辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题
解答题
1. （辽宁沈阳14分）如图，已知抛物线y =x 2
＋b x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与 y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． ⑴求抛物线的函数表达式； ⑵求直线BC 的函数表达式；
⑶点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ=
3
4
AB 时，求tan∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．
【答案】解：⑴∵抛物线y =x 2
＋b x ＋c 的对称轴为直线x =1，∴1221
b b
a -
=-=⨯。

∴b =－2。

∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3。

∴抛物线的函数表达式为y =x 2
－2x －3。

⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，
当y =0时，x 2
－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3。

∵A 点在B 点左侧，∴A（－1，0），B （3，0）。

设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =k x ＋m 。

则033k m
m =+⎧⎨-=⎩
，∴13k m =⎧⎨=-⎩
∴直线BC 的函数表达式为y =x －3。

⑶①∵AB=4，PQ=
3
4
AB ，∴PQ=3。

∵PQ⊥y 轴，∴PQ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12
-。

∴P（1
2-，74-），∴F（0，74
-）。

∴FC=3－OF=3－
7544
=。

∵PQ 垂直平分CE 于点F ，∴CE=2FC=52。

∵点D 在直线BC 上，
∴当x =1时，y =－2，则D （1，－2）。

过点D 作DG⊥CE 于点G ，则DG=1，CG=1。

∴GE=CE－CG=
52－1=3
2。

在Rt△EGD 中，tan∠CED=
GD 2
EG 3
=
②P 1（12），P 2（15
2
）。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，解一元二次方程，待定系数法，点的坐标与方程的关系，锐角三角函数。

【分析】⑴ 已知了C 点的坐标和对称轴即可用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）由B 、C 两点在直线上，B （3，0）、C （0，－3）两点的坐标满足直线方程的关系，用待定系数法即可求出直线BC 的函数表达式。

（3）①要求t an∠CED，即要把∠CED 放到一个直角三角形中，故作辅助线：过点D 作DG⊥CE 于点G ，这样tan∠CED=
GD
EG
，只要求出GD 、EG 即可。

利用PQ=34AB 关系和抛物线的对称性等即可求出。

②以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形，
情况一（如图），CE 为斜边，因为CD=DE 1
则由勾股定理，2（C E 1）2
= DE 12
，即C E 1=2，
又C 的坐标为（0，－3），所以E 1的坐标为（0，－1）， 从而P 1的纵坐标为
3122
--=-，代入y =x 2
－2x －3
得x 2
－2x －3=－2，
解得x 1。

所以P 1的坐标为（12）。

情况二（如图），CE 为直角边，则 E 2的坐标为（0，－2），
又C 的坐标为（0，－3），
从而P 2的纵坐标为
32522--=-，代入y =x 2
－2x －3 得x 2
－2x －3=－52，
解得x 1。

所以 P 2的坐标为（15
2
）。

综上所述，当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，点P 的坐标为（12），
（15
2
）。

2.（辽宁大连12分）如图，抛物线2y ax bx c =++经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． ⑴求该抛物线的解析式；
⑵抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A （－1，0）、B （3，0），∴可设抛物线的解析式()()13y a x x =+-。

又∵抛物线经过C （0，3），∴把（0，3）代入()()13y a x x =+-得，()()30103a =+-， 解得，1a =-。

∴物线的解析式为()()13y x x =-+-，即223y x x =-++。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，三角形面积相等的条件。

3.（辽宁本溪14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，点A （10，0）和点B （2，2），在线段OA 上，点P 从点O 向点A 运动，同时点Q 从点A 向点O 运动，运动过程中保持AQ=2OP ，当P 、Q 重合时同时停止运动，过点Q 作x 轴的垂线，交直线AB 于点M ，延长QM 到点D ，使MD=MQ ，以QD 为对角线作正方形QCDE （正方形QCDE 随点Q 运动）． （1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE 的面积为S ，P 点坐标（m ，0）求S 与m 之间的函数关系式；
（3）过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，延长PN 到点G ，使NG=PN ，以PG 为对角线作正方形PFGH （正方形PFGH 随点P 运动），当点P 运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH 的边GP 和正方形QCDE 的边EQ 落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB 下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P 继续向点A 运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P 的坐标，不必说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线过O(0，0)，A(10，0），∴设抛物线解析式为(0)(10)y a x x =--。

