大学物理第8章 稳恒磁场 课后习题及答案之欧阳德创编

第8章 稳恒磁场 习题及答案
6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在
O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。

若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。

解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。

AB 在O 点产生的磁感应强度为 C B 在O 点产生的磁感应强度大小为
θπμR I B 402=R
I R I 123400μππμ=⨯=，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )231(20-=R I πμ，方向垂直纸面向里 故 )6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的
A ，
B 两点，并在很远处与电源相连。

已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。

解：圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。

且
1I 产生的磁感应强度大小为
）（θππμ-=24101R
I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为
θπμR
I B 4202=，方向垂直纸面向里 所以， 1)2(21
21=-=θ
θπI I B B 环中心O 的磁感应强度为
8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为
a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板
共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应
强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流
直导线，应用叠加原理求解。

以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左
为x 轴正方向建立坐标系。

在载流平板上取dx a I dI =，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 x dI dB πμ20=dx ax
I πμ20=，方向垂直纸面向里 P 点的磁感应强度大小为
方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A ,B ,分别带有电量q +和q -，相距为d 。

它们都以角速度ω绕轴'OO 转动，轴'OO 与AB 连线相互垂直，其交点为C ，距A 点为
3d 。

求C 点的磁感应强度。

解：q +电荷运动形成电流大小为
1I 在C 点产生的磁感应强度大小为
方向沿O O →'方向
同理，q -电荷运动形成电流的电流2I 在C 点
产生的磁感应强度大小为
方向沿O O →'的反方向
所以，C 点的磁感应强度大小为 方向沿O O →'方向
10. 已知磁感应强度大小0.2=B Wb ·m -2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如图所示。

试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量。

解：(1)通过abcd 面积1S 的磁通量为
(2)通过befc 面积2S 的磁通量为
(3)通过aefd 面积3S 的磁通量为
11．如图所示，真空中一半径为r 的金属小圆环，在初始时刻与一半径为R （r R >>）的金属大
圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电
流I ，如果小圆环以匀角速度ω绕其直径转
动，求任一时刻t 通过小圆环的磁通量m Φ。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应
强度大小为 R I B 20μ=，方向垂直纸面向外
任一时刻t 通过小圆环的磁通量为
12. 如图所示，电流I I I ==21，求沿回路1L 、2L 以及3L 的磁感应强度的环流。

解：由安培环路定理得
13. 一根很长的同轴电缆，由一导
体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管
(内、外半径分别为b ,c )构成，横截面如
图所示。

使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。

求：
(1)导体圆柱内(r ＜a )；(2)两导体之间(a ＜r ＜b )；
（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有
(1)当a r <时，22r a I I i ππ⋅=
∑，所以 (2)当b r a <<时，I I i =∑，所以
(3)当c r b <<时，)()(2222b r b c I I I i -⋅--=∑ππ，所以 (4)当c r >时，0=∑i I ，所以
14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，
如图所示，它所载的电流1I 均匀分布在其横截面上。

导
体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流2I ，且在中部绕了一个半径为R 的圆圈。

设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感应强度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过O 点的圆周为回路，应用安培环路定理，有
所以，长直载流导体圆管在O 点产生的磁感强度大小为
d R I B +π=
1012μ，方向垂直纸面向里 电流2I 的长直导线在O 点产生的磁感强度大小为
R I B 2
022π=μ，方向垂直纸面向外
电流2I 的圆线圈在O 点产生的磁感强度大小为 R I B 22
03μ=，方向垂直纸面向外 所以，O 点的磁感强度大小为
方向垂直纸面向外。

15. 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如图所示。

现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求：
(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；
(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流2I 和2I -，应用补偿法求解。

电流2I 和2I -在空间产生的磁场相互抵消，因此空
间各点磁场可看作半径为R 、电流21I I I +=均匀分布在
横截面上的圆柱导体和半径为r 、电流2I -均匀分布在
横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。

2I 和1I 的大小为
1I 和2I 产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定
理求磁感应强度。

