19271-数学建模-A10422007
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不难得知，正 K 边形无缝拼接充要条件：正 K 边形的角能够整除 360o 。 下面针对不同 K 的取值，给出算法的具体实现： （1）当 K＝3 时，即为圆内接正三角形，如图所
示。圆半径为 100，可知正三角形边长为100 3 ，，正
三角形内角为 60o ，所以，可以实现无缝拼接。一个三
角形沿水平垂直两个方向的有效贡献分别为 50 3 ，
2R2
arcsin
a R
−
2a
R2 − a2 = k0π R2
针对问题中的相交面积 5％，18％两种情况，由上面公式计算出
k = S1 = 5% 时，θ = 57.1o S
k = S1 = 18% 时，θ = 89.7o S
对于基 6 模型，θ = 60o > 57.1o ，此时 k = S1 = 5.77% ，所以，基 6 模型可以很好 S
二、问题的简化（模型假设）
我们针对不同的问题，提出了下列假设： 针对问题（1），假设覆盖圆的圆心位置坐标可以精确定位，在正方形区域内 地形是完全相同的，不考虑地形因素带来的影响；覆盖圆的半径大小也是相同的， 都为 100；节点位于圆心或者公共部分的中心。 针对问题（2），假设覆盖圆的半径可以在 75－100 之间随意选择；两个面积 不等的圆相交，公共部分的面积不小于大圆面积的 5％。 针对问题（3），假设在一个较短的时间间隔内，网络的连通性不变；有转发 任务的相邻圆的公共部分面积不小于较大圆的 5％；覆盖圆的半径不大于 100。 针对问题（4），假设数据文件给出的前十个数据只做折线运动，每 30 个单 位时间可能改变一次运动的方向和速度，运动的方向角、速度是分别服从在[0， 2π] 、[0，2]上均匀分布的随机变量；其他节点不移动；节点到达正方形区域边 界后只能向区域内运动。 针对问题（5）假设发射功率与最大传输距离的三次方成正比；网络运行期， 节点保持静止；在 A、B 两个节点通信时，不存在同时收发的问题；两节点平均
12121…），以后每增加一列（每行圆数增加 1），能步进距离 h2 = 3R ，所以当 竖值有 n 行时，能够覆盖的有效矩形长度为
所以垂直方向需要 11 个正方形，水平方向：第 1，3，5，7，9，11 行需要 5 个，第 2，4，6，8，10 行需要 6 个，一共是 60 个。
（3）当 K＝5 时，即为圆内接正五边形，其内角为108o ，无法整除 360o ，所以
无缝实现无缝拼接。 （4）当 K＝6 时，即为圆内接正六边形，如图所示。
将 sinθ 中的θ 化为数量 sin θπ 180
dk = d
θ (
θπ sin − 180 ) =
1
(1− cos θπ ) > 0
dθ dθ 180 π
180
180
所以随着θ 增大，k 的值是单调增加的并且增长速度满足正弦形式。
两半径相等圆相交，以公共面积中心为坐标原点，圆心距 d = 2a 。则两圆方 程分别为
我们选用如下图所示的基 6 模型小单元， 4.2.1 垂直方向
如果只有一行，覆盖矩形区域的高为 R，以后每增加一行，其步进距离为
h1 = 1.5R ，所以当水平有 m 行时，能够覆盖的有效矩形高度为
y = h1(m −1)R + R = 1.5mR − 0.5R
②
4.2.2 水平方向
如果只有一列，其覆盖矩形长度为 3R （从上向下每行圆个数依次上
该题讨论的是对一个特定的正方形区域（1000×1000），采用有一定半径范 围要求的圆有重叠的全部覆盖或者对正方形区域中特定位置的节点进行覆盖。
问题有如下几个方面：在满足一定条件下，如何找到最小数目的覆盖圆？如 何找到所有半径和最小的覆盖圆的区域分划？在特定的区域分划下，如何确定信 道的数目？如何讨论网络拓扑结构的抗毁性？当正方形区域中存在一个湖泊时， 如何改变以上设计寻求最优？当正方形区域中有一定数目固定节点和运动节点 时，如何实现圆覆盖？并讨论其连通性和抗毁性。当把能量、功率、时间等实际 网络运行因素考虑进来后，如何实现圆覆盖？并提出自己的网络设计观点。
