2019年内蒙古呼和浩特市四中中考数学三模试卷(含答案)

2019年内蒙古呼和浩特市四中中考数学三模试卷
一．选择题（每题3分，满分30分）
1．﹣2的相反数为（）
A．2 B．C．﹣2 D．
2．时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，则经过5min，分针旋转了（）A．10°B．20°C．30°D．60°
3．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①④
4．若m＜n，则下列不等式一定成立的是（）
A．﹣1+m＞﹣1+n B．﹣（m﹣n）＜0 C．D．﹣3﹣m＞﹣3﹣n 5．计算2﹣（﹣3）×4的结果是（）
A．20 B．﹣10 C．14 D．﹣20
6．下列事件中必然发生的事件是（）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
7．计算÷×结果为（）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S
△ABF ＝S
△ADF
；②S
△
CDF ＝2S
△CEF
；③S
△ADF
＝2S
△CEF
；④S
△ADF
＝2S
△CDF
，其中正确的是（）
A．①②③B．②③C．①④D．①②④
9．如果抛物线y＝mx2+2mx﹣5（m为常数，且m≠0）的顶点在反比例函数y＝图象上，那么m的值为（）A．﹣5 B．2 C．5 D．10
10．若a＝（﹣3）13﹣（﹣3）14，b＝（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大
小关系，何者正确？（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．如图是济南统计局绘制的2009年1﹣12月份我市居民消费价格指数、工业品出厂价格指数以及原材料、燃料、动力购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数的方差中最小的是价格指数的方差．
12．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为元．
13．命题“正数的平方根的和为零”，写成“如果……，那么……”是．
14．分解因式：3x3﹣27x＝．
15．如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则图中阴影部分的面积之和为．
16．如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为．
三．解答题
17．（10分）（1）﹣22+（﹣1）2014+﹣|（﹣2）3﹣1|．
（2）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．
18．（6分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接
DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，
CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．
19．（6分）某数学兴趣小组的同学在一次活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到另一建筑物CD上的点C 处进行观察，如图所示，他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°，底部B的俯角为45°，已知建筑物AB、CD 的距离DB为12m，求建筑物AB的高．
20．（10分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶6次，其中甲、丙的每次射靶具体成绩如下（单位：环）：甲：8，6，9，8，9，8；丙：7，6，3，7，7，6；
（1）根据以上数据，直接完成表格的填写（不需要书写运算过程）；
（2）若要在甲、乙、丙中选一位运动员参加比赛，请依据表格数据做出选择并简要说明理由；
（3）若甲、乙、丙组成队伍参加某射击比赛，该射击比赛规则如下：比赛分为两个回合，每回合从甲、乙、丙中随机选一位运动员出场（同一位运动员可重复出场两个回合）．请用列表法或树状图，求在两个回合中，甲均没有出场的概率．
21．（7分）“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每干米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？
请说明理由．
22．（6分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
23．（8分）已知二次函数y
1＝ax2+bx+1（a＞0），一次函数y
2
＝x．
（Ⅰ）若二次函数y
1的图象与一次函数y
2
的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y
1的图象与y
2
图象的交点为P，且点P的横坐标是2，若将y
2
向上平移t个单位，与
y
1
交于两点Q，R，△PQR面积为2，求t；
（Ⅲ）二次函数y
1图象与一次函数y
2
图象有两个交点（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2
），且满足x
1
＜2＜x
2
＜4，此时设函数y
1
的对称轴为x＝m，求m的范围．
24．（9分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作DE⊥AC．（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）连结OC交DE于点F，若sin∠ABC＝，求的值．
25．（10分）已知：如图所示，在△A BC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有最大面积？
参考答案
一．选择题
1．解：与﹣2符号相反的数是2，
所以，数﹣2的相反数为2．
故选：A．
2．解：根据题意知，分针旋转一周（360°）需要60min，
则分针每分钟旋转＝6°，
∴经过5min，分针旋转了5×6＝30°，
故选：C．
3．解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
4．解：A、∵m＜n，∴﹣1+m＜﹣1+n，错误；
B、∵m＜n，∴﹣（m﹣n）＞0，错误；
D、∵m＜n，∴，错误；
D、∵m＜n，∴﹣3﹣m＞﹣3﹣n，正确；
故选：D．
5．解：原式＝2﹣（﹣12）＝2+12＝14，
故选：C．
6．解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
7．解：原式＝＝＝4，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠FAD＝∠FAB，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB，
∴S
△ABF ＝S
△ADF
，故①正确，
∵BE＝EC＝BC＝AD，AD∥EC，
