2020年普通高考(天津卷)适应性考试3

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2020年普通高考（天津卷）适应性考试(3)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！ 参考公式：
柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．
锥体的体积公式 Sh V 3
1
=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．
球的体积公式 334
R V π=球 ，其中R 表示球的半径．
第Ⅰ卷 注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知全集U =R ，集合{}01234A =,,,,，{}
20B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}3,4
D ．{}0,3,4
（2）已知a 、b 都是实数，那么a b ”是“ln ln a b >”的（ ）
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A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（3）函数()y f x =在[]0,2上单调递增，且函数()2f x +是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．()57122f f f ⎛⎫
⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫
<
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()75122f f f ⎛⎫
⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<
< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
（4）已知函数()3
24
x f x x =+，则()f x 的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
（5）空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）
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A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量
B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度
C ．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好
D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天
（6）已知1F 、2F 是椭圆C ：
()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，
且12·0PF PF =u u r r
u u u u u ，若12PF F △的面积为9，则b 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（8）函数()(
)1
e
1ln 11x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值
范围是（ ）
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A ．(]{}02-∞U ,
B ．{}[0,)2+∞-U
C ．(]0-∞,
D ．[0,)+∞
（9）函数()()2log 10f x a x a =+≠，定义函数()()(),0
,0
f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：
①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有
()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中真命题的个数是 ( )
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个
（D ）4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（11）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有______种．（用数字填写答案）
（12）已知点()2,0A -，()0,2B ，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC △面积的最大值是________.
（13）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
A b a
B a b
C c sin )2(sin )2(sin 2-+-=．则C 角的值为______；
若c=2，且A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，则△ABC 的面积为_____.
（14）在ABC ∆中，AB AC =，2BC =，AD DC =u u u r u u u r ，12AE EB =u u u r u u u r ，若1
2
BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，
则CE AB ⋅=u u u r u u u r
．
（15）若正数a ，b 满足
111a b +=，则1911
a b +--的最小值为 __ . 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公
司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设 计了一个招标方案：两家公司各自独立的从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这
6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率
均为
2
3
，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；
（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．
（17）（本小题满分15分）
（18）（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
1
:
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
C)0
(>
>b
a的离心率为
2
2
，右顶点
为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线
AB与AC分别交直线l：1
+
=a
x于点E、F．
（Ⅰ）若点）
，
（3
2
B，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为
1
k，
2
k．
①试探究：
2
1
k
k⋅是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF 的面积的最小值．
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（19）（本小题满分15分） 已知数列{}n a 中，11=a ，3
1+=+n n n a a a （*
∈N n ）
（Ⅰ）求2a ，3a ； （Ⅱ）求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅲ）数列{}n b 满足n n
n
n a n
b ⋅⋅
-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1
21-+
<-n n n
n T λ）（对一切*
∈N n 恒成立，求λ的取值范围．
（20）（本小题满分16分）
已知函数ax x x f -=ln )(,],0(e x ∈,其中e 为自然对数的底数. (Ⅰ) 若1=x 为)(x f 的极值点,求)(x f 的单调区间和最大值；
(Ⅱ) 是否存在实数a ,使得)(x f 的最大值是3-？若存在,求出a 的值；若不存在,说 明理由； (Ⅲ) 设x x x g ln )(=
,],0(e x ∈,在(Ⅰ)的条件下,求证:02
1
)()(<++x g x f .。