第二章-1 精算数学

§2.2 理赔额的分布 一、损失额与理赔额的区别联系
损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 际损失大小。 际损失大小。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 险责任所支付的实际费用， 险责任所支付的实际费用，由实际损失决 一般不超过损失额。 定，一般不超过损失额。
20
3
100 F (20) = 1 − = 0.4213 20 + 100
3
1）假定保单规定免赔额为20，理赔额 ）假定保单规定免赔额为 ，
即为非零赔款的均值！ 即为非零赔款的均值！
定理2.1 定理 表示实际损失额， 设X表示实际损失额，若保单规定了免赔额 表示实际损失额 为d，最高赔偿限额为 ，比例分担额为 α ， ，最高赔偿限额为u， 则平均理赔额为
E (Y ) =
α [ E ( X ∧ u) − E ( X ∧ d )]
1 − F (d )
其均值 E ( X ) = θ
τ
Γ(1 + )
1
τ
Weibull分布密度函数 分布密度函数
性质1
当 τ = 1 时，Weibull分布就是参数为 θ 分布就是参数为 的指数分布。 的指数分布。
性质2
Weibull分布乘以正常数r后，仍然是 分布乘以正常数 后 仍然是Weibull 分布乘以正常数 分布， 分布，参数为 (θ / r τ ,τ ) 。
θ α −1 αθ
2 2
α > 2 ， Var ( X ) =
(α − 1) (α − 2)
性质1
Pareto分布乘以正常数 r 仍然是 分布乘以正常数 仍然是Pareto分布， 分布， 分布 参数为 (α , rθ ) 。
性质2
Pareto分布当均值 µ = E ( X ) 不变，当 α → ∞ 分布当均值 不变， 1 分布收敛到指数分布， 时，该Pareto分布收敛到指数分布，参数为 . 分布收敛到指数分布 （用分布函数自证！） 用分布函数自证！）
其中F(x)和f (x)分别为 的分布函数和密度函数 和 分别为X的分布函数和密度函数 其中 分别为 的分布函数和密度函数.
说明
e X (d ) = E ( X − d X > d ) =∫
+∞ 0
f ( y + d) E( X ) − E( X ∧ d ) y dy = 1 − F (d ) 1 − F (d )
E ( X ∧ d ) = ∫ xf ( x )dx + d (1 − F (d )).
−∞
d
其中F(x)和f (x)分别为 的分布函数和密度函数 和 分别为X的分布函数和密度函数 其中 分别为 的分布函数和密度函数.
X ∧ d = min( X , d ).
是非负r.v. , d > 0, 由分部积分得 当X是非负 是非负
Gamma 函数的性 质
+∞ 0
xα −1e − x dx
Γ(1) = Γ(2) = 1 Γ(n) = (n − 1)! 1 Γ( ) = π 2 α > 0时，Γ(α ) = (α − 1)Γ(α − 1)
特别地， 特别地， = 1, 称为标准 θ 称为标准Gamma分布： 分布： 分布
x e , α > 0, x > 0 即f ( x ) = Γ(α )
三、理赔额的分布
X：损失额，分布 （x） 一般 、Y不相等！ 损失额，分布F（ ） 一般X 不相等！ 不相等 Y：理赔额，分布 FY ( y ) 理赔额，
情形1： Y=
X − d,
X >d
非零赔款！ 非零赔款！
Y未定义， 其他 未定义， 未定义
FY ( y ) = P ( X − d ≤ y X > d ) F ( y + d ) − F (d ) = 1 − F (d )
E ( X ∧ d ) = ∫ xf ( x )dx + d (1 − F (d ))
0
d
= ∫ (1 − F ( x ))dx
0
d
定义2.2 剩余期望函数 定义
e X (d ) = ∫
+∞
d
( x − d ) f ( x) E( X ) − E( X ∧ d ) dx = . 1 − F (d ) 1 − F (d )
解：Pareto分布的均值 分布的均值
100 E( X ) = = = 50 α −1 3−1
θ
有限期望值
E ( X ∧ d ) = ∫ (1 − F ( x ))dx
0
d
100 = ∫ [1 − (1 − )]dx 0 x + 100 100 2 ) ) = 15.28 = 50(1 − ( 120
（三）Pareto分布 分布
θ F ( x) = 1 − x +θ
α
αθ α f ( x) = , α +1 (x +θ )
x > 0, α > 0, θ > 0
正偏，但尾部趋于零的速度比对数正态分布慢。 正偏，但尾部趋于零的速度比对数正态分布慢。
α > 1， E ( X ) =
, t<λ
指数分布具有“无记忆性” 指数分布具有“无记忆性”，又称 具有 为寿命分布， 为寿命分布，常用于可靠性统计研究 如元件的寿命. 中，如元件的寿命
（二）Gamma分布 Γ(α ,θ ) 分布
θ α x α −1e −θ x , α > 0, x > 0 f ( x) = Γ(α )
Γ(α ) = ∫
.
