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，
2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．
【答案】2
【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2， 令x2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x.
作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，
则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x －6＋ln x(x>0)只有一个零点． 综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
（·湖北卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为()
A ．{1，3}
B ．{－3，－1，1，3}
C ．{2－7，1，3}
D ．{－2－7，1，3} 【答案】D
【解析】设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x . 求函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x 的解．
当x≥0时，x2－3x ＝－3＋x ，解得x1＝3，x2＝1； 当x<0时，－x2－3x ＝－3＋x ，解得x3＝－2－7.故选D.
（·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪
⎪x2－2x ＋12.若函数y ＝
f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
【答案】.⎝⎛⎭
⎫0，12
（·江西卷）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧a·
2x ，x≥0，2－x ，x<0(a ∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a ＝() A.14 B.1
2 C ．1 D ．2 【答案】A
【解析】因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a ＝1，所以a ＝1
4.
（·浙江卷）设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋2，x≤0，－x2，x ＞0.若f(f(a))＝2，则a ＝________.
【答案】2
【解析】令t ＝f(a)，若f(t)＝2，则t2＋2t ＋2＝2 满足条件，此时t ＝0或t ＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a ＝ 2.
（·全国卷）函数f(x)＝ax3＋3x 2＋3x(a≠0)． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．
【解析】解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x ＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f(x)在R 上是增函数． (ii)由于a≠0，故当a ＜1时，f′(x)＝0有两个根；
x1＝－1＋1－a a ，x2＝－1－1－a a
. 若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x2)或x ∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当x ∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．
若a ＜0，则当x ∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；
当x ∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．
(2)当a ＞0，x ＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
当a ＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－54≤a ＜0. 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫－54，0∪(0，＋∞)． （·天津卷）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x2＋5x ＋4|，x≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．
【答案】(1，2)
【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f(x)与y ＝a|x|的图像，如图所示，当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图
像相切时，联立⎩
⎪⎨⎪⎧－ax ＝－x2－5x －4，a>0，整理得x2＋(5－a)x ＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a ＝1或a ＝9(舍去)，∴当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2.
【高考押题】
1．函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是 ()
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x3在R 上均为增函数，故函数f(x)＝2x ＋x3－2在R 上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点，故选B.
答案 B
2．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为() A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)
解析 函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x ＋1)－1x 的零点，∵f(x)在(0，
＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．
答案 B
3．若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间 ()
A ．(a ，b)和(b ，c)内
B ．(－∞，a)和(a ，b)内
C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内
解析 依题意，注意到f(a)＝(a －b)(a －c)＞0，f(b)＝(b －c)·(b －a)＜0，f(c)＝(c －b)(c －a)＞0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a ，b)和(b ，c)内，故选A.
答案 A
4．若函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是 ()
A.⎝⎛⎭
⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫－1，15 D ．(－∞，－1) 解析 当a ＝0时，f(x)＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)
内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.
答案 B
5．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －x －1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
() A ．x2＜x1＜x3
B ．x1＜x2＜x3
C ．x1＜x3＜x2
D ．x3＜x2＜x1
解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.
答案 B
6．函数f (x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．
解析 函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数． 在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，
由图可知函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2.
答案 2 7．函数f(x)＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________．
8．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
解析 画出f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x≤0的图象，如图．
由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)．
答案 (0，1)
9．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．
解 法一 (换元法)
设t ＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at ＋a ＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at ＋a ＋1.
法二 (分离变量法)
由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x(t>0)， 则a ＝－t2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭
⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎡⎦
⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1
≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．
10．已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．
解 由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所
示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0
⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，
m ∈R ，m<－1
2，m>－56.即－56<m<－12.
故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.高考模拟复习试卷试题模拟卷。