加格达奇区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

加格达奇区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）
则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
2． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
3． 设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A ．5
B ．
C ．
D ．
4． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为（ ）
120.51
x
y
z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点M （0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．3
B ．
C ．
D ．
6． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数
R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
7． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
8． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件9． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（
）
A ．
B ．
C ．
或
D ．3
10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（
）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
11．满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知向量，，若，则实数（ ）
(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=-
t =A.
B. C. D. 2-1
-1
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．
二、填空题
13．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
14．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
15．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
16．已知线性回归方程=9，则b= ．
所示的框图，输入
，则输出的数等于
18．已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=
，b a a b =，则a b += ▲ ．三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，.
C O CP CE 3CP =（1）若交圆于点，，求的长；PE O F 16
5
EF =
CE （2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长.
OP O ,A B CD OP ⊥D CD
20．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=（）x ．
（1）求当x＞0时f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）在R上的图象；
（3）写出它的单调区间．
21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
22．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为O EFH FE FH ⊥裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，ABCD ,A B EF ,C D EH 且，设.
////AD BC HF AOE θ∠=（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；
ABCD S θ（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.
θABCD
S 23．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，
{}n a {}n b n S {}n a 111a b ==3336b S =（）．
228b S =*n N ∈（1）求和；
n a n b （2）若，求数列的前项和．
1n n a a +<11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n T
24．（本小题满分12分）
设03πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα+=（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
加格达奇区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．
∵log43＜1，∴|log43|＜1；
2＞|ln|=|ln3|＞1；
∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2
∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．
又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
∴c＜a＜b．
故选C
2．【答案】C．
【解析】解：∵2a=3b=m，
∴a=log2m，b=log3m，
∵a，ab，b成等差数列，
∴2ab=a+b，
∵ab≠0，
∴+=2，
∴=log m2，=log m3，
∴log m2+log m3=log m6=2，
解得m=．
故选C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．
3．【答案】C
【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为y=±x，
又已知渐近线为，∴=，b=2a，
故双曲线离心率e====，
故选C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键．
4．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=．
所以x+y+z=++=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
5．【答案】B
【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，
则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|==．
即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
8．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
9．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C ．
故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
11．【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}，
∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素．
∵M ⊆{1，2，3，4}，
∴M={1，4}或M={1，3，4}．
故选：B ．
12．【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.
||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ⋅=++⨯= 1t =-二、填空题
13．【答案】　﹣2　．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=
，∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cos α﹣sin α=
⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，∴cos2α==，∵α为锐角，sin （α+）＞0，
∴sin （α+）====
．故答案为：
．15．【答案】 ．
【解析】解：0. = + +…+==，故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
16．【答案】　4　．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b ，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
　17．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

18．【答案】【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），因此
3a b =，因为b a a b =，所以3333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==a b +=考点：指对数式运算
三、解答题
19．【答案】（1）；（2）.4CE =CD =
【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知∽，由相似三角形性质知,可得；
ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =4CE =（2）由切割线定理可得，求出,再由,求出的值. 12
(4)CP BP BP =+,BP OP CD OP OC CP ⋅=⋅CD 试题解析：
（1）因为是圆的切线，是圆的直径，所以，，所以∽,CP O CE O CP CE ⊥090CFE ∠=ECP ∆EFC ∆
设，，又因为∽，所以，CE x =EP =
ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =
所以，解得.2x =4x =
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
20．【答案】
【解析】解：（1）若 x ＞0，则﹣x ＜0…（1分）
∵当x ＜0时，f （x ）=（
）x ．
∴f （﹣x ）=（）﹣x ．
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，
f （﹣x ）=﹣f （x ），
∴f （x ）=﹣（）﹣x =﹣2x ．…（4分）
（2）∵（x ）是定义在R 上的奇函数，
∴当x=0时，f （x ）=0，∴f （x ）=．…（7分）
函数图象如下图所示：
（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）
无增区间…（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f （x ）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v （x ）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
22．【答案】（1），其中.（2）时，()21sin cos S θθ=+02π
θ<<6π
θ=max S =
【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得ABCD S θ，这样可得高，再根据等腰直角三角形性质得，
AOE BOF θ∠=∠=2cos AB θ=()1cos sin AD θθ=-+最后根据梯形面积公式得，交代定义域()1cos sin BC θθ=++()2
AD BC AB S +⋅=()21sin cos θθ=+．（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数零点02π
θ<<()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值
6π
θ=试题解析：（1）连接，根据对称性可得且，
OB AOE BOF θ∠=∠=1OA OB ==所以，，，
1cos sin AD θθ=-+1cos sin BC θθ=++2cos AB θ=所以，其中．
()2AD BC AB S +⋅=()21sin cos θθ=+02πθ<<
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
23．【答案】（1），或，；（2）.21n a n =-12
n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=21
n n +【解析】试题解析：（1）设的公差为，的公比为，
{}n a d {}n b 由题意得解得或2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩2,2,d q =⎧⎨=⎩2,36.
d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴，或，．21n a n =-12n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=（2）若，由（1）知，
+1n n a a <21n a n =-∴，111111((21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+∴．111111(1)2335212121
n
n T n n n =-+-++-=-+
+…考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.
24．【答案】（1
；（2
．【解析】试题分析：（
1αα=⇒ sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭03πα
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，⇒cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得21
cos 22cos 1364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-
=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=．
试题解析：（1αα+∴
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得221cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．……………………………………10分∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434
πππππππ
αααα⎡⎤
⎛⎫
⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=．………………………………………………………………………………12分考点：三角恒等变换．。