提示： 提示：
0 ,
Y*= 含零赔款） （含零赔款） 实际赔付
X ≤d
α(X − d) , d < X < u
α (u − d ) , X ≥ u
未定义 ,
X ≤d
Y= 非零赔款） （非零赔款）
理赔额
α(X − d) , d < X < u α (u − d ) , X ≥ u
∗
Y =Y X > d
α −1 − x
α = 1, 即 f ( x ) = θ e
−θ x
,x>0
指数分布
α α E ( X ) = , Var ( X ) = 2 θ θ θ α M (t ) = ( ) , t <θ θ −t
Γ(α + k ) E( X ) = k Γ(α )θ
k
标准Gamma分布密度函数 标准 分布密度函数 （theta=1） ）
n个独立同分布的指数 个独立同分布的指数r.v.之和 2）α = n为正整数时， 个独立同分布的指数 之和 ） Gamma分布称为 分布称为Erlang分布，密度函数为 分布， 分布称为 分布
( n − 1)! 从第一次索赔到恰好再出现n次索赔所需要 从第一次索赔到恰好再出现 次索赔所需要 的时间服从参数为n的 分布。 的时间服从参数为 的Erlang分布。 分布
f ( x) =
θn
x n −1e −θ x ,
x>0
3）χ -分布 ）
2
数理统计中广泛应用
2 1 n Gamma分布称为 χ - 分布 分布称为 α = ，β = 时， 2 2
f ( x) =
1 2 Γ(n 2)
n 2
x
n x −1 − 2 2
e , x>0
2
n个独立的标准正态分布 的平方和服从 χ - 分布 个独立的标准正态分布r.v.的平方和服从 个独立的标准正态分布
z的有限期望函数00111111dzzdxezdzfzdzdfdzdzfdzdfrrr????????10111drxdxfxrdxdfr????101111drxddrxfxdxfrr????11drexr考虑一般免赔额d通货膨胀率为r则理赔额的均值为则理赔额的均值为1111drexexrdfr????1zzedezdzdezezdfd??????若保单规定了最高赔偿限额u通货膨胀率为通货膨胀率为r则保险公司的平均赔款额为则保险公司的平均赔款额为11uezurexr定理22设设x表示实际损失额若保单规定了免赔额为表示实际损失额若保单规定了免赔额为d最高赔偿限额为u比例分担额为通货膨胀率为比例分担额为通货膨胀率为r则平均理赔额为111
（五）Weibull分布 分布
若损失额 r.v X服从参数为 (θ ,τ ) 的Weibull 服从参数为 分布， 分布，则其分布函数和密度函数分别为
F ( x ) = 1 − exp( −θ x exp( −θ x ),
τ
− 1
x > 0, θ > 0,τ > 0.
µ =1
µ=2 µ=3
对数正态分布密度函数 方差=1 =1） （方差=1）
性质1
r，t为正实数，X服从参数( µ， 2 ) 的对数 ， 为正实数 为正实数， 服从参数 σ 正态分布， 正态分布，则 Y = rX t 仍然是对数正态分 布，参数为(tµ + ln(r ), t 2σ 2 )
性质2
正态分布经指数变换后即为对数正态分布； 正态分布经指数变换后即为对数正态分布； 对数正态分布经过对数变换后即为正态分布。 对数正态分布经过对数变换后即为正态分布。
f ( y + d) fY ( y ) = , 1 − F (d )
y > 0.
