2020-2021学年 人教版九年级下册数学 期末检测卷

期末检测卷
时间:90分钟满分:100分
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列几何体中,其主视图、左视图和俯视图完全相同的是()
A B C
D
2.如果反比例函数y=1−2m
x
的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,那么m的取值范围是()
A.m>1
2 B.m<1
2
C.m≤1
2
D.m≥1
2
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=2
3
,则tan A的值为()
A.√5
3 B.√5
2
C.3
2
D.2√5
5
4.如图,已知BE平分∠ABC,DE∥BC,AD=3,DE=2,AC=4,则AE=()
A.1.5
B.2
C.2.4
D.6
第4题图第6题图
5.在△ABC中,若AB=6,BC=8,∠B=120°,则△ABC的面积为()
A.12√3
B.12
C.24√3
D.48√3
6.如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()
A.40 海里
B.60 海里
C.40√3海里
D.60√3海里
7.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,BD与CE交于点O,连接DE.给出下列结
论:①OE
OB =OD
OC
;②DE
BC
=1
2
;③S△DOE
S△BOC
=1
2
;④S△DOE
S△BDE
=1
3
.其中正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第7题图第8题图
8.从某个方向观察一个正六棱柱,可看到如图所示的图形,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别是AB,DC的中点.若AD=10 cm,AB=6 cm,则这个正六棱柱的侧面积为() A.360 cm2 B.120√3 cm2 C.180 cm2
D.180√3 cm2
9.如图,两个反比例函数y1=k1
x (k1>0)和y2=3
x
在第一象限内的图象依次是C1和C2,点P在C1上,矩形
PCOD交C2于A,B两点,OA的延长线交C1于点E,EF⊥x轴于点F,且四边形BOAP的面积为6,则EF∶AC为()
A.√3∶1
B.2∶√3
C.2∶1
D.29∶14
第9题图第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.在△ABC内并排(不重叠)放入边长为1的小正方形纸片,第一排小纸片的一条边都在AB上,首尾两个小正方形各有一个顶点分别在AC,BC上,依次这样摆放上去,则最多能摆放小正方形纸片() A.14个 B.15个 C.16个
D.17个
二、填空题(每题3分,共18分)
11.若点A(-1,a)在反比例函数y=-3
x
的图象上,则a的值为.
12.已知α是锐角,sin(15°+α)=1
2
,则α=.
13.如图,已知△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且OA
OA'=1
2
,若点A(-1,0),点
C(1
2
,1),则A'C'=.
第13题图 第14题图 第15题图 第
16题图
14.如图,高为6 m 的电线杆的顶上有一盏路灯,电线杆底部为A ,身高1.5 m 的男孩站在与点A 相
距6 m 的点B 处,若男孩以6 m 为半径绕电线杆走一圈,则他在路灯下的影子BC 扫过的面积为 m 2
.
15.一个几何体是由一些大小相同的小正方体组成的,其主视图与左视图如图所示,则组成这个几何体的小正方体至少有 个.
16.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=6,BC=10,点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处;点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处,给出下列结论:
①∠EBG=45°;②△DEF ∽△ABG ;③S △ABG =3
2S △FGH ;④AG+DF=FG.其中正确的是 .(填序号)
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,tan A=2cos ∠BCD. (1)求证:BC=2AD ;
(2)若cos B=34
,AB=10,求CD 的长.
18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-34
x+b 的图象与反比例函数y=k x
(k ≠0)的图象交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点D ,其中点A 的坐标为(-2,3). (1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)将点C 向下平移4个单位长度到点F ,连接AF ,BF ,求△ABF 的面积; (3)根据图象,直接写出不等式-34
x+b>k x
的解集.
19.(8分)如图1是一种包装盒的表面展开图,将它围起来可得到一个几何体模型.
(1)请写出这个几何体模型的最确切名称:;
(2)如图2是根据a,h的取值画出的几何体的主视图和俯视图,请在网格中画出该几何体的左视图;
(3)在(2)的条件下,已知h=20 cm,求该几何体的表面积.
