天津高三高中数学月考试卷带答案解析

天津高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.i是虚数单位，复数的实部为（）
A．2B．－2C．1D．－1
x的零点所在的一个区间是
2.函数f（x）=2x﹣1+log
2
A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）
3.下列有关命题的叙述，错误的个数为（）
①若p q为真命题，则p q为真命题。

②“”是“”的充分不必要条件。

③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p :x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。

④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。

A．1B．2C．3D．4
4.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）
A．B．C．D．
6.设,,,则的大小关系是（）
A．B．C．D．
7.已知等差数列的公差,且成等比数列,若是数列的前项的和,则
的最小值为（）
A．4B．3C．D．
8.定义一种运算,令（为常数）,且,则使函数最大值为4的值是（）
A．或B．或C．或D．或
二、填空题
1.若某几何的三视图（单位:）如下图所示,此几何体的体积是_____________
2.设函数集合则为
_________________.
3.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是_____________
4.若的最小值是_____________
5.已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若
，则的值为_____________
6.若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ____
三、解答题
1.家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名
（1）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值（2）某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B 类家政服务员可供选择
①请列出该客户的所有可能选择的情况
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率
2.已知函数
（1）求的最小正周期
（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点
（1）证明：BD⊥面PAC
（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值
（3）若G满足PC⊥面BGD，求的值．
4.已知数列中,数列中，其中
（1）求证:数列是等差数列
（2）设是数列的前n项和,求
（3）设是数列的前n 项和,求证:
5.设函数,
（1）讨论函数的单调性
（2）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数（3）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围
6.已知数集，其中，且，若对（），与
两数中至少有一个属于，则称数集具有性质
（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由
（2）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由
天津高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.i是虚数单位，复数的实部为（）
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】C
【解析】由=，．
【考点】复数的概念及其运算
点评：将复数化为a+bi形式，根据纯虚数定义确定a的值．
2.函数f（x）=2x﹣1+log
x的零点所在的一个区间是
2
A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）
【答案】C
【解析】∵函数f（x）=2x﹣1+log
x，在（0，+∞）单调递增．
2
∴f（1）=1，f（）=﹣1，
∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（）．
【考点】函数零点
点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法．
3.下列有关命题的叙述，错误的个数为（）
①若p q为真命题，则p q为真命题。

②“”是“”的充分不必要条件。

③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p :x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。

④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．
②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．
③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．
④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正
确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．
所以只有②③正确．
【考点】命题真假判断
点评：本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断。

4.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
点评：本题考查了空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理。

5.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图
象的一个对称中心是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，向左平移后得到y=2sin2x．所以函数y=2sin2x图象的对称中心为
，令k=1时，得到．
【考点】二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
点评：本题考查了三角函数图象与性质及图象变换等基础知识。

6.设,,,则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A 。

【解析】∵log 0．50．4＞log 0．50．5=1，0＜log 0．40．5＜log 0．40．4=1，∴a==，1
＞b=
，又c=3ln2＞30=1，∴c ＞b ＞a ．
【考点】指数函数单调性的应用
点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性。

7.已知等差数列的公差
,且
成等比数列,若
是数列
的前项的和,则
的最小值为（ ） A ．4
B ．3
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵a 1=1，a 1、a 3、a 13 成等比数列，∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n ﹣1，∴S n ==n 2，
∴
=
．令t=n+1，则
=t+﹣2≥6﹣2=4
【考点】等差数列与等比数列的性质
点评：本题考查了等差数列等比数列的定义和性质，通项公式，基本不等式。

8.定义一种运算,令
（为常数）,且
,则使函数
最大值为
4的值是（ ） A ．或
B ．或
C ．或
D ．或
【答案】C
【解析】y=4+2x ﹣x 2在x ∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x ﹣x 2=4，解得x=2或x=0．
所以要使函数f （x ）最大值为4，则根据定义可知，当t ＜1时，即x=2时，|2﹣t|=4，此时解得t=﹣2． 当t ＞1时，即x=0时，|0﹣t|=4，此时解得t=4．故t=﹣2或4． 【考点】函数的性质及应用
点评：本题考查了新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键。