将B(2，2）代入，得2(210)2a ⨯⨯-=，解得1
8
a =-。

∴抛物线解析式为2115
(10)884
y x x x x =--=-+。

（2）设AB 解析式为y kx b =+，将A （10，0），B （2，2）代入，得
10022k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得1452k b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴AB 解析式为
1542y x =-+。

∵P（m ，0），∴OP=m，AQ=2m ，OQ=10－2m 。

∴当x =10－2m 时，QM=1
51
(102)4
22m m --+
=，∴QD=m。

∵四边形QCDE 是正方形，∴2211
S QD 22
m ==。

（3）①由P （2，0），根据抛物线解析式可知N （2，2）， 由正方形的性质得G （2，4），即PG=4。

又当GF 和EQ 落在同一条直线上时，△FGQ 为等腰直角三角形。

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB 解析式得M （6，1），即QM=1，QD=2。

∴阴影部分面积和=22111(PG QB )5222
⨯+=。

②15P ( 0)2，，210
P (
0)3
，
，3P (9。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质。

综上所述，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况时点P 的坐标为15
P ( 0)2
，，
210
P ( 0)3
，，3P (9。

4．（辽宁丹东14分）己知：二次函数
2 6 (0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A 、B
两点(点A 在点B 的左侧)，点A 、点B 的横坐标是一元二次方程2
4120x x --=的两个根．
（1）请直接写出点A 、点B 的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图l ，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点(点Q 不与点O 、B 重合)．过点Q 作QD∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标(m ，0)，当△CDQ 面积S 最大时．求m 的值．
【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）解一元二次方程24120x x --=可求A 、B 两点坐标。

（2）将A 、B 两点坐标代入二次函数2 6 y ax bx =++，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可
求对称轴及顶点坐标。

（3）作点C 关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P 点，连接CP ，根
据轴对称的性质和三角形两边之和大于第三边的性质得P 点即为所求。

（4） 由DQ∥AC 得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△QBD 的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ
的面积，根据ABC QBD ACQ S S S S ∆∆∆=--，运用二次函数的性质求面积最大时，m 的值即可。

5.（辽宁抚顺14分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD 在x 轴上，点A 的坐标(－1，0)，点B 在y 轴的正半轴上，BC ＝OB.
(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；
(2)动点E 从点B(不包括点B)出发，沿BC 运动到点C 停止，在运动过程中，过点E 作EF⊥AD 于点F ，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠，得到四边形A 1B 1EF ，点A 、B 的对应点分别是点A 1、B 1，设四边形A 1B 1EF 与
梯形ABCD 重合部分．．．．
的面积为S ，F 点的坐标是(x ,0)． ①当点A 1落在(1)中的抛物线上时，求S 的值； ②在点E 运动过程中，求S 与x 的函数关系式．
备用图
【答案】解：(1)在△ABO 中∠AOB＝90°，tanA ＝OB
OA
＝2，
∵点A 坐标是(－1，0)，∴OB＝2。

∴点B 的坐标是(0，2)。

又∵BC∥AD，BC ＝OB ，∴点C 的坐标是(2，2)。

由点B (0，2)在抛物线上，设抛物线表达式为22y ax bx =++。

∵点A(－1，0)和点C(2，2)在抛物线上，
∴204222a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ，解得23
4
3
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为22
4
233
y x x =-+
+。

(2)①当点A 1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A 1与点A 关于对称轴对称。

由沿直
线EF 折叠，所以点E 是BC 中点，点E 的坐标为(1，2)，点F 的坐标为(1，0)，重合部分面积就是梯形ABEF 的面积。

面积为：S ＝12(BE ＋AF)²EF＝1
2
(1＋2)²2＝3。

②当0＜x ≤1时，重合部分面积就梯形ABEF 的面积，由题得AF ＝x ＋1，BE ＝x ，
S ＝S 梯形ABEF ＝1
2
(BE ＋AF)²BO＝2x ＋1。

当1＜x ≤2时，如图，设A 1B 1交CD 于点N ，作MN⊥D F 于点N ，CK⊥AD 于点K ，重合部分面
积就是五边形形A 1NCEF 的面积。

由△NMA 1∽△DMN 得，MA 1NM ＝NM
MD ，
∵∠BAO＝∠MA 1N ，tan∠BAO＝2，
∴tan∠MA 1N ＝MN A 1M ＝2。

∴MA 1＝1
2
MN ，MD ＝2MN 。

∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝1
2。

在△DCK 中，∠CKD＝90°，CK ＝OB ＝2，tan∠CDK＝CK DK ＝1
2，
∴DK＝4，OD ＝6。

∵OF＝x ，A 1F ＝x ＋1，∴A 1D ＝OD －OF －A 1F ＝5－2x ，FD ＝6－x 。

∴MN＝2
3
(5－2x )。

∴S＝S 梯形DCEF －S △A1ND ＝12（EC ＋FD ）²CK －1
2A 1 D²MN
＝8－2x －13(5－2x )2
＝－43x 2＋143x －13
.。