20.(8分)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图1,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数
=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面的高度.如图2,山坡EF朝北,EF的长为15 m,坡度为i=1∶0.75,山坡顶部的平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH;
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼房底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动,运动时间为t s(0<t<2).
(1)如图1,连接PQ,若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.
22.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;
(2)如图2,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?请说明理由.
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
期末检测卷
题号12345678910
答案D B D C A C B B A C
11.312.15°13.√1314.28π15.5
16.①③④
1.D【解析】D项,球的主视图、左视图和俯视图都是圆.故选D.
2.B【解析】∵反比例函数y=1−2m
x 的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,∴1-2m>0,解得m<1
2
.故选B.
3.D【解析】∵sin A=2
3,∴可设BC=2k,AB=3k(k>0),∴AC=√(3k)2-(2k)2=√5k,∴tan A=BC
AC
=2k
√5k
=2√5
5
.故选D.
4.C【解析】∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠CBE.∵DE∥BC,∴∠DEB=∠CBE,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE=2,∴AB=AD+
DB=5.∵DE∥BC,∴AD
AB =AE
AC
,即3
5
=AE
4
,∴AE=2.4.故选C.
5.A【解析】过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D.∵∠B=120°,∴∠ABD=180°-120°=60°.在Rt△ABD 中,AD=AB·sin 60°
=6×√3
2=3√3,∴△ABC的面积是1
2
BC·AD=1
2
×8×3√3=12√3.故选A.
6.C【解析】由题意,得∠APB=30°,BC=2AB.在Rt△PAB
中,∵∠APB=30°,∴∠ABP=60°,PB=2AB,∴PB=BC,∴∠C=∠CPB.
∵∠ABP=∠C+∠CPB,∴∠C=30°,∴PC=2PA.∵PA=AB·tan 60°,AB=20海里,∴PC=2×20×√3=40√3(海里).故选C.
7.B【解析】∵D,E分别是边AC,AB的中点,∴DE∥BC且DE
BC =1
2
,故②正确;∵DE∥BC,∴△ODE∽△OBC,∴OE
OC
=OD
OB
=DE
BC
=1
2
,
∴S△DOE
S△BOC =(DE
BC
)2=1
4
,故①③错误;设点E到BD的距离为h,则S△DOE
S△BDE
=
1
2OD·ℎ
1
2BD·ℎ
=OD
BD
,∵OD
OB
=1
2
,∴OD
BD
=1
3
,∴S△DOE
S△BDE
=1
3
,故④正确.故选B.
8.B【解析】如图,正六边形的边长为AG,BG,连接AB,过点G作GH⊥AB于点H.由正六边形的性质,可知GH垂直平分AB,
∠AGB=120°,所以∠A=∠B=30°.因为AB=6 cm,所以AH=1
2AB=3 cm,所以AG=AH
cos30°
=3
3
2
=2√3(cm),所以这个正六棱柱的侧面
积为6AG·AD=6×2√3×10=120√3(cm2).故选B.
9.A【解析】∵点A,B在反比例函数y2=3
x 的图象上,∴S△ODB=S△OAC=1
2
×3=3
2
.∵点P在反比例函数y1=k1
x
的图象上,∴S矩形
PDOC
=k 1=6+32+32=9,∴y 1=9x .∵点E 在图象C 1上,∴S △EOF =12×9=92,∴S
△EOF S △ACO
=9232
=3.∵AC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴,∴AC ∥EF ,∴△EOF ∽
△AOC ,∴EF∶AC=√3∶1.故选A .
