艺考班周测(集合、复数、逻辑、统计、统计案例、三角函数)

艺考班周测2019.3.17
（集合、复数、逻辑、统计、统计案例、三角函数）
一．选择题（共14小题，满分70分，每小题5分）
1．（5分）已知集合M＝{x|2x＜1}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（﹣∞，2）
2．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|0≤x＜1}
3．（5分）设x∈R，i是虚数单位，则“x＝3”是“复数z＝（x2﹣9）+（x+3）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）m∈R，i为虚数单位，若（m+2i）（2﹣i）＝4+3i，则m的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）
A．1B．C．3D．
7．（5分）甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次
为（）
A．85，85B．85，86C．85，87D．86，86
8．（5分）某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（）
A．20B．25C．30D．35
9．（5分）设某高中的男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣80.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心
C．若该高中某男生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该高中某男生身高为170cm，则可断定其体重必为63.79kg
10．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范
围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，
104），[104，106]，则这组数据中众数的估计值是（）
A．100B．101C．102D．103
11．（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（）
A．42万元B．45万元C．48万元D．51万元
12．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的图象关于直线x＝对称，且f（x）的最小正周期为π，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）
A．（）B．（）C．（）D．（）
13．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，则所得函数的解析式为（）
A．y＝2cos2x B．y＝2sin（2x+）C．y＝sin2x D．y＝2sin2x
14．（5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
15．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是．
16．（5分）当时，函数y＝3﹣sin x﹣2cos2x的最小值是，最大值是．
17．（5分）函数y＝3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是．
18．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（，3），则该函数的解析式为f（x）＝
三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）
19．（15分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率t＝y%进行了统计，结果如表：
（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率．如果不能，请说明理由．
（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B 两款车型，报废年限各不相同．考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？
参考数据：（x i﹣）2＝17.5，（x i）（y i）＝35，≈36.5
参考公式：相关系数r＝
回归直线方程＝x+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．
20．（15分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00﹣22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00﹣次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100，300），[300，500），[500，700），[700，900），[900，1100），[1100，1300]（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示．若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”．其中，使用峰谷电价的户数如表：
（1）估计所抽取的50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）（i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面2×2的列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？
附：，
21．（15分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：
（1）分别求出n，a，b，x，y的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）．
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
22．（15分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个对称中心为（，0），其图象上相邻两个最高点间的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象，并写出函数f（x）的单调递减区间．
艺考班周测（集合、复数、逻辑、统计、统计案例、三角函数）
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题，满分70分，每小题5分）
1．（5分）已知集合M＝{x|2x＜1}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（﹣∞，2）
【解答】解：∵集合M＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．
故选：A．
2．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|0≤x＜1}
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}；
∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．
故选：A．
3．（5分）设x∈R，i是虚数单位，则“x＝3”是“复数z＝（x2﹣9）+（x+3）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若复数z＝（x2﹣9）+（x+3）i为纯虚数，则x2﹣9＝0且x+3≠0，
即x＝±3且x≠﹣3，即x＝3，即x＝3”是“复数z＝（x2﹣9）（x+3）i为纯虚数”的充要条件，
故选：C．
4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】由|x﹣2|＜1知，1＜x＜3．故A＝{x|1＜x＜3}．
由＞0，知x＞1或x＜﹣2．故B＝{x|x＞1或x＜﹣2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）m∈R，i为虚数单位，若（m+2i）（2﹣i）＝4+3i，则m的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：由（m+2i）（2﹣i）＝（2m+2）+（4﹣m）＝4+3i，得，即m＝1．
故选：A．
6．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）
A．1B．C．3D．
【解答】解：∵复数z满足，∴z﹣i＝2i+1，可得z＝3i+1．则|z|＝＝．
故选：D．
7．（5分）甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）
A．85，85B．85，86C．85，87D．86，86
【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是×（85+87）＝86．故选：B．
8．（5分）某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（）
A．20B．25C．30D．35
【解答】解：设应当从高一年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得＝，解得x＝35，故选：D．
9．（5分）设某高中的男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣80.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该高中某男生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该高中某男生身高为170cm，则可断定其体重必为63.79kg
【解答】解：根据线性回归方程＝0.85x﹣80.71，
回归系数＝0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心，B正确；
