【北师大版】初三九年级数学下册《3.2 圆的对称性》课件
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第三章 圆
第2节 圆的对称性
1 课堂讲解 圆的对称性
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
相等的圆心角、弧、弦的对应关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
知识点 1 圆的对称性
知1－讲
知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且
AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
（来自教材）
知3－练
︵ 1 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
（
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
（
知1－练
1 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有 关，试举几例. 解：略.
（来自《教材》）
知1－练
2 利用一个圆图形但不是中心对称图形； (2) 是中心对称图形但不是轴对称图形； (3) 既是轴对称图形又是中心对称图形. 解： (1)如图①②是轴对称图形但不是中心对称图形； (2)如图③是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)如图④既是轴对称图形又是中心对称图形．
（
知3－练
6 【2016·舟山】把一张圆形纸片按如图所示的方 式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 B︵C的度数是( C ) A．120° B．135° C．150° D．165°
（
1 知识小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
（来自《教材》）
知3－练
2 如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝ 60°，则与线段AO的长度相等的线段有( D ) A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
（
知3－练
3 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则A︵B与 ︵ CD的关系是( A ) ︵︵ A. AB＝2CD B. A︵B＞2C︵D C. A︵B＜2C︵D
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来 的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合， 所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
知1－讲
例1 如图，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转150°， 得到△COD，指出图中相等的量．
导引：题中涉及的量有：弧、角、线段， 按圆的旋转不变性这一规律找相等的量．
的中点. 试确定四边形 OACB的形状，并说明理由. 解：如图，四边形OACB是菱形．理由如下：连接OC.
∵C是A︵B的中点， ∴A︵C＝B︵C. ∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC和△AOC都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形．
的弦相等. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
2 易错小结
如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N 分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( C ) A．OM>ON B．OM＝ON C．OM<ON D．无法确定 易错点：对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
解：相等的弧有：AB CD, AC BD,BDA DAC ,CDA DAB ； 相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A ＝∠B＝∠C＝∠D； 相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD.
（
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一 是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持 不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线 段都相等．
D．不能确定
（
知3－练
4 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如
果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②A︵B ＝C︵D；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( D )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
（
知3－练
︵ 5 【2016·兰州】如图，在⊙O中，点C是AB的中
点，∠A＝50°，则∠BOC等于( A ) A．40° B．45° C．50° D．60°
（
知2－练
5 已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE ＝40°，则B︵D的度数是( D )
A．70°
B．110°
C．40°
D．70°或110°
（
知3－导
知识点 3 相等的圆心角、弧、弦的对应关系
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A1
B1
B ∵ ∠AOB=∠A1OB1
·
∴AB=A1B1 ，A⌒B=A⌒1B1 .
O
A
知3－导
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=60°， 请问上述结论还成立吗？为什么?
B
O·
A
A1
B1 ·
O1
归纳
知3－导
弧、弦、圆心角之间的关系． 在同圆或等圆中： (1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． (2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． (3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（来自《教材》）
知1－练
3 【2017·内江】下列图形：平行四边形、矩形、菱
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
（
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
（
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
（
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
（
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
错解：A或B 诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组 量之间的关系判断不准，从而导致错误．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么 结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（
知2－练
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以 点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于 ︵ 点E，则BD的度数为( C ) A．25° B．30° C．50° D．65°
（
知2－练
4 【2016·台湾】如图，圆O过五边形OABCD的四个 顶点．若A︵D＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°， ︵ 则BC的度数为何？( B ) A．25° B．40° C．50° D．55°
第2节 圆的对称性
1 课堂讲解 圆的对称性
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
相等的圆心角、弧、弦的对应关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
知识点 1 圆的对称性
知1－讲
知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且
AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
（来自教材）
知3－练
︵ 1 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
（
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
（
知1－练
1 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有 关，试举几例. 解：略.
（来自《教材》）
知1－练
2 利用一个圆图形但不是中心对称图形； (2) 是中心对称图形但不是轴对称图形； (3) 既是轴对称图形又是中心对称图形. 解： (1)如图①②是轴对称图形但不是中心对称图形； (2)如图③是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)如图④既是轴对称图形又是中心对称图形．
（
知3－练
6 【2016·舟山】把一张圆形纸片按如图所示的方 式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 B︵C的度数是( C ) A．120° B．135° C．150° D．165°
（
1 知识小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
（来自《教材》）
知3－练
2 如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝ 60°，则与线段AO的长度相等的线段有( D ) A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
（
知3－练
3 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则A︵B与 ︵ CD的关系是( A ) ︵︵ A. AB＝2CD B. A︵B＞2C︵D C. A︵B＜2C︵D
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来 的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合， 所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
知1－讲
例1 如图，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转150°， 得到△COD，指出图中相等的量．
导引：题中涉及的量有：弧、角、线段， 按圆的旋转不变性这一规律找相等的量．
的中点. 试确定四边形 OACB的形状，并说明理由. 解：如图，四边形OACB是菱形．理由如下：连接OC.
∵C是A︵B的中点， ∴A︵C＝B︵C. ∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC和△AOC都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形．
的弦相等. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
2 易错小结
如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N 分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( C ) A．OM>ON B．OM＝ON C．OM<ON D．无法确定 易错点：对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
解：相等的弧有：AB CD, AC BD,BDA DAC ,CDA DAB ； 相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A ＝∠B＝∠C＝∠D； 相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD.
（
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一 是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持 不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线 段都相等．
D．不能确定
（
知3－练
4 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如
果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②A︵B ＝C︵D；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( D )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
（
知3－练
︵ 5 【2016·兰州】如图，在⊙O中，点C是AB的中
点，∠A＝50°，则∠BOC等于( A ) A．40° B．45° C．50° D．60°
（
知2－练
5 已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE ＝40°，则B︵D的度数是( D )
A．70°
B．110°
C．40°
D．70°或110°
（
知3－导
知识点 3 相等的圆心角、弧、弦的对应关系
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A1
B1
B ∵ ∠AOB=∠A1OB1
·
∴AB=A1B1 ，A⌒B=A⌒1B1 .
O
A
知3－导
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=60°， 请问上述结论还成立吗？为什么?
B
O·
A
A1
B1 ·
O1
归纳
知3－导
弧、弦、圆心角之间的关系． 在同圆或等圆中： (1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． (2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． (3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（来自《教材》）
知1－练
3 【2017·内江】下列图形：平行四边形、矩形、菱
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
（
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
（
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
（
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
（
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
错解：A或B 诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组 量之间的关系判断不准，从而导致错误．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么 结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（
知2－练
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以 点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于 ︵ 点E，则BD的度数为( C ) A．25° B．30° C．50° D．65°
（
知2－练
4 【2016·台湾】如图，圆O过五边形OABCD的四个 顶点．若A︵D＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°， ︵ 则BC的度数为何？( B ) A．25° B．40° C．50° D．55°