综上所述，S 与x 的函数关系式为S ＝()
()22101414
1123
33x x x x x ≤⎧⎪
⎨-≤⎪⎩＋＜-＋＜。

【考点】锐角三角函数，梯形的性质，待定系数法求抛物线表达式，点的坐标与方程的关系，对称的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由已知，应用锐角三角函数和梯形的性质可求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由待定系数法可求抛物线表达式。

(2)分0＜x ≤1和1＜x ≤2分别讨论四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分的面积。

讨论时把有关线段用含x 的表达式表示即能求出。

6.（辽宁阜新14分）如图，抛物线y ＝12x 2＋x －3
2与x 轴相交于A 、B 两点，
顶点为P ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，若存在， 求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F ，使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条 件的点F 的坐标．
【答案】解：（1）令12x 2＋x －3
2
＝0，解得12x 1,x 3==- 。

∵点A 在点B 的左边，∴点A 、B 的坐标分别为（－3，0），（1，0）。

（2）∵y＝12x 2＋x －32＝12（x ＋1）2
－2，∴顶点P 的坐标为（－1，－2）。

∵要使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，即要它们同底等高，
∴抛物线存在点E ，它在x 轴上方且与x 轴的距离为2。

即它是抛物线y ＝12x 2＋x －3
2与直线y ＝2的交点。

∴解12x 2＋x －3
2
＝2得，x
∴抛物线存在点E （－1－）和（－1＋的面积等于△ABE 的面积。

（3）使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形的点F 的坐标为： （－1，2），（－5，－2），（3，－2）。

【考点】点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，三角形面积相等的条件，平行四边形的判定，轴对称的性质，平移的性质。

当AB 是对角线时，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定可得点P 关于AB 的对称点
（－1，2）符合条件。

当AB 是边时，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，由AB ＝4，只要把点P 向左或
向右平移4个单位得到的点（－5，－2），（3，－2）符合条件。

综上所述，符合条件的点F 的坐标为（－1，2），（－5，－2），（3，－2）。

7.（吉林省10分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD 于点E,AD=8cm ，BC=4cm,AB=5cm 。

从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B 同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P 沿A--B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，∆PA Q 的面积为y cm 2
，（这里规定：线段是面积为0的三角形) 解答下列问题：
(1) 当x=2s 时，y=_____ cm 2
;当x =
2
9 s 时，y=_______ cm 2
(2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与x 之间的函数关系式。

(3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15
4
=
y S 梯形ABCD 时x 的值。

（4）直接写出在整个．．
运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
P
（备用图）
【答案】解：（1） 2，9。

（2）分三种情况： ① 当5≤x ≤9时（如图），
y= S 梯形ABCQ –S △ABP –S △PCQ ()()()()2111165
545594722222
x x x x x x =
⋅+⋅-⋅⋅--⋅-⋅-=-+。

②
当9＜x ≤13时（如图），
()()APQ 2y S 1119
9+41435222
x x x x ∆==
⋅-⋅-=-+- 。

③ 当13＜x ≤14时（如图），
()APQ
y S 1
8144562x x ∆==⋅⋅-=-+ 。

（3） 当动点P 在线段BC 上运动时，
∵()ABCD 441
y S 485815152=
=⋅⋅+⋅=梯形， ∴21657822
x x -+=，即x ²－14x +49 = 0。

解得x 1 = x 2 = 7。

∴当x =7时，ABCD 4
y S 15
=梯形。

（4）2161101
999
x = ，，。

【考点】动点问题，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，平行的判定。

【分析】（1）当x =2s 时，点Ｐ在ＡＢ上，点Ｑ在ＢＣ上，∴1
2222
y =⋅⋅=。

当x =92s 时，点Ｐ在ＡＢ上，点Ｑ在ＣＥ上，∴19
4922
y =⋅⋅=。

（２）分时段讨论即可。

（３）考虑当动点P 在线段BC 上运动时，函数关系式用2165
722
y x x =
-+即可正确求出。

（４）设x s 时， PQ 与四边形ABCE 的对角线平行。

根据相似三角形的判定和性质，平行的判定，分三种情况：
① 当点P 在线段ＡＢ上运动，有ＢＰ：ＢＱ＝ＡＢ：ＢＣ，即（５－x ）：x ＝５：４，解得
21
9
x =
； ② 当点P 在线段BC 上运动，有ＰＣ：ＣＱ＝ＢＣ：ＡＢ，即（９－x ）：（x －４）＝４：５，解
得61
9
x =
； ③ 当点P 在线段ＣＤ上运动，有ＰＤ：ＤＱ＝ＡＢ：ＢＣ，即（１４－x ）：（x －４）＝５：４，
解得101
9
x =。