该大学某女生身高增加1cm时，则其体重约增加0.85kg，C正确；当x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79kg，即大学某女生身高为170cm，她的体重约为58.79kg，D错误；
故选：D．
10．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，则这组数据中众数的估计值是（）
A．100B．101C．102D．103
【解答】解：由频率分布直方图得：这组数据中众数的估计值：＝101．
故选：B．
11．（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（）
A．42万元B．45万元C．48万元D．51万元
【解答】解：，，∵，∴a＝22﹣6.5×2＝9．
则，取x＝6，得．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的图象关于直线x＝对称，且f（x）的最小正周期为π，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）
A．（）B．（）C．（）D．（）
【解答】解：由题意可得＝π，解得ω＝2，函数f（x）＝A sin（2x+φ）．
依题：，故可取，．
令，可得，k∈Z，
故函数的对称中心，令k＝0，可得函数f（x）图象的中心是（），
故选：A．
13．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，则所得函数的解析式为（）
A．y＝2cos2x B．y＝2sin（2x+）
C．y＝sin2x D．y＝2sin2x
【解答】解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得函数y＝sin2x的图象；
横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，可得函数y＝2sin2x的图象，
故选：D．
14．（5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣
【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积33＝27，
满足|AE|≤3的基本事件为A为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，
其体积为V＝×π×33＝，
故则AE的长度大于3的概率P＝1﹣＝1﹣．
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
15．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是．
【解答】解：设区间（0，1）中随机取出两个数x、y，则x∈（0，1），y∈（0，1），
“两数之和小于“，即“x+y“，记事件A为““x+y“，
由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，
故答案为：
16．（5分）当时，函数y＝3﹣sin x﹣2cos2x的最小值是，最大值是2．【解答】解：由正弦函数的性质可知，当，
y＝3﹣sin x﹣2cos2x＝2sin2x﹣sin x+1＝
当时，；当时，y max＝2
故答案为：
17．（5分）函数y＝3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是．
【解答】解：∵y＝3cos（2x+φ）是奇函数，∴φ＝+kπ，k∈Z，当k＝0，
∴当k＝0时，|φ|的最小值是．故答案为：
18．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（，3），则该函数的解析式为f（x）＝3sin（2x+）【解答】解：图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，
即，则T＝π＝，即ω＝2，图象上一个最高点为（，3），
∴A＝3，则f（x）＝3sin（2x+φ），为f（）＝3sin（2×+φ）＝3，
即sin（+φ）＝1，∵0＜φ＜，∴+φ＝，即φ＝，
则f（x）＝3sin（2x+），即函数的解析式为f（x）＝3sin（2x+），
故答案为：3sin（2x+）．
三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）
19．（15分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率t＝y%进行了统计，结果如表：
（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率．如果不能，请说明理由．
（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B 两款车型，报废年限各不相同．考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？ 参考数据：
（x i ﹣）2
＝17.5，
（x i ）（y i
）＝35，≈36.5
参考公式：相关系数r ＝
回归直线方程＝x +中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．
【解答】解：（1）＝（11+13+16+15+20+21）＝16，故＝76，
故r ＝＝＝≈0.96，
故两变量之间有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系，
＝＝＝2，＝＝16﹣2×3.5＝9，
故回归方程是＝2x +9，x ＝7时，＝23，即2018年12月的市场占有率是23%； （2）用频率估计概率，这100辆A 款单车的平均利率为：（﹣500×10+0×30+500×40+1000×20）＝350
（元），
这100辆B款车的平均利润为：（﹣300×15+200×40+700×35+1200×10）＝400（元），
故会选择釆购B款车型．
20．（15分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00﹣22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00﹣次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100，300），[300，500），[500，700），[700，900），[900，1100），[1100，1300]（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示．若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”．其中，使用峰谷电价的户数如表：
（1）估计所抽取的50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）（i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面2×2的列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？
附：，
【解答】解：（1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为：
1﹣0.001×200﹣0.0015×200﹣0.0012×200﹣0.0006×200﹣0.0002×200＝0.1，（2分）
估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：（度）；（3分）
估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：
（度）．（6分）
（2）依题意，2×2列联表如下：
（8分）K2的观测值（11分）
所以不能有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关．（12分）
21．（15分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：
（1）分别求出n，a，b，x，y的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝＝100，…（1分）
a＝100×（0.010×10）×0.5＝5，
b＝100×（0.030×10）×9＝27，…（2分）x＝＝0.9，…（3分）
y＝＝0.2．…（4分）
（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），
且有0.010×10+0.020×10+（x﹣35）×0.030＝05，解得x≈41.67，…（6分）
故估计这组数据的中位数为41.67，
估计这组数据的平均数为：
＝20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10＝41.5．…（8分）
（3）由（1）知a＝5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，
男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，
共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，
共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，
∴至少抽中一名女性的概率p＝．
22．（15分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个对称中心为（，0），其图象上相邻两个最高点间的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象，并写出函数f（x）的单调递减区间．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个对称中心为（，0），其图象上相邻两个最高点间的距离为π，∴ω•+φ＝kπ+，k∈Z，且＝π，
∴ω＝1，φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象，
列表：
+
描点作图：
函数f（x）的调递减区间为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．。