（1）电流1I 在O 点产生的01=B ，电流2I -在O 点产生的磁感应强度满足
圆柱轴线上的O 点B 的大小为
(2) 电流2I -在O '点产生的02
='B ，电流1I 在O '点产生的磁感应强度满足
空心部分轴线上O '点磁感应强度的大小为
16. 通以电流I 的导线abcd 形状如图所示，l cd ab ==，⋂bc 弧是半径为R 的半圆周，置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，B 的方向垂直纸面向里。

求此导线受到安培力的大小和方向。

解：应用安培定律求解。

ab 边受力大小为
BIl F ab =，方向：向左 cd 边受力大小为
BIl F cd =，方向：向右
对于bc 边，建立图示坐标系。

在bc 边上取电流元l Id ，θBIRd BIdl dF ==
根据对称性有0=x F 此导线受到安培力的大小为BIR F 2=，方向沿
y 轴正向。

17. 在长直导线AB 内通以电流1I ，在矩形线圈
CDEF 中通有电流2I ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。

求：导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力及矩形线圈所受合力。

解：CD F 方向垂直CD 向左，大小 同理，FE F 方向垂直FE 向右，大小
y x
l d F d
θ
CF F 方向垂直CF 向上，大小为 ED F 方向垂直ED 向下，大小为
CF
ED F F = 线圈所受合力ED CF FE CD F F F F F
+++=方向向左，大小为
18. 有圆线圈直径8cm ，共12匝，通电流5A ，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T 的匀强磁场中。

试求：
（1）作用在线圈上的最大磁力矩；
（2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）
解：(1)NI R NIS P m 2π== (2) B P B P M m m 21sin ==θ，所以 19. 一线圈由半径为R 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流I ，把它放在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如图所示)。

求：
(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 ⌒ AB
所受的磁力；
(2)线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩大小。

解：（1）建立图示坐标系。

在圆弧上取电流元l Id 根据对称性有0=x F 圆弧 ⌒ AB
所受的磁力的大小为BIR F 2=，方向与直线AB 垂直，且与OB 的夹角为045；
（2）线圈的磁矩大小为
线圈所受的磁力矩大小为
20. 电子在T B 3100.7-⨯=的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径cm r 0.3=。

已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度υ 向上，如图所示。

（1）试画出这电子运动的轨道；
（2）求这电子速度υ 的大小； y
x
l d θ F d
（3）求这电子的动能k E 。

解：(1)轨迹如图
(2)由牛顿第二定律得， r m B e 2υυ= 故 7107.3⨯==m
eBr υ1s m -⋅ (3) 162K 102.621-⨯==υm E J 21. 如图所示的三条线表示三种不同磁
介质的H B -关系曲线，虚线是B =H 0μ关系的
曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质?
解：曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质。

22. 一长直同轴电缆线由半径为1R 的导体和套在它
外面的半径为2R 的同轴薄导体圆筒组成。

已知导体内
的相对磁导率为1r μ，导体与薄导体圆筒之间的绝缘材
料的相对磁导率为2r μ。

若电流由导体流入(电流在截面
上均匀分布)而从薄导体圆筒流出，求：
（1）磁介质内、外的磁场强度的分布；
（2）磁介质内外的磁感应强度的分布。

解：（1）磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、半径为r 的圆周为回路，应用介质中的安培环路定理，有
当1r R <时，221
r R I I i ππ⋅=∑，所以1212rI H R π= 当12R r R <<时，I I i =∑，所以22I H r π= 当2R r >时，0=-=∑I I I i ，所以30H =
（2）H B r μμ0=，所以
当1r R <时，0112
12r Ir B R μμπ=
当12R r R <<时，0222r I B r μμπ=
当2R r >时，30B =
23. 细螺绕环中心周长cm L 10=，环上线圈匝数200=N 匝，线圈中通有电流mA I 100= 。

求：
(1)当管内是真空时，管中心的磁场强度H 和磁感应强度0B ；
(2)若环内充满相对磁导率4200r μ=的磁性物质，则管内的B 和H 各是多少?
解：(1) 取同心圆周为回路，应用介质中的安培环路定理I l H l ∑=⋅⎰ d ，有
(2)200=H 1
m A -⋅ 时间：2021.03.07
创作：欧阳德。