Q1经典控制与现代控制数学描述的区别Q2状态变量

现代控制理论描述系统数学模型的方法：
内外部描述：一阶微分方程组（时域）； 多输入多输出系统； 利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈

x(t ) Ax(t ) Bu(t )

D u B + + A x' +
y(t ) Cx(t ) Du(t )
∫
x
1 qm 1 1 1
1

可以得到：
λ1 I λ1 I λ1 I
A q2 q1
1 y (t ) x2 t C
状态变量选择的不同， 状态方程亦不相同 但可以通过线性变换 实现相互转化
y(t ) x2 t
Q3: 状态空间模型的线性变换？
Q3 状态空间模型的线性变换？
状态空间的线性变换
设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为
x [x1 x2 ... xn ]T
R x 1 (t ) L 1 x ( t ) 2 C

1 1 x ( t ) 1 L u t LC x2 (t ) 0 0

1 1 x ( t ) L 1 L u t x (t ) 0 2 0
pm pm1
pn ]
n
1
m 1
Q3 状态空间模型的线性变换？
2）化系数矩阵A为约当阵
定理3：
若A具有重特征值 1 2 m ，只有一个独立向量与之 对应，其余（n-m）个特征值互异，则只能将A化为约当阵。
1 A 1
由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系
x [x1 x2 ... xn ]T
x P~ x

~ x P 1 x
其中P为nn维的非奇异变换矩阵
上述状态变量向量x与 x 间的变换,称为状态的线性变换。
值得指出的是: 变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和x 间的变换关系是等价的、唯一的 和可逆的。
因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为
|I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。
Q3 状态空间模型的线性变换？
设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换
x P~ x
后,系统矩阵为
~ A P 1 AP
矩阵 A 的特征多项式为 | I A || I P1 AP || P1 ( I A) P || P1 | | I A | | P || I A | 即证明了A的特征多项式等于的 A 特征多项式。 可见,系统经线性变换后,其特征值不变。
1
1
1
m 1
m阶约当块 n
Q3 状态空间模型的线性变换？
q1 , q2 , ....., qm 由特征向量的定义得：
Aq1 q2 qm q1 q2
为了将一般式的矩阵A化成约当阵，必须确定变换矩阵P。其求法如下：设 系统有n个重特征值 1 ，对应的特征向量为
Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别

经典控制理论模型
微分方程
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ui (t ) 2 dt dt
传递函数
U c ( s) 1 U i ( s) LCs 2 RCs 1

现代控制理论模型
R x1 (t ) L 1 x ( t ) 2 C
计算 1 1 的特征向量 v1
Av1 1v1
1 1 v11 v11 0 6 11 6 v v 21 21 6 11 5 v31 v31
1 1 v11 1 6 10 6 v 0 21 6 11 6 v31
y t 0
x1 (t ) i(t ) , x2 t uc (t )

di (t ) R 1 1 1 i (t ) uc (t ) ui (t ) 1 dt L L L L x1 (t ) u t L duc (t ) 1 x ( t ) 2 i (t ) 0 0 dt C
v11 v21 v31 0 6v11 10v21 6v31 0 6v 11v 6v 0 21 31 11
Q3 状态空间模型的线性变换？
v21 0 v11 v31
令
v11 1
得一特征向量
1 v2 2 4
x (t ) 1 1 x ( t ) 2
Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别
经典控制理论描述系统数学模型的方法：
外部模型； 单输入单输出系统； 时域内为高阶微分方程、复频域内为输入-输出关系的传递函数； 从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并建立起一整套图解分析法，至今仍 得到广泛地应用。
1）化系数矩阵A为对角阵 定理1：
已知系统x Ax Bu, 当A 的特征值1，2， ，n互异， 必存在非奇异变换矩阵P，经过x Px, 使原系统变换为：
0 1 2 1 x Ax Bu, A P AP 0 n P p1 p2 ... pn , pi 为i 对应的特征向量。
Q3 状态空间模型的线性变换？
特征向量的计算
如何求解特征值i对应的特征向量? 求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解
(iI-A)vi=0
由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。 因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。 由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。 实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后 再求得该特征向量其他元素的值。
0 0 A an 1 0 an 1 0 0 a1
1 1 P 12 n 1 1
1
2
2 2
n 1 2
1 n 2 n n 1 n
Q3 状态空间模型的线性变换？
对于给定的பைடு நூலகம்统，状态变量的选择则不是唯一的。
x1 (t ) i (t ) , x2 t i (t ) dt
R x 1 (t ) L x ( t ) 2 1