10.C 【解析】 过点C 作CF ⊥AB 于点F.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,由勾股定理,得AB=10.∵S △ABC =12
AB ·CF=
1
2
AC ·BC ,∴CF=4.8,则小正方形纸片可以排4排.设第一排小正方形纸片的上面边所在直线与△ABC 的边交于点D ,E ,则
DE ∥AB ,
∴DE AB =
4.8−14.8,解得DE=95
12
,∴第一排最多摆放7个小正方形纸片.设第二排小正方形纸片的上面边所在直线与△ABC 的边交于点G ,H ,则GH ∥AB ,∴GH AB =4.8−24.8,解得GH=35
6
,则第二排最多摆放5个小正方形纸片;同理,第三排最多摆放3个小正方形纸片;
第四排最多摆放1个小正方形纸片.故最多能摆放小正方形纸片的个数是7+5+3+1=16.故选C .
11.3
12.15° 【解析】 ∵sin (15°+α)=1
2
,且α为锐角,∴15°+α=30°,∴α=15°. 13.√13 【解析】 ∵△ABC 与△A'B'C'是以坐标原点O 为位似中心的位似图形,OA OA'=12,A (-1,0),C (12
,1),∴A'(-2,0),C'(1,2),∴A'C'= √32+22=√13.
14.28π 【解析】 如图,由题意,知AE ∥BD ,∴△CBD ∽△CAE ,∴CB CA =BD AE
,即CB CB+6=1.5
6,∴CB=2 m ,∴AC=8 m ,∴他在路灯下的影子BC 扫过的面积为π×82-π×62=28π(m 2).
15.5 【解析】 综合左视图和主视图,知这个几何体有两层,底层最少有3个小正方体,第二层有2个小正方体,因此组成这个几何体的小正方体最少有5个.
16.①③④ 【解析】 如图,∵将△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处,∴∠1=∠2,CE=FE ,BF=BC=10.∵将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处,∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=GH ,∴∠EBG=∠2+∠3=1
2
∠CBF+12
∠ABF=
1
2
∠ABC=45°,故①正确.在Rt △ABF 中,∵AB=6,BF=10,∴AF=√102-62=8,∴DF=AD -AF=10-8=2.设EF=x ,则CE=x ,
DE=CD-CE=6-x.在Rt △DEF 中,∵DE 2+DF 2=EF 2,∴(6-x )2+22=x 2,解得x=10
3,∴DE=8
3.HF=BF-BH=10-6=4,设AG=y ,则GH=y ,GF=8-y.在Rt △HGF 中,∵GH 2+HF 2=GF 2,∴y 2+42=(8-y )2,解得y=3,∴AG=GH=3,GF=5.∵
AB DE =94,AG DF =32
,∴AB DE ≠AG DF , ∴△DEF ∽△ABG
不成立,故②错误.∵S △ABG =12AB ·AG=12×6×3=9,S △FGH =12GH ·HF=12×3×4=6,∴S △ABG =3
2
S △FGH ,故③正确. ∵AG+DF=3+2=5,GF=5,∴AG+DF=FG ,故④正确.故正确的结论是①③④.
17.【解析】 (1)在Rt △ACD 中,tan A=CD
AD
, 在Rt △BCD 中,cos ∠BCD=
CD BC , ∵tan A=2cos ∠BCD ,∴CD AD =2×CD
BC ,∴BC=2AD.
(2)∵cos B=BD BC =34,BC=2AD ,∴BD AD =3
2.
∵AB=10,∴AD=2
5×10=4,BD=10-4=6,∴BC=8,
∴CD=√BC 2-BD 2=√82-62=2√7.
18.【解析】 (1)把A (-2,3)分别代入y=-34
x+b 和y=k x
, 得3=-34
×(-2)+b ,3=k -2
,∴b=32
,k=-6.
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y=-34x+32,y=-6
x . (2)由{y =−3
4x +3
2
,y =−6x ,解得{x =−2,y =3或{x =4,y =−32
, ∵点A 的坐标为(-2,3),∴点B 的坐标为(4,-3
2),
∵将点C 向下平移4个单位长度到点F ,∴CF=4, ∴△ABF 的面积为1
2×4×(4+2)=12. (3)不等式-34
x+b>k x 的解集为x<-2或0<x<4. 19.【解析】 (1)直三棱柱 (2)如图所示.