(Q )
8.（吉林长春10分）如图，∠C=90°，点A 、B 在∠C 的两边上，CA=30，CB=20，连接AB ．点P 从点 B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与B 、C 两点不重合时， 作PD⊥BC 交AB 于D ，作DE⊥AC 于E ．F 为射线CB 上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P 的运动时间为x （秒）． （1）用含有x 的代数式表示CF 的长． （2）求点F 与点B 重合时x 的值．
（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形 的面积为y （平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式．
（4）当x 为某个值时，沿PD 将以D 、E 、F 、B 为顶点的四边形剪开，得到两 个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x 值．
【答案】解：（1）由题意知，△DBP∽△ABC，四边形PDEC 为矩形。

∴
PD PB CA CB =，CE=PD 。

CA PB 304PD 6CB 20
x
x ⋅⋅===。

CE 6x =。

（2）由题意知，△CEF∽△CBA，∴CF CE CA CB =．∴CA CE 306CF 9CB 20
x
x ⋅⋅===．
当点F 与点B 重合时，CF CB =，9x=20．解得20
=9
x 。

（3）当点F 与点P 重合时，BP CF CB +=，4x ＋9x =20，得20
=13
x 。

当20
013
x <<时，如图①，
2PD(PF DE)6(2013204)=5112022
x x x y x x +-+-==-+。

当2013≤x ＜209时，如图②， 1DE DG 2y =⋅=12
(204)(204)23x x -⋅-
216
(5)3
x =-。

(或216160400
333
y x x =-+
) ∴y 与x 之间的函数关系式为()2
220501200131620205
3139x x x y x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩
（4）12320205
19132
x x x =
==，，。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质。

【分析】（1）由△DBP∽△ABC，即可得出比例式从而得出表示CE 的长。

如图③，当PD PF =时，62013x x =-．解得20
19
x =
．BPE ∆'为拼成的三角形； 如图④，当点F 与点P 重合时，4920x x +=．解得20
13x =．BDC ∆为拼成的三角形；
如图⑤，当DE PB =时，2044x x -=．解得5
2
x =．DPF ∆为拼成的三角形。

9.（黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC 中，BC=2AC ，∠DBC=∠ACB，BD=BC ，CD 交线段AB 于点E ． (1)如图l ，当∠ACB=900
时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为 (2)如图2，当∠ACB=1200时，求证：DE=3CE ：
(3)如图3，在(2)的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G ，△DKG 和△DBG 关 于直线DG 对称(点B 的对称点是点K ，延长DK 交AB 于点H ．若BH=10，求CE 的长
【答案】解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，∴△DBE∽△CAE 。

∴
BD DE
AC CE
=。

又∵BD=BC=2AC，∴DE=2CE。

∴线段DE 、CE 之间的数量关系为DE=2CE 。

（2）证明：如图，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC ，∴∠D=∠BCD=30°。

∴∠ACD=90°。

过点B 作BM⊥DC 于M ，则DM=MC ，BM= 1
2
BC ，
∵AC=
1
2
BC ，∴BM=AC。

又∵∠BMC=∠ACM=90°，∠MEB=∠CE A ， ∴△BME≌△ACE（AAS ）。

∴ME=CE= 1
2
CM 。

∴DE=3EC。

（3）如图，过点B 作BM′⊥DC 于点M′，过点F 作FN⊥DB 交DB 的延长线于点N ，
设BF=a ，BN= 1
2
a ， ∵DB=BC=2BF=2a ，∴DN=DB+BN=
5
2
a 。