∴，
∴S
△CDF ＝2S
△CEF
，S
△ADF
＝4S
△CEF
，S
△ADF
＝2S
△CDF
，
故③错误②④正确，
故选：D．
9．解：∵抛物线y＝mx2+2mx﹣5（m为常数，且m≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣5﹣m），∴﹣5﹣m＝﹣10，解得m＝5．
故选：C．
10．解：∵a﹣b＝（﹣3）13﹣（﹣3）14﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝﹣313﹣314﹣12+14＜0，∴a＜b，
∵c﹣b＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝（﹣1.5）11+1.513﹣0.612+0.614＞0，∴c＞b，
∴c＞b＞a．
故选：D．
二．填空题
11．解：从折线图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故填：居民消费．
12．解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53＝1446（元），
则2014年小敏家电费为1446元．
故答案为：1446．
13．解：如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0． 故答案为：如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0． 14．解：3x 3﹣27x ＝3x （x 2﹣9） ＝3x （x +3）（x ﹣3）．
15．解：设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
依题意，得：，
解得：
，
∴图中阴影部分的面积之和为16×（8+2×2）﹣6×10×2＝72（cm 2）． 故答案为：72cm 2．
16．解：∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴S △ADE ：S △ABC ＝（
）2＝，
又∵△ADE 的面积是1， ∴△ABC 的面积为4，
∴四边形DBCE 的面积＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 三．解答题
17．解：（1）原式＝﹣4+1+4﹣9＝﹣8；
（2）原式＝x 2+4x +4+4x 2﹣1﹣4x 2﹣4x ＝x 2+3，
当x ＝﹣
时，原式＝2+3＝5．
18．解：（1）∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE ， ∵AB ∥CD ， ∴∠AFE ＝∠CDE ， 在△AEF 和△CED 中，
∵
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD＝，
∴AB＝AF+BF＝+＝6．
19．解：过点C作AB的垂线，垂足为E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD＝12m，∠ECB＝45°，
∴BE＝CE＝12m，
∴AE＝CE•tan30°＝12×＝4（m），
∴AB＝（4+12）（m）．
答：建筑物AB的高为19米．
20．解：（1）甲的方差为×[（6﹣8）2+3×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2]＝1，
丙的射击成绩重新排列为3，6，6，7，7，7，则其中位数为＝6.5，
补全表格如下：
（2）∵甲和乙的平均成绩均高于丙，且甲的方差比乙小，
∴甲的平均成绩高，且成绩最稳定，
∴应该选择甲参赛；
（3）列表如下：
∵共有9种等可能的结果，在两个回合中，甲均没有出场的有4种结果，
∴在两个回合中，甲均没有出场的概率为．
21．解：（1）该汽车平均每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125（升/千米），∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝35﹣0.125x；
（2）当x＝60时，Q＝35﹣0.125×60＝27.5（升），
答：当x＝60（千米）时，剩余油量Q的值为27.5升；
（3）他们能在汽车报警前回到家，
（35﹣3）÷0.125＝256（千米），
由256＞200知他们能在汽车报警前回到家．
22．解：（1）∵x@3＜5，
∴2x﹣3＜5，
解得：x＜4；
（2）解方程2（2x ﹣1）＝x +1，得：x ＝1，
∴x @a ＝1@a ＝2﹣a ＜5，
解得：a ＞﹣3．
23．
解：（1）若二次函数y 1的图象与一次函数y 2的图象只有一个交点，
即：ax 2+bx +1＝x ，△＝（b ﹣1）2﹣4a ＝0，
解得：b 2﹣2b +1＝4a ，…①
答：a 与b 之间的关系是b 2﹣2b +1＝4a ；
（2）图象如上图所示，若将y 2向上平移t 个单位后所在直线为PR 所在直线为y ＝x +t ，
将P 点坐标（2，2）代入二次函数方程得：4a +2b +1＝2…②
联立方程①②解得：b ＝0，a ＝，
点Q 、R 的坐标由方程③和二次函数联立得：
x 2﹣x +1﹣t ＝0，则：|x Q ﹣x P |＝4，
S △PQR ＝•|x Q ﹣x P |•PH ＝2，解得：t ＝1，
答：t ＝1；
（3），即：ax 2+（b ﹣1）x +1＝0，
方程有两个根x 1＜2＜x 2＜4，根据函数得：
解得：﹣1＜﹣＜2，
答：m 的范围为﹣1＜m ＜2．
24．（1）证明：连接OD ．
∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，
∴OD ∥AC ．
∵DE ⊥AC ，
∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线；
（2）解：连接AD ．
∵OD ∥AC ，
∴＝．
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
又∵D 为BC 的中点，
∴AB ＝AC ．
∵sin ∠ABC ＝＝，
故设AD ＝3x ，则AB ＝AC ＝4x ，OD ＝2x ．
∵DE ⊥AC ，
∴∠ADC ＝∠AED ＝90°．
∵∠DAC ＝∠EAD ，
∴△ADC ∽△AED ．
∴＝，
∴AD 2＝AE •AC ．
∴AE ＝x ．
∴EC ＝x ，
∴＝＝．
25．解：（1）设t 秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2，
则列方程为：（5﹣t ）×2t ×＝4，
解得t 1＝1，t 2＝4（舍），
答：1秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2；
（2）设x 秒后，△PBQ 中PQ 的长度等于5cm ，
列方程为：（5﹣x ）2+（2x ）2＝52，
解得x 1＝0（舍），x 2＝2，
答：2秒后，△PBQ 中PQ 的长度等于5cm ；
（3）设面积为Scm 2，时间为t ，则S ＝（5﹣t ）×2t ×＝﹣t 2+5t ＝﹣（t ﹣）2+，
所以当t ＝2.5时，面积最大．。