基于问题 3 的讨论，对问题 4、5、6 进行了进一步阐述。
参赛队号 10422007
参赛密码 （由组委会填写）
0
一、问题的描述
随着人们对摆脱有线网络束缚、随时随地可以进行自由通信的渴望，近几年 来无线网络通信得到了迅速的发展，无线网络的设计成为当前网络和通信技术研 究的热点之一，本题 Ad Hoc 网络的通信设计问题就是在这样一个背景下提出的。 Ad Hoc 网络的出现推进了人们实现在任意环境下的自由通信的进程，同时它也 为军事通信、灾难救助和临时通信提供了有效的解决方案。
全国第三届研究生数学建模竞赛
题目
Ad Hoc 网络中的区域划分和资源分配问题
摘
要：
近年来无线网络通信得到了迅速的发展,而 Ad Hoc 网络做为一
种无线通信的载体发展迅速。本文首先建立了 Ad Hoc 网络一跳覆盖
区的基 K 模型，充分的论证了 K 取不同值时效果的优劣，得出问题 1
结论：5％时采用基 6 模型，3 信道，需 45 个圆；18％时采用基 4 模
的解决公共面积不小于 5％的要求。
同理，对于基 4 模型θ = 90o > 89.7o ，此时，k = S1 = 18.17% 所以，基 4 模型可以 S
很好的解决公共面积不小于 18％的要求。
定理 4：在保证两圆相交面积不小于两个圆中较大的圆面积的 k％时，当两
圆半径相等时，公共面积占两个圆总面积的百分比最小。
证明：如图两圆，半径 R1 ≥ R2 。
因为 R1 ≥ R2 ，所以 So1 ≥ So2
又因为 S1 = k% ，所以 S1 ≥ k%
So1
So2
S = k% ≥ 2k% So1 + So2 1+ So2
（当且仅当 So1 = So2 即 R1 = R2 时取等）。
So1
考虑在一个无限大的平面内采用两种半径 R1， R2 的圆相交完全覆盖平面。
1
通信次数与距离的平方成反比；发射、接收和备用状态之间的转换时间以及为获 取网络结构、路由等公共信息所花的时间和其他资源忽略不计。
针对问题（6）假设通信过程中，重发 3 次或者延时 30 个时间单位就可能丢 包。
三、模型的分析
定理 1：若干半径为 R 的圆完全覆盖正方形区域的充分条件是这些圆的内接 正多边形完全覆盖了正方形区域。
定义圆的有效利用率η
=
实际两圆在平面内占的面积 两圆总面积
则η＝ So1 + So2 − k%So1 = 1− k% ≤ 1− 1 k%
So1 + S02
1+ So2
2
So1
（当且仅当 So1 = So2 即 R1 = R2 时取等）。
4
推论：两圆相交，满足相交面积不小于一个整圆面积的 k％的条件下，当两 圆半径相等时，圆有效利用率最高。
150（其中处在两次边界的三角形水平贡献为，另一半处于三角形外）。
可以得出水平方向需正三角形个数为
⎡ 1000 ⎢⎢50 3
⎤ ⎥⎥
+
1
＝13
个，垂直方向需要的个
数为
⎡1000 ⎢⎢ 150
⎤ ⎥⎥
＝7
个。所以，若用圆内接正三角形无缝无重叠覆盖正方形所需的个
5
数为 13×7＝91 个。 （2）当 K＝4 时，即为圆内接正方形，如图所示。
数行每行需要
6
个，偶数行每行需要
⎡1000 −100 ⎢⎢ 150
⎤ ⎥⎥
＋1＝7，所以总共需要正六边
形个数为 45 个。
（5）当 n ≥ 7 时，圆内接正 K 边形的内角必然大于 120 o 且小于 180 o ,可知无法
整除 360 o 。
6
所以，只要圆内接正 K 边形边数大于等于 7，就无法时间无缝拼接了。 基 K 模型的优点： （1）基 K 模型有效的解决了使用圆形完全覆盖正方形的问题，实现了无缝 拼接。 （2）一个正 K 边形对应一个圆，可以方便的计算出对任意区域不同方式全 覆盖时所需要的圆的个数。 （3）圆内接正 K 边形的一条边与圆围成的弓形，即为相邻两个圆的公共面 积的一半，可以方便解决不同公共面积大小的需求。 4.2 基 6 模型分析（满足相交面积不小于 5％的要求）
之间必然相互交叠，从大正方形和圆的几何形状综合考虑，我们提出基 K 模型 算法，来实现使用圆对正方形的完全覆盖。
