椭圆方程式有限差分离散一维问题

1. 离散解 2. 当 是否仍保有连续解 之定性性质？
时解是否更精确？
3.对于 任意变小？
是否可使
离散误差分析 A-1的性质
令 •非负数 当 •界限 当
离散误差分析 ˆ 的定性性质 u
ˆ ≥0 f ≥0 → u
若 当 则 当
离散误差分析 ˆ 的定性性质 u 离散稳定性
离散误差分析 舍位误差
对任意 可证明
因此：
特征值问题 误差分析结论…
低模： 对于固定 , :
二阶收敛
特征值问题 误差分析结论…
高模： 对于
当
高模(
) 不精确。
特征值问题 误差分析结论…
低模 vs.高模 范例：
特征值问题 误差分析结论…
低模 vs.高模
可解 精确
不可解 不精确 为
但是：当
,
, 则任意固定模
收敛。
特征值问题 误差分析结论…
令
离散误差分析 误差方程式
令 为离散误差
相减得 且
离散误差分析 误差方程式
离散误差分析 收敛性
利用离散稳定性估计
或
A-先验误差估计
离散误差分析 数值范例
离散误差分析 数值范例
范例：
渐近于，
离散误差分析 摘要
•对于简单模型问题可求得任意精度之数值近似。
•a-先验误差估计使得解的误差大小渐近相依于 离散尺度 的大小。
误差方程式：
对于 当 (一致性)
特征值问题 连结至 − u xx = f 范数定义
通常使用 “修正” 范数 对于
因此，由一致性可得
特征值问题 连结至 − u xx = f ||.|| 收敛…
要素： 1. 雷利商： 对所有 2.柯西-史瓦兹不等式： 对所有
特征值问题 连结至 − u xx = f ||.|| 收敛…
则解
为唯一
数值解有限差分 离散
将区间 细分成 个相等的子区间，则
其中
数值解 有限差分近似
例如 …
பைடு நூலகம்
对于小
数值解 有限差分方程
则…
数值解 有限差分方程
(对称)
数值解 有限差分解
是否非奇异？ 对任意
因此
对任意 存在且唯一
(
为对称正定)
数值解 有限差分范例…
其中
令
数值解 有限差分…范例
数值解 有限差分收敛性？
广义定义
考虑一线性椭圆微分方程式
及一差分型式
广义一致性
差分型式与微分方程式一致，若：
对所有平滑函数 其 当 对所有 为精度阶
广义舍位误差
其 或
将正合解代入差分式中可求得舍位误差。
一致性
广义误差方程式
原始型式
一致性
误差
满足
广义稳定性
矩阵范数
差分型式为稳定若 (与 无关)
广义稳定性
(最大列和)
特征值问题 误差分析结论…
特征值问题 A之条件数
对一 对称正定矩阵 , 其条件数 之最大特征值 之最小特征值 为
= 因此，对于矩阵
当 (在 ) 以格点数平方成长。
重要性： 了解求解程序。
特征值问题 连结至 − u xx = f …离散…
回忆：
或
特征值问题 连结至 − u xx = f …离散…
椭圆方程式 有限差分离散：一维问题
教师授课 2 及 3
模型问题 一维波桑方程式
边界值问题 (BVP)
可描述许多简单的物理现象 (例如)： •弹性棒之变形 •张力作用下弦之变形 •棒之温度分布
模型问题 一维波桑方程式解的性质
•解 • 总是存在 总是较数据 , “平滑” , 则对于所有 ,
•若对于所有 • •已知
特征值问题 离散方程矩阵型
特征值问题 误差分析 k ˆk ˆ , λ ... 解析解： u
宣称
注意
因为
特征值问题 误差分析 k ˆk ˆ , λ ... 解析解： u
特征值问题 误差分析 k ˆk ˆ , λ ... 解析解： u
何谓 ?
特征值问题 误差分析 k ˆk ˆ , λ ... 解析解：u
收敛性证明：
特征值问题 连结至 − u xx = f ||.|| 收敛…
特征值问题 连结至 − u xx = f ||.|| 收敛…
因为 另一推导
由误差方程式
乘以
校对修正
• P37~40”解析解u”应为“解析解u” • 上述部分在转档时给我的是u，所以我没 办法修正，麻烦您直接将其修正即可， 谢谢！
广义收敛性
误差方程式
取范数
广义性总结
一致性 + 稳定性 ? 收敛性
收敛性
稳定性
一致性
特征值问题 模型问题叙述
求非平庸解 得
指定解
其中
特征值问题应用 轴向负荷梁
•“小” 挠曲
•外力
平衡
特征值问题 正合解
或
特征值问题 正合解
因此 (选取 )
较大
较大震荡
较大
特征值问题 正合解
特征值问题 离散方程差分公式