二、填空题
1.若某几何的三视图（单位:
）如下图所示,此几何体的体积是_____________
【答案】48
【解析】三视图复原的几何体是上部为长方体三度为：4，2，2；下部为放倒的四棱柱，底面是等腰梯形其下底为6，上底为2，高为2，棱柱的高为4，几何体的体积为两部分的体积和，即：4×2×2+
="48" （cm 3）
【考点】三视图求体积
点评：本题考查了简单几何体的三视图，三视图与几何体的对应关系，正确判断几何体的形状是解题的关键。

2.设函数集合则为_________________. 【答案】．
【解析】因为集合M={x ∈R|f （g （x ））＞0}，所以（g （x ））2﹣4g （x ）+3＞0，
解得g （x ）＞3，或g （x ）＜1．因为N={x ∈R|g （x ）＜2}，M∩N={x|g （x ）＜1}．即3x ﹣2＜1，解得x ＜1．所以M∩N={x|x ＜1}． 【考点】集全的运算
点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法。

3.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是_____________
【答案】4
【解析】=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=3， 当i=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=4， 当i=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=5， 当i=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=﹣1，i=2， 当i=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=2， 当i=7时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=2， 当i=8，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=2， 当i=9时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为：4． 【考点】算法和程序框图
点评：程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程 4.若的最小值是_____________ 【答案】7+4．
【解析】∵log 4（3a+4b ）=log 2，∴
=
，∴
，
∴3a+4b=ab ，a ，b ＞0．∴＞0，解得a ＞4．
a+b=a+
=
+7≥7+
=
，当且仅当a=4+2
时取等号．
∴a+b 的最小值是7+4． 【考点】基本不等式
点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质．
5.已知菱形的边长为，，点，分别在边
、上，，．若
，则的值为_____________
【答案】2
【解析】∵BC=3BE ，DC=λDF ，∴=
，
=
，
=
+
=
+=+，=+=+=
+，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°， ∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵
•
=1， ∴（
+
）•（
+
）=
+
+（1+
）
•
=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，
整理得，
解得λ=2，
【考点】平面向量数量积的运算
点评：本题考查了向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．
6.若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ____
【答案】
【解析】x=0时，恒成立；
x＞0时，3x2﹣2ax≥x﹣可化为2a≤3x+﹣1，∵3x+≥2=3，∴2a≤3﹣1，∴a≤1；
x＜0时，3x2﹣2ax≥﹣x﹣可化为﹣2a≤（﹣3x）﹣﹣1，∵﹣3x﹣≥3，∴﹣2a≤3﹣1，∴a≥﹣1
∴﹣1≤a≤1．
【考点】函数恒成立问题，等式的解法．
点评：本题考查了函数恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论．
三、解答题
1.家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名
（1）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值（2）某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B 类家政服务员可供选择
①请列出该客户的所有可能选择的情况
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率
【答案】解：（1）20-16=4, 由,可得="48"
（2）①设3名A类家政服务员的编号为a,b,c,2名B类家政服务员的编号为1,2,
则所有可能情况有:
（a,b）,（a,c）,（a,1）,（a,2）,（b,c）,（b,1）,（b,2）,（c,1）,（c,2）,（1,2）共10种选择．
②该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有:
（a,1）,（a,2）,（b,1）,（b,2）,（c,1）,（c,2）共6种选择,
该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为
【解析】（1）根据分层抽样比例求x的值，
（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可．
【考点】概率与统计．
点评：本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件．
2.已知函数
（1）求的最小正周期
（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值【答案】解：（1）f（x）=2
==sin2x+（1+cos2x）+2
=sin2x+cos2x）+3=2sin（2x+）+3∴T==π．
（2）由f（A）=4得2sin（2A+）+3=4，∴sin（2A+）=，
又∵A为△ABC的内角，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=．
=，得bcsinA=×1×c×=，c=2．
由S
△ABC
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3，∴a=．
【解析】（1）根据诱导公式和二倍角公式、两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求f（x）的最小正周期；
（2）把条件代入f（x）的解析式化简，再由A的范围和正弦值求A，结合三角形面积公式条件和余弦定理求出边a．
【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法; 解三角形．
点评：本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用，以及余弦定理的综合应用，关键是正确对解析式进行化简．
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点
（1）证明：BD⊥面PAC
（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值
（3）若G满足PC⊥面BGD，求的值．
【答案】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．
∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•co s∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（3）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△CAP，可得，即，解得GC=，
∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．．
【解析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（2）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
（3）由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
点评：本题考查了直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角的求法．
4.已知数列中,数列中，其中
（1）求证:数列是等差数列
（2）设是数列的前n项和,求
（3）设是数列的前n 项和,求证:
【答案】解:（1）, 而,
∴．
∴ {}是首项为,公差为1的等差数列
（2）由（1）可知,
,
于是 =
故有 =6
（3）证明:由（1）可知,
则
则++,
∴
【解析】（1）由条件可得到，由此证得结论
（2）由（1）=，用裂项法求出的值．
（3）由（1）可知=，求出T
n 的解析式，可得T
n
的解析式，用错位相减法求出T
n
的解析
式，从而可得要证的不等式成立．
【考点】数列与不等式的综合。