算法思想：画出每个圆的内接正 K 边形，使用正 K 边形替代圆对正方形区 域进行覆盖。这样便可以使正 K 边形之间不发生重叠。满足正 K 边形之间无缝 连接时，只要 mSn ≥ 10002（m：正 K 边形个数，Sn ：一个正 K 边形的面积），即 可实现全覆盖，当然此时要考虑正 K 边形超出正方形的面积。所以实际操作时， 只要实现无缝拼接时沿水平垂直两个方向每个正 K 边形的有效贡献乘以个数大 于等于 1000，即可实现全覆盖，所需正 K 边形个数即为两个方向上的个数乘积， 也就是所需圆的个数。
证明：如图 1，两圆的圆心分别为 o1 ， o2 ，半径均为 R，两交点为 A，B。
2
相交面积为
S1
=
2
⎡θ ⎢⎣ 360
π
R2
−
1 2
R2
sinθ
⎤ ⎥⎦
令k
=
S1 S
=
θπ R2 − R2 sinθ 180
π R2
= θ − sin 180 π
①
由①知，k 值与圆的半径 R 无关，定理 1 得证。
型，2 信道，需 60 个圆。对于问题 2，采用基 6 模型，得出圆半径之
和最小为 4450。
论文主要对问题 3 进行了详细分析，提出漫路分簇算法，将节点
进行分簇，建立基于模拟退火的圆心漂移模型和最小覆盖圆模型，去
除圆心位置冗余和半径长度冗余，同时进行限制性条件检验，得到无
湖、有湖最小半径之和分别为 3925、3625。
(x − a)2 + y2 = R2
(x + a)2 + y2 = R2
∫ 公共面积 S0 = 4*
0 a−R
R2 − (x − a)2 dx
令x−a=t x=t+a
3
∫ −a
S0 = 4* −R
R2 − t 2 dt
∫ S0
= 4*
− arcsin −π
a R
R2
cos2
θ dθ
2
S0
=
π
R2
−
其边长为100 2 ，内角为 90o ，也可实现无缝拼接。 正方形若正放，沿两个方向上的有效贡献皆为
100
2
，个数为
⎡ 1000 ⎢⎢100 2
⎤ ⎥⎥
＝8
个，所以两个方向上都需
要 8 个，总数为 8×8＝64 个。
正方形若与水平成 45o 放置，垂直方向的有效贡献：
处于边界的两个正方形共贡献 100，其余中间部分每个 正方形贡献 100，水平方向的贡献：奇数行贡献 200； 偶数行两个边界的正方形各贡献 100，其余贡献 200。
其内角为 120 o ，可以实现无缝连接，边长为 100。垂直
方向贡献 150（其中处于边界的一个正六边形仅贡献
100），水平方向：奇数行有效贡献为100 3 ，偶数行，
首尾两个六边形有效贡献为 50 3 。
所以垂直方向需要正六边形的个数为
⎡ 1000 ⎢⎢100 3
⎤ ⎥⎥
＋1＝7，水平方向共
7
行，奇
证明：假设正 n 边形 Ai 覆盖了正方形区域中的 Bi ，所有 Ai （i＝1，2，…， M），覆盖的区域包含了正方形区域 B，即所有 Bi 覆盖的区域包含了正方形区域 B。 因为对于由 Ai 形成的外接圆 Oi ，必包含区域 Bi ，所以，所有 Oi （i＝1，2，…， M）覆盖的区域必包含了正方形区域 B。
定理 2：四色定理 对于一幅地图，最多使用 4 种颜色，就可以时任意相邻的区域涂上不同颜色， 其等价命题为：没有割边的三正则平面图的边可以三色着色。 简单的说明如下：根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看 成是一个点的集合，两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线，只要 证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会超过四个，也就证明了“四色问 题”。 推论：对于 1000×1000 的正方形平面区域内的任意一跳覆盖区划分，最多 使用 4 种信道，就可以保证相邻的一跳覆盖区拥有不同的信道。 定理 3： 在两等半径的圆相交的时候，若两交点夹的劣弧所对的圆心角θ 固定，则相交面积 S1 与整个圆面积 S 的比值与圆半径 R 无关，为常数。
由定理 4 及推论，在采用的基 k 模型当中，我们选用圆半径相同的情况。 定理 5：网络拓扑结果中任一节点 A 不能实现自身对外通信的充要条件为 A 节点所在的一跳覆盖区内无其他节点。