∴DF 7a =。

∵AC=
12BC ，BF= 1
2
BC ，∴BF=AC。

∴△DBF≌△ACB，∴∠BDF=∠CBA， 又∵∠BFG=∠DFB，∴△FBG∽△FDB。

∴
FG BF BG BF DF DB
== ，即BF 2=FG³FD，
∴2
7FG a a =⋅。

∴FG =。

∴DG=DF－FG=
7
，DB BG FG BF =⨯=。

∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，∴∠GDH=∠BDF。

∴∠ABC=∠GDH。

又∵∠BGF=∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴
BG GF
DG GH
=。

∴GF GH DG BG =⨯=。

∵BH=BG＋10=，，∴a =。

∴BC=2a =
∵DE=3EC，∴EC=
1
4
【考点】相似三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程-，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论。

（2）通过作辅助线，过点B 作BM⊥DC 于M ，证明△BME≌△ACE，可证得结论。

（3）过点B 作BM′⊥DC 于点M′，过点F 作FN⊥DB 交DB 的延长线于点N ，设BF=a ，在直角三
角形BFN 中，用a 分别表示出BN 、FN 的长，利用勾股定理得出DF ，再通过证明△BME≌△ACE，△FBG∽△FDB，利用相似比求得FG 、DG 、BG ，然后，根据△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH 、BH ，求出a 的值，从而求出CE 的长。

10.（黑龙江大庆8分）已知二次函数2(0,0)y ax bx b a b =-+>>)图象顶点的纵坐标不大于－ b 2
．
(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，求线段AB 长度的最小值．
【答案】解：（1）∵2
(0,0)y ax bx b a b =-+>>图象顶点坐标为（,
2b a
2
44ab b a -）， 由已知得2442ab b b a -≤- ，解得32b
a
≥。

∴该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小于3。

（2）设1212( , 0) , ( , 0)()A x B x x x <，则1x 、2x 是方程20ax bx b -+=的两个根。

∴12x x =。

∴21AB x x =-=
==由（1）可知
6b
a
≥。

由于当
6b
a
≥时，随着b a
∴当
6b
a
=时，线段AB 的长度的最小值为。

【考点】二次函数的性质，二次函数和x 轴的交点与一元二次方程的关系，一元二次方程求根公式。

【分析】（1）先求出2(0,0)y ax bx b a b =-+>>的顶点的纵坐标，根据题意得出 32b
a
≥，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围。

（2）设1
2
1
2
(, 0), (, 0)()A x B x x
x <，则1x 、2x 是方程20ax bx b -+=的两个根，由求根公式得出1x 、
2x ，根据21AB x x =-求出线段AB 长度的最小值。

11.（黑龙江龙东五市10分）如图，直线AB 与坐标轴分别交于点A 、点B ，
且OA 、OB 的长分别为方程x 2
－6x +8=0的两个根（OA ＜OB ），点C 在y 轴上，且OA ︰AC=2︰5，直线CD 垂直于直线AB 于点P ，交x 轴于点D 。

（1）求出点A 、点B 的坐标。

（2）请求出直线CD 的解析式。

（3）若点M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M ， 使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出
点M 的坐标；若不存在，请说 明理由。

【答案】解：（1）∵方程x 2
－6x ＋8＝0的根为x 1＝4，x 2＝2，
而OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ，
∴OA＝2，OB ＝4。

∴ A(0，2)，B(－4，0) 。

（2）∵OA:AC＝2:5，∴ AC＝5。

∴OC=OA+AC=2+5=7。

∴ C(0，7)。

∵∠BAO＝∠CAP，∠CPB＝∠BOA＝90O
，∴∠PBD＝∠OCD。

又∵∠ BOA=∠COD=90O
， ∴△BOA∽△COD。

∴
BO OA
CO OD
=。

∴ OD=OA CO 277BO 42⋅⨯==。

∴D(72，0)。

设直线 CD 的解析式为y kx b =+
把C(0，7)，D(72，0)分别代入得：7
702
b k b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得260k b =-⎧⎨=⎩。

∴直线 CD 的解析式为260y x =-+。

(3)存在，M 1(－5.5 , 3)，M 2(9.5 , 3)，M 3(－2.5 , －3)。

【考点】一次函数综合题，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，平行四边形的性质，平移变换，对称变换。

12.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西10分）已知直线y +x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∠ABC=60°，BC 与x 轴交于点C ． （1）试确定直线BC 的解析式．
（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动（不与C 、A 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由已知得A 点坐标（－4﹐0），B 点坐标（0﹐
∵OA=4，OB
OA
∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形。

∴OC=OA=4，∴C 点坐标﹙4，0﹚。

设直线BC 解析式为y kx b =+
，则40b k b ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩
，∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩。

