数学建模梯子长度问题

实验报告
专业：信息与计算科学班级：09级（ 2）班指导老师：许小芳
姓名：余彪学号：200941210239 实验室：K7-405实验名称:梯子长度问题时间：2011.09.19
一、实验目的和要求：
掌握求一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求极小值的命令。

二、实验内容：
一栋楼房的后面是一个很大的花园。

在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。

清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。

因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。

现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？
三、过程：
1、设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端 A处恰好接触时，梯子的长度L只与x有关。

试写出函数L （x）及其定义域。

根据题目做出数学图形如上图所示，故易知函数为：L(x)=b/sin(x)+a/cos(x);0<x<0.5*pi;
2、在 Matlab 环境，先用命令 clear x 清除x的值，再定义函数L(x) ，并求导。

syms a b x
diff(b/sin(x)+a/cos(x))
ans =
-b/sin(x)^2*cos(x)+a/cos(x)^2*sin(x) 3、将a、b赋值，画出L(x) 的图形。

注意自变量x的范围选取。

x=0.1:pi/200:1.5;
l=3./sin(x)+2./cos(x);
figure(1)
plot(x,l,'r');
grid on
画出图形如下：
4、求驻点，即求方程()0
L x
'=的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。

驻点唯一吗？l='(3./sin(x)+2./cos(x))';
>> dl=diff(l)
dl =
-3./sin(x)^2*cos(x)+2./cos(x)^2*sin(x)
>> x=solve(dl)
x =
.85277087756427083204247764696116
-.91778230040579995001409412898792+.64318975209837856628321146975070*i
-.91778230040579995001409412898792-.64318975209837856628321146975070*i
>> x=double(x)
x =
0.8528
-0.9178 + 0.6432i
-0.9178 - 0.6432i
>> l1=3./sin(x)+2./cos(x)
l1 =
7.0235
-0.8686 - 2.4329i
-0.8686 + 2.4329i
故容易知道驻点不唯一，有三个驻点
5、观测图形，选取初始点，用fminbnd 直接求L(x)的极小值。

并与（5）的结果比较。

x=fminbnd('3/sin(x)+2/cos(x)',0,1.5)
l=3/sin(x)+2/cos(x)
x =
0.8528
l =7.02356
经过比较、两次不同方法的计算结果几乎相同，结果都是7m长的梯子长度不够。

6.取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？
x=fminbnd('2.8/sin(x)+2/cos(x)',0,1.5)
l=2.8/sin(x)+2/cos(x)
x =
0.8414
l =
6.7566
因为6.7566<7故在这种情况下梯子的长度合适。

结论
经过本次实验，基本上掌握求一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB多种方法求极小值的命令。

2011年 9月 19日
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师
批
阅
年月日。