四、 模型建立和求解
4.1 基 K 模型算法 要将边长为 1000 的正方形区域用若干各半径为 100 的圆完全覆盖，圆与圆
示。圆半径为 100，可知正三角形边长为100 3 ，，正
三角形内角为 60o ，所以，可以实现无缝拼接。一个三
角形沿水平垂直两个方向的有效贡献分别为 50 3 ，
2R2
arcsin
a R
−
2a
R2 − a2 = k0π R2
针对问题中的相交面积 5％，18％两种情况，由上面公式计算出
k = S1 = 5% 时，θ = 57.1o S
k = S1 = 18% 时，θ = 89.7o S
对于基 6 模型，θ = 60o > 57.1o ，此时 k = S1 = 5.77% ，所以，基 6 模型可以很好 S
二、问题的简化（模型假设）
我们针对不同的问题，提出了下列假设： 针对问题（1），假设覆盖圆的圆心位置坐标可以精确定位，在正方形区域内 地形是完全相同的，不考虑地形因素带来的影响；覆盖圆的半径大小也是相同的， 都为 100；节点位于圆心或者公共部分的中心。 针对问题（2），假设覆盖圆的半径可以在 75－100 之间随意选择；两个面积 不等的圆相交，公共部分的面积不小于大圆面积的 5％。 针对问题（3），假设在一个较短的时间间隔内，网络的连通性不变；有转发 任务的相邻圆的公共部分面积不小于较大圆的 5％；覆盖圆的半径不大于 100。 针对问题（4），假设数据文件给出的前十个数据只做折线运动，每 30 个单 位时间可能改变一次运动的方向和速度，运动的方向角、速度是分别服从在[0， 2π] 、[0，2]上均匀分布的随机变量；其他节点不移动；节点到达正方形区域边 界后只能向区域内运动。 针对问题（5）假设发射功率与最大传输距离的三次方成正比；网络运行期， 节点保持静止；在 A、B 两个节点通信时，不存在同时收发的问题；两节点平均
12121…），以后每增加一列（每行圆数增加 1），能步进距离 h2 = 3R ，所以当 竖值有 n 行时，能够覆盖的有效矩形长度为
所以垂直方向需要 11 个正方形，水平方向：第 1，3，5，7，9，11 行需要 5 个，第 2，4，6，8，10 行需要 6 个，一共是 60 个。
（3）当 K＝5 时，即为圆内接正五边形，其内角为108o ，无法整除 360o ，所以
无缝实现无缝拼接。 （4）当 K＝6 时，即为圆内接正六边形，如图所示。
将 sinθ 中的θ 化为数量 sin θπ 180
dk = d
θ (
θπ sin − 180 ) =
1
(1− cos θπ ) > 0
dθ dθ 180 π
180
180
所以随着θ 增大，k 的值是单调增加的并且增长速度满足正弦形式。
两半径相等圆相交，以公共面积中心为坐标原点，圆心距 d = 2a 。则两圆方 程分别为
我们选用如下图所示的基 6 模型小单元， 4.2.1 垂直方向
如果只有一行，覆盖矩形区域的高为 R，以后每增加一行，其步进距离为
h1 = 1.5R ，所以当水平有 m 行时，能够覆盖的有效矩形高度为
y = h1(m −1)R + R = 1.5mR − 0.5R
②
4.2.2 水平方向
如果只有一列，其覆盖矩形长度为 3R （从上向下每行圆个数依次上
该题讨论的是对一个特定的正方形区域（1000×1000），采用有一定半径范 围要求的圆有重叠的全部覆盖或者对正方形区域中特定位置的节点进行覆盖。
问题有如下几个方面：在满足一定条件下，如何找到最小数目的覆盖圆？如 何找到所有半径和最小的覆盖圆的区域分划？在特定的区域分划下，如何确定信 道的数目？如何讨论网络拓扑结构的抗毁性？当正方形区域中存在一个湖泊时， 如何改变以上设计寻求最优？当正方形区域中有一定数目固定节点和运动节点 时，如何实现圆覆盖？并讨论其连通性和抗毁性。当把能量、功率、时间等实际 网络运行因素考虑进来后，如何实现圆覆盖？并提出自己的网络设计观点。
基于问题 3 的讨论，对问题 4、5、6 进行了进一步阐述。
参赛队号 10422007
参赛密码 （由组委会填写）
0
一、问题的描述
