精选2019春九年级数学下册第三章圆小专题五垂径定理的有关计算课时作业

小专题(五)垂径定理的有关计算
由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.
类型1平分弦(不是直径)的直径
1.如图,AB是☉O的弦,OC为半径,与AB交于点D,且AD=BD,已知AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为(D)
A.5 cm
B.2.5 cm
C.2 cm
D.1 cm
2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴于点C,D,则CD的长是2.
3.如图,D是☉O的弦BC的中点,A是上一点,OA与BC交于点E,已知OA=8,BC=12.
(1)求线段OD的长;
(2)当EO=BE时,求△ODE的面积.
解:(1)连接OB.
∵OD过圆心,且D是弦BC的中点,
∴OD⊥BC,BD=BC=6.
在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,
∵OB=OA=8,BD=6,
∴OD==2.
(2)在Rt△EOD中,OD2+DE2=OE2,
设BE=x,则OE=x,DE=6-x,
∴(2)2+(6-x)2=(x)2,
解得x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,∴DE=2,
∴S△ODE=DE·OD=×2×2=2.
类型2弦的垂直平分线
4.(南通中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD 的长为2.
5.(安顺中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,CD=6,求BE的长.
解:连接OC.
∵弦CD⊥AB于点E,CD=6,
∴CE=ED=CD=3,
∵在Rt△OEC中,∠OEC=90°,CE=3,OC=4,
∴OE=,
∴BE=OB-OE=4-.
6.如图,在☉O中,弦AB的垂直平分线交☉O于C,D两点,AB=8,弦AC=5,求☉O的直径.
解:∵CD垂直平分AB,∴CD是☉O的直径.
∵AB=8,∴AE=4.
在Rt△ACE中,AC=5,
∴CE==3.
设AO=r,
在Rt△OAE中,∵AO2=AE2+OE2,
∴r2=42+(r-3)2,解得r=.
∴☉O的直径为.
7.如图,已知AB,CD是☉O的两条弦,且AB是线段CD的垂直平分线,AB=6,CD=2,求线段AC 的长度.
解:∵AB是☉O的弦,且AB是CD的垂直平分线,
∴AB是☉O的直径.
连接OC,设AB与CD的交点为E.
∵AB=6,CD=2,
∴OA=OC=3,CE=.
在Rt△OCE中,OE==2,
∴AE=OA+OE=3+2=5.
在Rt△ACE中,AC=.
类型3平分弦所对的一条弧
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是 (C)
A.CM=DM
B.
C.AD=2BD
D.∠BCD=∠BDC
9.如图,在☉O中,C是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2,求☉O的半径.
解:连接AO.
∵C是的中点,半径OC与AB相交于点D,
∴OC⊥AB.
∵AB=12,
∴AD=BD=6.
设☉O的半径为r,
∵CD=2,
∴DO=r-2.
在Rt△AOD中,由勾股定理可得AO2=OD2+AD2,
即r2=(r-2)2+62,解得r=10,
∴☉O的半径为10.
10.如图,D是的中点,E是的中点,DE分别交AB,AC于M,N两点.求证:AM=AN.
证明:连接OD,OE,则OD⊥AB,OE⊥AC.
又∵OD=OE,
∴∠D=∠E,
∴∠DMB=∠CNE,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN.
类型4两条平行弦的有关计算
11.(孝感中考)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是2或14 cm.
12.如图,AB,CD都是☉O的弦,且AB∥CD,求证:.
证明:作半径OE⊥AB交☉O于点E.
∵AB∥CD,
∴OE⊥CD,
∴,
∴,即.。