人教版高中数学必修五课时提升作业(四)12第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度.doc

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课时提升作业（四）
解三角形的实际应用举例一一高度.角度问题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1 •在某次测量中，在A 处测得同一铅垂平面内的B 点的仰角为60。

,
C 点的俯角为70° ,则ZBAC 等于（）
【解析】选D.如图，ZBAC 等于A 观察B 点的仰角与观察C 点的俯角 和，即
60° +70° =130° ・
2•在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。

, 60°，则塔高为（
C.匹米
【解析】选A.如图AB 为山高，CD 为塔高.
25分钟基础练＞ （25分钟60分）
A. 10°
B. 50°
C. 120°
D. 130°
在8BD 中，BD 二希年
在 ABCD 中，ZCBD
二30。

，ZBCD=120° . 由正弦定理得：4
1 口仆 sln^CBD sin^BCD
4Q0xJ 4 所以CD
二［仝二(米).
v2 2
3•在一幢20m 高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为60。

，塔基的 俯角为45。

,那么塔吊的高是()
A.
2O0 B. 20(l+V3)m C. 10( <6+ V2) m D. 20( V6+ V2) m
【解析】选B.如图，AB 表示楼高，CD 表示塔吊高，AE 丄CD,则EC 二AE 二20, 在 Rt A AED 中，DE=AEtan 60 ° 二20 v'3 ,所以 CD 二 CE+ED 二20+20、陌二 20 (1+P ③ m.
CD
4•一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75。

距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则 这只
船的航行速度为
L
所以 MN 二
八 J 一34、，6,
2
所以v-—6 （海里/小时）・
4 2
5. （2015 -承德高二检测）如图所示，在地面上共线的三点A, B, C 处
测得一建筑物的仰角分别为30。

, 45° , 60° , K AB=BC=60m,则建 A. 一于海里/小时
C.竽海里/小时 B. 34、遛海里/小时
D. 34V2W 里/小时
【解析】选A.如图所示，在APIVIN 中, 由正弦定理得:
筑物的高度为（）
A. 15V6ni C. 25V6m 【解析】选D •设建筑物的高度
为h,由题干图知，PA 二2h, PB=v'2h,
2y3
PC 斗 h, 所以在APBA 和APBC 中，分别由余弦定理，得
/DDA BG 2+2h 2-4h 2
介 cos Z PBA 二 ----- ，
① 2X60 Xv2h ' 6Q 2+2h 2~h 2 —
cosZPBC 二
历厉春.②
因为 ZPBA+ZPBC=180° ,
所以 cos Z PBA+cos Z PBC 二0. ③
由①②③，解得h=30V6m 或h=-30w6m （舍去），即建筑物的高度为 30 V 6m.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6•—树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底 部与树尖着地处相距5m,则树干原来的高度为 ___________ B. 20 v6m
D. 30v 6m
【解析】如图，AB为残存树干，BC为折断部分,
在RtAABC 中，已知AC二5, ZABC二30° , 所以AB=5v3, BC=10. 所以树干原来的高度为BC+AB二（10+5 V3） m.
答案：(10+57③m
7•如图，跳伞塔CD高4,在塔顶测得地面上两点A, B的俯角分别是30° ,
45°,又测得ZADB=30°,则AB两地的距离为
【解析】因为ZBCD二90° -45°二45° ,
所以在RtABCD 中，BD=4Xtan45° =4,
又因为ZACD二90° -30°二60° ,
所以在RtAACD中，
AD=4Xtan60° =4 <3,
在ZkABD 中，AB二,4? + (4V3)2一 2 X 4 X 4V3 X CQS3Q^4.
答案：4
8•海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里•此时海盗船距观测站10戸海里，20min后测得海盗船距观测站20 海里，再过________________min海盗船到达商船位置.
【解析】如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A, B, C处,
20min 后，海盗船到达 D 处，在AADC 中，AC=10v'7, AD=20, CD=30, 由余弦定
理得，
cos ZADC= 所以 Z ADC 二60° •
在ZkABD 中，由已知得ZABD 二30。

,
ZBAD 二60。

-30° 二30° ,
4Q
所以 BD 二AD 二20, —X60=—（min ）.
9Q 3
所以再过¥01血海盗船到达商船位置.
答案:T
三、解答题（每小题10分，共20分）
9•在元宵节灯会上，小明在门口 A 处看到正前方上空一红灯笼，测得 此时的仰角为45° ,前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60。

, 小明身高1・8米，试计算红灯笼的高度（精确到lni ）・
【解析】由题意画出示意图（AA‘表示小明的身高）.
AD 2*+c 匚工-AC z
_^o o+9oa-7ao_
1
ZAD^CD 2X20X30 2
因为 AB 二A' B z =200, ZCA z B z =45° , ZCB z D z
=60° ,
所以B ，唱晋聲200辭+1）.
在 RtACD 7 B z 中,
CD'二B‘ C - sin 60° 二 100(3+*®), 所以 CD=1.8+100 (3+\愆)~475 (米). 答：红灯笼高约为475米.
10. （2015 -衡阳高一检测）在海岸A 处，发现北偏东45。