x1 (t ) i(t ) , x2 t uc (t )
第一章 线性系统的状态空间描述
主要问题
Q1: 经典控制与现代控制数学描述的区别？ Q2: 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？ Q3: 状态空间模型的线性变换？ Q4: 如何由微分方程求出系统状态空间描述？ Q5: 如何由传递函数求出系统状态空间描述？ Q6: 如何由方框图求出系统状态空间描述？
将上式与状态空间模型 ( A, B, C, D) 比较,则线性系统(A, B,C,D)在线 性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系
A P1 AP B P1 B C CP DD
补充资料:逆矩阵的计算
常用的逆矩阵计算方法有如下2种:

计算伴随矩阵法 初等变换法(三角矩阵变换法)。
性变换不改变系统的基本特性。 下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。
Q3 状态空间模型的线性变换？
定义 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组
Av=v 成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量。 将上述特征值的定义式写为 (I-A)v=0 其中I为n×n的单位矩阵。
y
C
+
Q2:状态变量是如何选取的，
具有唯一性吗？
Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？
“状态”指系统过去、现在 和将来的运动状况。 指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。 该变量组的每个变量称为状态变量。 状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的 抽象的数学变量。
Q3 状态空间模型的线性变换？
1 1 0 例：求 A 6 11 6 6 11 5
的特征向量。
1 1, 2 2, 3 3
解： I A 0
1 2 3 0
v11 v1 v 21 v31
1 v1 0 1
同理 2 2
3 3
P由A的特征向量构成
1 1 1 P 0 2 6 1 4 9
1 v3 6 9
* 1, 2 , n 为其两两相异的特征值，则其变换阵 P为范德蒙矩阵
Q3 状态空间模型的线性变换？

状态空间模型的线性变换
设在状态变量
x
和 x 下,系统状态空间模型分别为
( A, B, C , D ) : ( A, B, C , D ) :
x y x y
Ax Bu Cx Du Ax Bu Cx Du
两种表达式之间存在什么关系? 将变换关系 x Px 代入(A,B,C,D) 的状态方程中有

一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数； 将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量（电网络中电容电压和电感电流）

一个n阶系统仅有n个变量可以选择
Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？
u1 u2 … ur 系统内部状态 x1,x2,…,xn
y1 y2
…
ym
Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？
P x Px APx Bu
Q3 状态空间模型的线性变换？
由于变换矩阵P非奇异,则有
1 1 x P APx P Bu y CPx Du
x Ax Bu ( A, B, C , D) : y Cx Du
注： A 阵转化为对角形以后。各状变量间的耦合关系即随之消除，称
之为状态解耦。
Q3 状态空间模型的线性变换？
定理2： A具有重特征值 1 2 m 所对应的独立向量仍为m个，
其它(n-m)个特征值互异，则仍可将A化为对角形，且
P [p 1 p2
1 A
关键是求解P
Q3 状态空间模型的线性变换？
系统的特征值和特征向量
状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的
本质特征应保持不变。
对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。

特征值应是系统不变的本质特征之一。
系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线
Q7: 如何由状态变量图求出系统状态空间描述？
Q1: 经典控制与现代控制数学
描述的区别?
Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别
例:设有一个R-L-C网络，试求其数学描述。
ui (t ) L
di (t ) Ri (t ) uc (t ) dt
i (t ) C
du c (t ) dt