X
情形2： Y=
,
X≤L
L ,
F ( y ), FY ( y ) = 1,
X>L
y<L . y≥L
y<L f ( y ), fY ( y ) = . 1 − F ( L), y = L
定义2.1 有限期望函数 定义
n
n
性质3
i =1
i =1
Gamma分布乘以正常数 ，仍是 分布乘以正常数r，仍是Gamma分布 分布, 分布乘以正常数 分布 参数 (α , θ / r ).
几种特殊情况： 几种特殊情况： 1） = 1时， ） α Gamma分布就是参数为 θ 的指数分布 分布就是参数为
f ( x ) = θ e −θ x， x > 0
f ( x) =
1 2πσ x
− (ln x − µ )2
e
2σ 2
,
x>0
E( X ) = e
µ+
σ2
2
Var ( X ) = e
2 µ +σ 2
(e
σ2
− 1)
期望、 期望、方差利用正态分布的特征函数或 矩母函数求，此外，对数正态分布r.v.取值于 矩母函数求，此外，对数正态分布 取值于 某区间的概率可通过标准正态分布求。 某区间的概率可通过标准正态分布求。
性质1
越大，偏度越小，趋于无穷大时， 当参数 α 越大，偏度越小，趋于无穷大时， Gamma分布近似正态分布。 分布近似正态分布。 分布近似正态分布
性质2
当参数 θ 相同时，Gamma分布具有可加性， 相同时， 分布具有可加性， 分布具有可加性 即若 X i ～ Γ(α i ,θ )，则Y = ∑ X i ～ Γ( ∑ α i ,θ )
x
（一）指数分布
若 r.v X具有概率密度 具有概率密度
λe−λ x x > 0 λ >0 f ( x) = x≤0 0
指数分布. 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布
E( X) =
1
λ
, Var( X) =
k
1
λ
2
,
E( X ) =
k!
λ
k
M ( t ) = E (e ) =
tX
λ λ −t
µ
Pareto分布密度函数 分布密度函数 （theta=1） ）
（四）对数正态分布
若 r.v X的对数函数 的对数函数
Y = ln X～ N ( µ , σ 2 )
则称X服从对数正态分布， 则称 服从对数正态分布，参数为 ( µ , σ 2 ). 服从对数正态分布
X ～ LN ( µ , σ 2 )
完全理赔（理赔额=损失额） 理赔额 损失额） 损失额 理 赔 赔偿限额 部分理赔 免赔额
损失额） （理赔额<损失额） 理赔额 损失额
比例分担免赔
二、几种常见的损失分布
在非寿险精算中，损失额是非负连续型随机 在非寿险精算中，损失额是非负连续型随机 变量，其分布一般是正偏斜的，密度函数在 变量，其分布一般是正偏斜的， 右边有长“尾巴” 右边有长“尾巴” 。 f(x)
第二章 理赔额与理赔次数模型
§2.1 引言 §2.2 理赔额的分布 §2.3 理赔次数的分布 §2.4 模型选择与拟合
§2.1 引言
可保风险需要具备下列特征： 可保风险需要具备下列特征： （1）风险必须是非投机性的，即纯粹风险， ）风险必须是非投机性的，即纯粹风险， 损失必须是偶然的、意外的； 损失必须是偶然的、意外的； （2）损失可以确定和用货币计量； ）损失可以确定和用货币计量； （3）损失必须有大量相似或同类的独立风险单位； ）损失必须有大量相似或同类的独立风险单位； （4）具有经济上的可行性：损失必须足够大， ）具有经济上的可行性：损失必须足够大， 不能太小； 不能太小； （5）巨灾损失一般不会发生。 ）巨灾损失一般不会发生。
例1. 假设某汽车保险的损失分布是参数为(α = 3, θ = 100) 分布， 的Pareto分布， 分布 3 100 F ( x) = 1 − ,x≥0 x + 100 1）假定保单规定免赔额为 ，求保险公司支 ）假定保单规定免赔额为20， 付的平均理赔额。 付的平均理赔额。 2）假定保单规定最高赔偿限额为200，求保险 ）假定保单规定最高赔偿限额为 ， 公司支付的平均理赔额。 公司支付的平均理赔额。 3）假定保单同时规定保险公司赔偿损失额高 ） 元部分的比例为80%，求平均理赔额。 于20元部分的比例为 元部分的比例为 ，求平均理赔额。