方向，距离 A 为（v'3-Dn mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向， 距离A 为2n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以10V3n mile/h 的速度 追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船，并求 岀所需时间.（结果保留根号，无需求近似值）
【解析】如图，设缉私艇t 小时后在D 处追上走私船，则BD=10tn mi le, CD 二
10v'3tn mi le.
因为 ZBAC 二45° +75° =20° ,
所以在AABC 中，由余弦定理得
BC 2=AB 2+AC 2-2AB • AC • cosZBAC = (V3-1)2
+2-2X (V3-1) X2Xcos120° 二6,所以在ZkA' B‘ C 中， N ET 二环 sln^A/CE/ sin45s
'B
…东
由正弦定理得 sinZABC=
AG ，Sln£BAC -2slnl2Q -'v2
所以 Z ABC 二45° , 所以BC 为东西走向，所以ZCBD 二120。

• 在ABCD 中，由正弦定理得
・ /nnn BD^in^aBD 10t-sinL2Q ;
1 s I n Z BCD= ------------------ = ------ =—=- CD lQV2t
2 所以 ZBCD 二30。

，所以 ZBDC 二30。

•
所以BD 二BC 二芒运，即10t=V@,所以t 二竺.
10
即缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船,
一、选择题（每小题5分，共10分）
1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择 C, D 两观测点，在C, D 两点测得塔顶的仰角分别为45。

, 30° ,在 水平面上测得电视塔底与C 地连线及C,D 两地连线所成的角为120。

, C, D 两地相距500m,则电视塔的高度是（）
A. 100 v'2m
B. 400m
C. 200 【解析】选
D.由题意画出示意图，设塔高AB 二h,在RtAABC 中，由已知得BC=h,在RtAABD 中，由已知得BD= v*3h,在厶 BCD 中，由余弦定理得 BD 2=BC 2+CD 2-2BC • CDcosZBCD,得EC 20分钟提升练，
（20分钟 40分） 需普小时. D. 500m
3h 2=h 2+5002+h • 500,解得 h 二500m.
2. （2015 •广州高二检测）如图所示，在坡度一定的山 坡
A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 相对于山坡的 斜度
为15° ,向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 相对于山坡
的斜度为45。

,若CD 二50叫 山坡相对于地平面的坡度为
cos 9=( )
D. V2-1 【解析】选C.在8BC 中，由正弦定理可知，BO 誌聲 =50(V6-V2), 在
Z\BCD 中， s i n Z BDC 二"EzCBD 二逗 CD
由题图知，cos 9 =si n Z ADE 二s i n Z BDC=y 3-1.
二、填空题（每小题5分，共10分）
3•在湖面上高h 米处，测得天空中一朵云的仰角为Q ,测得云在湖中 影子的俯角为B,则云距湖面的高度为 ____________ 米.
【解析】如图，设湖面上高h 米处为A,在A 处测得云C 的仰角为a , 测得云在湖中影子D 的俯角为B, CD 与湖面交于过A 的水平线交 CD 于 E.
iaQslnl5=
sln(45=-15s )
答案：忡吗
sln （p-oc ） 4. （2015 •开封高二检测）某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向 东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东 北方向，若不改变航向，则此船 __________ 触礁的危险（填“有”或 “无”）.
【解析】如图，
由题意知，在AABC 中，AB 二30, ZBAC 二30。

，ZABCR35。

, 所以 ZACB=15° ,
由正弦定理得BC ----------- sinZBAC
二• sin 30° 二4^15（、遹+72）・ slnla 1 ,42 4
在RtABD C 中，CD 二学BC 二15代3+1） >38,所以无触礁的危险. 2
答案：无
亡乙“ x+b
所以而p ・
整理得X 二芈竺竺h 二竽严h （米）•
tan （3-tanoc sln （f-a ）
又 AE=—^―=— • tan^DAE tanp"
三、解答题（每小题10分，共20分）
5•如图，地面上有一旗杆0P,为了测得它的高度，在地面上选一基线AB,测得AB二20m,在A处测得点P的仰角为30。

,在B处测得点
P的仰角为45。

,同时可测得ZA0B二60。

,求旗杆的高度（结果保留整数）.
【解析】设旗杆的高度为h,
由题意，知Z0AP二30。

，Z0BP二45。

・在RtAAOP 中，0A二"
tanSO:
C D
在RtABOP 中，0B二一h.
tan4r5c
在AAOB中，由余弦定理得AB?
=0A2+0B2-20A • OBcos 60° , 即202二（\3h）2+h2-2V3hXhXg 所以『二上兰=~176・4.所以h%13（m）.
所以旗杆的高度约为13m.
6. （2015 -唐山高二检测）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市0的东偏南e =京方向300km的海面
P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围
为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？【解题指南】设经过t小时后，台风到达Q点，此时台风边沿恰经过0城，构造厶卩。

©,利用余弦定理求解.
【解析】设经过I小时台风中心移动到点Q时，台风边沿恰经过0城,
由题意，可得 0P 二300, PQ 二20t, OQ=r (t)=60+10t.
a = 9-45° , 4 cos a 二二. 由余弦定理，
得 0Q 2=0P 2+PQ 2-2 • OP • PQ • cos a , 即(60+1 Ot)2二3002
+ (20t) -2 X 300 X 20t X 二
5 即 t-36t+288=0.
解得 1F 12, t 2=24, 12-tFl2.
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12 小时.
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10
所以s inG=—
10。