三角函数y=Asin(ωx+φ)中的对称轴

三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴
江苏 韩文美
正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+
2
π
（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。

由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令
ϕω+x =k π+2
π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=
ωϕπ
π-+
2k （k ∈Z ）。

通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ω
ϕ
ππ-+k （k ∈Z ）。

下面通
过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。

1．解析式问题
例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线
8
π
=
x ，求ϕ的值。

分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2
π
，结合条件0<<-ϕπ求解。

解析：∵8
π
=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)8
2sin(±=+⨯
ϕπ
，
∴
2
4
π
πππ
+
=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则4
3π
ϕ-
=。

点评：由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值。

易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数y=sinx 的周期是2k π，所以会错误的令ϕω+⋅x =2k π+
2
π。

2．参数问题
例2．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x ＝－
8
π
对称，则a 的值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。

解法一：y ＝sin2x ＋acos2x=
21a +sin （2x ＋ϕ）
，其中cos ϕ=2
11a
+，
sin ϕ=
2
1a
a +，
由函数的图象关于x=－
8π对称知，函数y ＝sin2x ＋acos2x 在x=－8
π
处取得最大值或最
小值，
∴sin （－
4π）＋acos （－4
π
）＝±21a +， 即
2
2
（1－a ）=±21a +，解得a ＝－1，所以应选择答案：D 。

点评：过函数y=Asin （ϕω+⋅x ）图象最值点与y 轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。

解法二：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8
π
就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的，
当a ≠0时，y ＝sin2x ＋acos2x
=)2cos(1)2sin 112cos 1(
122
2
2
θ-+=++
++x a x a x a a a ，
其中2
1cos a a
+=
θ，2
11sin a +=
θ，即tan θ=
a
1
cos sin =θθ， 函数y ＝21a +cos （2x －θ）的图象的对称轴方程的通式为2xk ＝k π＋θ（k ∈Z ），
∴xk ＝
22πθ
k +
，令xk ＝－8π，则22π
θk +=－8π，∴θ=－k π－4
π，
∴tan θ＝tan （－k π－4
π
）＝－1，
即a
1
=－1，∴a=－1为所求，所以应选择答案：D 。

点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法。

解法三：∵f(x)＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x ＝－
8
π
对称， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
x f x f 88ππ，令x=－8π，得()04f f =⎪⎭
⎫
⎝⎛-π，
∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2π＋acos ⎪⎭
⎫
⎝⎛-2π=sin0＋acos0，得a ＝－1，所以应选择答案：D 。

点评：这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入。

是不可多得的一种快
捷方便的解答方法。

3．单调区间问题
例3．在下列区间中函数y ＝sin （x ＋4
π
）的单调增区间是（ ） A ．［
2π，π］ B ．［0，4π］ C ．［－π，0］ D ．［4π，2
π］ 分析：像这类题型，常规解法都是运用y ＝Asin （ωx ＋ϕ）的单调增区间的一般结论，
由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。

解析：函数y ＝sin （x ＋
4π）的对称轴方程是：xk=k π＋2π－4π=k π＋4
π
（k ∈Z ）， 照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π
］或［4
π，
4
5π
］，对照选择支思考即知应选择答案：B 。

点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。

4．函数性质问题
例4．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值
4
π
，则)(x f 的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4
π
分析：根据正弦（或余弦）函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于
4
1
周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。

解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π
，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于4
1周期，∴最小正周期为T=
4
π
×4=π，即选择答案：B 。

点评：三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。

函数y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数图像实质上有无数条对称轴，它们也是有周期性的，它们的周期不是T=
ω
π
k 2，而是T=
ω
π
k ，可以理
解为对称轴的周期是函数周期的一半。

只有准确的理解对称轴的特点，才能灵活的应用对称轴解题。