∴直线BC
的解析式为y =+。

﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时，0＜t≤4，作QH⊥x 轴， 由于
8，2t=8，从而Q 点在CB 之间运动。

∵QH∥BO，∴△CQH∽△CBO。

∴QH CQ
BO CB =。

CB=8，
CQ=2t 2t
8
=。

又∵AP=t， ∴S △APQ =
12
AP•QH= 1
2
t 2﹙0＜t≤4﹚。

当P 点在OC 之间运动时，4＜t ＜8，Q 点在BA
之间运动。

同理可得，AB=8，AQ=16－2t
，
，AP=t 。

∴ S △APQ =
12AP•QH=
1
2
t•﹙
﹚
=2+﹙4＜t ＜8﹚。

综上所述，
S =2
20t 44t 8≤⎨⎪⎪⎩﹙＜﹚﹙＜＜﹚。

（3）存在。

N 点的坐标为（4，0），（－4，8）（－4，－8）
（－4）。

【考点】动点问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，菱形的判定和性质。

【分析】（1）由已知得A 点坐标，通过OA ，OB 长度关系，求得角BAO 为60度，即能求得点C 坐标，设直线BC 用待定系数法即求可得。

（2）考虑当P 点在AO 和OC 之间运动时的情况求得QH ，从而求得三角形APQ 的面积。

（3）由（2）所求可知，当△APQ 的面积最大时，t=4
，此时点P 落在坐标原点，点Q 落在点B 。

使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，可分AQ 为菱形边和对角线两种情况分别求得。

13.（黑龙江牡丹江10分）如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边OC 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan∠BFD=
34．若线段OA 的长是一元二次方程x 2—7x 一8=0的一个根，又2AB=3OA ．请解答下列问题：
(1)求点B 、F 的坐标：
(2)求直线ED 的解析式：
(3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解x 2—7x 一8=0得x l =8，x 2=－1(舍去)．∴OA=8 。

又∵2AB=3OA，∴AB=12。

∵∠EFD=900，∴∠DFB＋∠EFA=∠EFA+∠AEF=900。

∴∠AEF=∠DFB。

∵tan∠BFD=tan∠AEF=AF 4AE 3
=， ∴设AF=4k ，AE=3k ，根据勾股定理得，EF=EO=5k 。

又∵AE＋EO=AO ，即3k+5k=8，∴k=1。

∴AE=3，AF=4，EF=EO=5。

∴点B 的坐标为(12，8)，点F 的坐标为(4，8)。

(2) 过D 作DH⊥AB，设FH=x ， ∴8x =tan∠BFD=43
，解得。

x =6，∴OD=AH=AF＋FH= 10，∴D（10，0）。

设直线ED 的解析式为y kx b =+，
∵直线ED 经过E (0，5)，D (10，0)两点，
∴5100b k b =⎧⎨+=⎩，解得，125
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

∴直线ED 的解析式为1
52
y x =-+。

（3）存在。

12668348M ,,M ,5555⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

【考点】一次函数综合题，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
，解一元二次方程，锐角三角函数，勾股
定理，平行四边形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据题意解方程x2—7x一8=0求出OA=8，再根据条件2 AB=30A求出AB=12，这样就得到B
点坐标，然后证出∠AEF=∠DFB，从而得到tan∠AEF= 4
3
，再根据折叠，利用勾股定理求出即可得到AF，
AE的长，从而得到F点坐标。

（2）首先根据tan∠BFD= 4
3
，求出D点坐标，再利用待定系数法，把E，D两点坐标代入函数关
系式，可得到直线ED的解析式。

（3）利用平行四边形对边平行且相等的性质即可得出：设直线FD的解析式为y mx n
=+，
∵直线FD经过F (4，8)，D (10，0)两点，
∴
48
100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得，
4
3
40
3
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩。

∴直线ED的解析式为
440
33
y x
=-+。

∵直线ED的解析式可化为x=10－2y，∴设点M的坐标为（10－2y，y）。

∴根据平行四边形对边平行的的性质，得点N的坐标为（403
4
y
-
，y）。

又∵D C=2，∴根据平行四边形对边相等的性质，得MN= DC=2，即
10－2y－403
4
y
-
=2或
403
4
y
-
－（10－2y）=2，解之得
88
55
y y
=-=
或。

当
8
5
y=-时，10－2y=
66
5
；当
8
5
y=时，10－2y=
34
5。

∴满足条件的点M的坐标为
668348
,, 5555
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
和。