2021年高二下学期暑假作业数学(理)试题(20) 含答案

2021年高二下学期暑假作业数学（理）试题（20）含答案
一、选择题：
1．复数所对应的点位于复平面内（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．函数f（x）=2x2﹣lnx的递增区间是（）
A．（0，）B．（﹣，0）及（）
C．（）D．（）及（0，）
4．下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a
1=1，a
n
=3n﹣1，求出S
1
，S
2
，S
3
，猜想出数列的前n项和S
n
的表达
式
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
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D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
5．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，
则f（5）+f′（5）=（）
A．2 B．1 C．D．0
二、填空题：.
6．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数
a=
．
7．如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为．
8．如图，阴影部分的面积是．
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9．已知P（x
0，y
）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的
斜率可通过如下方式求得：
在y2=2px两边同时对x求导，得：，所以过P的切线的斜率：试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为．
三、
10．已知z
1=2+i，•z
2
=6+2i，
（1）求z
2
；
（2）若z=，求z的模．
11．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
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12．数列{a
n }的前n项和记为S
n
，已知a
n
=．
（Ⅰ）求S
1，S
2
，S
3
的值，猜想S
n
的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．
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答案
1. B
2. C
3. C
4. B
5. A
6.：2．
7.：62．
8.：．
9.：2x ﹣y ﹣=0 10. 解：（1）设z 2=a+bi （a ， b∈R）∵，
∴（z ﹣i ）（a+bi ）=6+2i ， 即（2a+b ）+（2b ﹣a ）i=6+2i ， ∴，解得：a=2，b=2， ∴z 2=2+2i ． （2）∵，
∴|z|=．
11. 解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，
即⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋a 7⎝
⎛⎭⎪⎫x －a 8<0. ①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a
8
； ②当－a 7＝a
8
，即a ＝0时，原不等式解集为∅；
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③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a
7
.
综上知，当a >0
时，原不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x |－a 7<x <a 8；
当a ＝0时，原不等式的解集为∅；
当a <0
时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |a 8<x <－a 7.
12.．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n =． （Ⅰ）求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式； （Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想． 【考点】数学归纳法；数列递推式．
【分析】（1）根据题设条件，可求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式． （2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明． 【解答】解：（Ⅰ）∵a n =， ∴S 1=，S 2=，S 3=， 猜想S n =；
（Ⅱ）①n=1时，S 1=成立；
②假设n=k时，成立，即S
k
=，
则当n=k+1时，S
k+1=S
k
+a
k+1
=+=，
即当n=k+1时，结论也成立
综上①②知，S
n
=．
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