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和。

5.设函数,
（1）讨论函数的单调性
（2）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数
（3）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围
【答案】（1）,,
①,函数在上单调递增
②,,函数的单调递增区间为
,函数的单调递减区间为
（2）存在,使得成立
等价于:,
考察,,
极（最）小值
由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数;
（3）当时,恒成立
等价于恒成立, 记,所以
, ．
记,,
即函数在区间上递增, 记,,
即函数
在区间
上递减,
取到极大值也是最大值 所以 另解,
,
由于,, 所以在上递减,
当时,
,时,,
即函数在区间
上递增,
在区间
上递减, 所以,所以
【解析】（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；
（2）等价于：[g （x 1）﹣g （x 2）]max ≥M ，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M ； （3）等价于a≥x ﹣x 2lnx 恒成立，求右边的最值，即可得到结论． 【考点】导数的综合应用
点评：本题主要考查了导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力。

6.已知数集，其中，且，若对（），
与
两数中至少有一个属于
，则称数集
具有性质
（1）分别判断数集
与数集
是否具有性质
，说明理由
（2）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由
【答案】解：（1）由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P ；
由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}， 所以该数集具有性质P ．…（4分）
（2）∵A={a 1，a 2，…，a 8}具有性质P ，所以a 8+a 8与a 8﹣a 8中至少有一个属于A ， 由0≤a 1＜a 2＜…＜a 8，有a 8+a 8＞a 8，故a 8+a 8∉A ，∴0=a 8﹣a 8∈A ，故a 1=0． ∵0=a 1＜a 2＜…＜a 8，∴a 8+a k ＞a 8，故a 8+a k ∉A （k=2，3，…，8）． 由A 具有性质P 知，a 8﹣a k ∈A （k=2，3，…，8）． 又∵a 8﹣a 8＜a 8﹣a 7＜…＜a 8﹣a 2＜a 8﹣a 1，
∴a 8﹣a 8=a 1，a 8﹣a 7=a 2，…，a 8﹣a 2=a 7，a 8﹣a 1=a 8，即a i +a 9﹣i =a 8（i=1，2，…，8）．…① 由a 2+a 7=a 8知，a 3+a 7，a 4+a 7，…，a 7+a 7均不属于A ， 由A 具有性质P ，a 7﹣a 3，a 7﹣a 4，…，a 7﹣a 7均属于A ， ∴a 7﹣a 7＜a 7﹣a 6＜…＜a 7﹣a 4＜a 7﹣a 3＜a 8﹣a 3 ，
∴a 7﹣a 7=0，a 7﹣a 6=a 2，a 7﹣a 5=a 3，…，a 7﹣a 3=a 5，即 a i +a 8﹣i =a 7（i=1，2…7）．…② 由①②可知a i =a 8﹣a 9﹣i =a 8﹣（a 7﹣a i ﹣1） （i=1，2…7，8）， 即a i ﹣a i ﹣1=a 8﹣a 7（i=2，3，…，8）． 故a 1，a 2，…a 8构成等查数列．…（10分）
【解析】（1）根据数集A 具有性质P 的定义，判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P ．
（2）根据数集A={a 1，a 2…a 8}具有性质P ，可得a i +a 9﹣i =a 8 …①，a i +a 8﹣i =a 7 …②，由①②可知a i =a 8﹣a 9﹣i =a 8﹣（a 7﹣a i ﹣1），即a i ﹣a i ﹣1=a 8﹣a 7，从而得到a 1，a 2，…a 8构成等查数列． 【考点】新定义；等差数列与等比数列。

点评：本题主要考查了新定义,等差关系的确定，等差数列的定义等。