随着人们对摆脱有线网络束缚、随时随地可以进行自由通信的渴望，近几年 来无线网络通信得到了迅速的发展，无线网络的设计成为当前网络和通信技术研 究的热点之一，本题 Ad Hoc 网络的通信设计问题就是在这样一个背景下提出的。 Ad Hoc 网络的出现推进了人们实现在任意环境下的自由通信的进程，同时它也 为军事通信、灾难救助和临时通信提供了有效的解决方案。
全国第三届研究生数学建模竞赛
题目
Ad Hoc 网络中的区域划分和资源分配问题
摘
要：
近年来无线网络通信得到了迅速的发展,而 Ad Hoc 网络做为一
种无线通信的载体发展迅速。本文首先建立了 Ad Hoc 网络一跳覆盖
区的基 K 模型，充分的论证了 K 取不同值时效果的优劣，得出问题 1
结论：5％时采用基 6 模型，3 信道，需 45 个圆；18％时采用基 4 模
的解决公共面积不小于 5％的要求。
同理，对于基 4 模型θ = 90o > 89.7o ，此时，k = S1 = 18.17% 所以，基 4 模型可以 S
很好的解决公共面积不小于 18％的要求。
定理 4：在保证两圆相交面积不小于两个圆中较大的圆面积的 k％时，当两
圆半径相等时，公共面积占两个圆总面积的百分比最小。
证明：如图两圆，半径 R1 ≥ R2 。
因为 R1 ≥ R2 ，所以 So1 ≥ So2
又因为 S1 = k% ，所以 S1 ≥ k%
So1
So2
S = k% ≥ 2k% So1 + So2 1+ So2
（当且仅当 So1 = So2 即 R1 = R2 时取等）。
So1
考虑在一个无限大的平面内采用两种半径 R1， R2 的圆相交完全覆盖平面。
1
通信次数与距离的平方成反比；发射、接收和备用状态之间的转换时间以及为获 取网络结构、路由等公共信息所花的时间和其他资源忽略不计。
针对问题（6）假设通信过程中，重发 3 次或者延时 30 个时间单位就可能丢 包。
三、模型的分析
定理 1：若干半径为 R 的圆完全覆盖正方形区域的充分条件是这些圆的内接 正多边形完全覆盖了正方形区域。
定义圆的有效利用率η
=
实际两圆在平面内占的面积 两圆总面积
则η＝ So1 + So2 − k%So1 = 1− k% ≤ 1− 1 k%
So1 + S02
1+ So2
2
So1
（当且仅当 So1 = So2 即 R1 = R2 时取等）。
4
推论：两圆相交，满足相交面积不小于一个整圆面积的 k％的条件下，当两 圆半径相等时，圆有效利用率最高。
150（其中处在两次边界的三角形水平贡献为，另一半处于三角形外）。
可以得出水平方向需正三角形个数为
⎡ 1000 ⎢⎢50 3
⎤ ⎥⎥
+
1
＝13
个，垂直方向需要的个
数为
⎡1000 ⎢⎢ 150
⎤ ⎥⎥
＝7
个。所以，若用圆内接正三角形无缝无重叠覆盖正方形所需的个
5
数为 13×7＝91 个。 （2）当 K＝4 时，即为圆内接正方形，如图所示。
数行每行需要
6
个，偶数行每行需要
⎡1000 −100 ⎢⎢ 150
⎤ ⎥⎥
＋1＝7，所以总共需要正六边
形个数为 45 个。
（5）当 n ≥ 7 时，圆内接正 K 边形的内角必然大于 120 o 且小于 180 o ,可知无法
整除 360 o 。
6
所以，只要圆内接正 K 边形边数大于等于 7，就无法时间无缝拼接了。 基 K 模型的优点： （1）基 K 模型有效的解决了使用圆形完全覆盖正方形的问题，实现了无缝 拼接。 （2）一个正 K 边形对应一个圆，可以方便的计算出对任意区域不同方式全 覆盖时所需要的圆的个数。 （3）圆内接正 K 边形的一条边与圆围成的弓形，即为相邻两个圆的公共面 积的一半，可以方便解决不同公共面积大小的需求。 4.2 基 6 模型分析（满足相交面积不小于 5％的要求）
之间必然相互交叠，从大正方形和圆的几何形状综合考虑，我们提出基 K 模型 算法，来实现使用圆对正方形的完全覆盖。
算法思想：画出每个圆的内接正 K 边形，使用正 K 边形替代圆对正方形区 域进行覆盖。这样便可以使正 K 边形之间不发生重叠。满足正 K 边形之间无缝 连接时，只要 mSn ≥ 10002（m：正 K 边形个数，Sn ：一个正 K 边形的面积），即 可实现全覆盖，当然此时要考虑正 K 边形超出正方形的面积。所以实际操作时， 只要实现无缝拼接时沿水平垂直两个方向每个正 K 边形的有效贡献乘以个数大 于等于 1000，即可实现全覆盖，所需正 K 边形个数即为两个方向上的个数乘积， 也就是所需圆的个数。