(3)由题意,可得a=ℎ√2=20√2
=10√2(cm ),
所以S 表面积=12
×(10√2)2×2+2×10√2×20+202=(600+400√2)(cm 2). 20.【解析】 (1)∵山坡EF 的坡度为1∶0.75,
∴EH FH =10.75=4
3,设EH=4x m ,则FH=3x m ,
∴EF=√(3x)2+(4x)2=5x=15,∴x=3,∴FH=9 m . 故山坡EF 的水平宽度FH 为9 m . (2)如图,延长BA ,FH 交于点G ,
由(1)知EH=12 m ,则AG=EH=12 m ,GH=AE=4 m ,∴BG=BA+AG=22.5+12=34.5(m ). 设CF=y m ,则CG=CF+FH+GH=y+9+4=(y+13)m . 由题意,知CG
BG-CP
≥1.25, 即
y+13
34.5−0.9
≥1.25,解得y ≥29.
故底部C 距F 处至少29 m 远.
21.【解析】 (1)由题意知,BP=5t cm ,CQ=4t cm ,
∴BQ=(8-4t )cm ,易知AB=√62+82=10(cm ).
当△PBQ ∽△ABC 时,有
BP AB =BQ BC ,即5t 10=8−4t
8,解得t=1; 当△QBP ∽△ABC 时,有BQ AB =BP BC ,即8−4t 10=5t 8
,解得t=32
41.
∴△BPQ 与△ABC 相似时,t=1或t=32
41.
(2)如图,过点P 作PD ⊥BC 于点D.
依题意,得BP=5t cm ,CQ=4t cm , 易得PD=3t cm ,BD=4t cm , ∴CD=(8-4t )cm .
∵AQ ⊥CP ,∠ACB=90°,
∴∠CAQ+∠ACP=90°,∠ACP+∠DCP=90°, ∴∠CAQ=∠DCP.
∴△ACQ ∽△CDP ,∴CQ PD =AC
CD , 即4t 3t =
68−4t ,∴t=7
8
. 22.【解析】 (1)如图1,过点D 作DF ⊥BC ,交AB 于点F , 则∠BDE+∠FDE=90°. ∵DE ⊥AD ,
∴∠FDE+∠ADF=90°, ∴∠BDE=∠ADF.
∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠C=45°. ∵MN ∥AC ,∴∠EBD=180°-∠C=135°.
∵DF ⊥BC ,∴∠BFD=45°,BD=DF , ∴∠AFD=135°,∴∠EBD=∠AFD. 在△BDE 和△FDA 中,{∠EBD =∠AFD,
BD =FD,∠BDE =∠FDA,
∴△BDE ≌△FDA ,∴AD=DE.
(2)DE=√3AD.理由如下:
如图2,过点D 作DG ⊥BC ,交AB 于点G ,则∠BDE+∠GDE=90°, ∵DE ⊥AD ,∴∠GDE+∠ADG=90°, ∴∠BDE=∠ADG.
∵∠BAC=90°,∠ABC=30°, ∴∠C=60°. ∵MN ∥AC ,
∴∠EBD=180°-∠C=120°.
∵∠ABC=30°,DG ⊥BC ,∴∠BGD=60°, ∴∠AGD=120°,∴∠EBD=∠AGD ,
∴△BDE ∽△GDA ,∴AD DE =DG
BD .
在Rt △BDG 中, DG
BD =tan 30°=√33,∴AD DE =√3
3
,∴DE=√3AD.
(3)AD=DE tan α.
过点D 作DH ⊥BC ,交AB 于点H ,则∠BDE+∠HDE=90°. ∵DE ⊥AD ,∴∠HDE+∠ADH=90°,∴∠BDE=∠ADH. ∵∠EBD=90°+α,∠AHD=90°+α,∴∠EBD=∠AHD ,
∴△EBD ∽△AHD ,∴AD DE =DH
BD . 在Rt △BDH 中,
DH BD
=tan α,则AD
DE =tan α, ∴AD=DE tan α.。