证明：如图 1，两圆的圆心分别为 o1 ， o2 ，半径均为 R，两交点为 A，B。
2
相交面积为
S1
=
2
⎡θ ⎢⎣ 360
π
R2
−
1 2
R2
sinθ
⎤ ⎥⎦
令k
=
S1 S
=
θπ R2 − R2 sinθ 180
π R2
= θ − sin 180 π
①
由①知，k 值与圆的半径 R 无关，定理 1 得证。
型，2 信道，需 60 个圆。对于问题 2，采用基 6 模型，得出圆半径之
和最小为 4450。
论文主要对问题 3 进行了详细分析，提出漫路分簇算法，将节点
进行分簇，建立基于模拟退火的圆心漂移模型和最小覆盖圆模型，去
除圆心位置冗余和半径长度冗余，同时进行限制性条件检验，得到无
湖、有湖最小半径之和分别为 3925、3625。
(x − a)2 + y2 = R2
(x + a)2 + y2 = R2
∫ 公共面积 S0 = 4*
0 a−R
R2 − (x − a)2 dx
令x−a=t x=t+a
3
∫ −a
S0 = 4* −R
R2 − t 2 dt
∫ S0
= 4*
− arcsin −π
a R
R2
cos2
θ dθ
2
S0
=
π
R2
−
其边长为100 2 ，内角为 90o ，也可实现无缝拼接。 正方形若正放，沿两个方向上的有效贡献皆为
100
2
，个数为
⎡ 1000 ⎢⎢100 2
⎤ ⎥⎥
＝8
个，所以两个方向上都需
要 8 个，总数为 8×8＝64 个。
正方形若与水平成 45o 放置，垂直方向的有效贡献：
处于边界的两个正方形共贡献 100，其余中间部分每个 正方形贡献 100，水平方向的贡献：奇数行贡献 200； 偶数行两个边界的正方形各贡献 100，其余贡献 200。
其内角为 120 o ，可以实现无缝连接，边长为 100。垂直
方向贡献 150（其中处于边界的一个正六边形仅贡献
100），水平方向：奇数行有效贡献为100 3 ，偶数行，
首尾两个六边形有效贡献为 50 3 。
所以垂直方向需要正六边形的个数为
⎡ 1000 ⎢⎢100 3
⎤ ⎥⎥
＋1＝7，水平方向共
7
行，奇
证明：假设正 n 边形 Ai 覆盖了正方形区域中的 Bi ，所有 Ai （i＝1，2，…， M），覆盖的区域包含了正方形区域 B，即所有 Bi 覆盖的区域包含了正方形区域 B。 因为对于由 Ai 形成的外接圆 Oi ，必包含区域 Bi ，所以，所有 Oi （i＝1，2，…， M）覆盖的区域必包含了正方形区域 B。
定理 2：四色定理 对于一幅地图，最多使用 4 种颜色，就可以时任意相邻的区域涂上不同颜色， 其等价命题为：没有割边的三正则平面图的边可以三色着色。 简单的说明如下：根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看 成是一个点的集合，两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线，只要 证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会超过四个，也就证明了“四色问 题”。 推论：对于 1000×1000 的正方形平面区域内的任意一跳覆盖区划分，最多 使用 4 种信道，就可以保证相邻的一跳覆盖区拥有不同的信道。 定理 3： 在两等半径的圆相交的时候，若两交点夹的劣弧所对的圆心角θ 固定，则相交面积 S1 与整个圆面积 S 的比值与圆半径 R 无关，为常数。
由定理 4 及推论，在采用的基 k 模型当中，我们选用圆半径相同的情况。 定理 5：网络拓扑结果中任一节点 A 不能实现自身对外通信的充要条件为 A 节点所在的一跳覆盖区内无其他节点。
四、 模型建立和求解
4.1 基 K 模型算法 要将边长为 1000 的正方形区域用若干各半径为 100 的圆完全覆盖，圆与圆