2018版高中数学苏教版必修五学案：2.1数列(二)

2A数列(二)
【学习目标】1•理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列2理解递推公式的含义, 能根据递推公式求出数列的前几项.
H问题导学-------------------------------- 知识点一递推公式
思考1 ⑴已知数列｛a n｝的首项a i= 1,且有a n= 3a n—1+ 2(n>1, n€ N*)，贝y a4 = ___________ ⑵已知数列｛a n｝中，a1 = a2= 1，且有a n+ 2= a n+ a n+1( n€ N),贝U a4= ___________ .
梳理如果数列｛a n｝的第1项或前几项已知，并且数列｛a n｝的任一项a n与它的前一项a n- 1(或
前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是数列的一种表示方法.
思考2我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
知识点二数列的表示方法
思考以数列2,4,6,8,10,12,…为例，你能用几种方法表示这个数列?
梳理数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
题型探究
类型一数列的表示方法
例i图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一
个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
A A A A
⑴間⑶(4)
反思与感悟数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n,且n€ N*,所以善于利用
我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的.
跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数•比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应
石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是
类型二数列的递推公式
命题角度1由递推公式求前若干项
a i= 1，
例2设数列｛a n｝满足 1 * 写出这个数列的前5项.
”a n= 1 + —(n>1 , n€ N .
I an- ? f
引申探究
1 + a n
数列｛a n｝满足a i= 2, a n+1 = ，求a? 016.
1 —a n
反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或若干项)之间的关系•对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项•若项
数很大，则应考虑数列是否有规律性.
跟踪训练2 在数列｛a n｝中，已知a1= 2, a2= 3, a n+2= 3a n+1 —2a*(n € N )，写出此数列的前
6项.
命题角度2由递推公式求通项
例 3 (1)对于任意数列｛ a n｝,等式：a1 + (a2—a” + (a3—a2)+ …+ (a n—a n-1) = a n(n》2, n€ N )
a n n — 1
*
{an}
满足：
ai =1
，a ；T 〒(n
》2
，
n €N )
,求通项 an .
反思与感悟 形如a n +1 — a n = f(n)的递推公式，可以利用a 1 + (a 2— a 1)+ (a 3 — a 2)+…+ (a n — a n
*
a
n +1
a 2 a 3
a n
—1)= a n (n >2, n € N )求通项公式；形如
=f(n)的递推公式，可以利用
a 1 l ...: ---------------------- = a n
a 1 a 2 a n —〔
a n (n >2, n € N )求通项公式. 跟踪训练 3
已知数列｛a n ｝中，a 1= 1, a 2= 2, a *+2= a *+1 — a *,试写出
a 3, a 4, a 5, a 6, a ?,
a 8,你发现数列｛a n ｝具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第 2 016项？
都成立•试根据这一结论，完成问题：已知数列 {a
n }满足：a i = 1 , a n + 1 — a n = 2,求通项 a n ；
⑵若数列｛a n ｝中各项均不为零，则有 a i a 3
a n
-=a n (n 》2, n € N )成立.试根据这一结 a n — 1
论，完成问题：已知数列
当堂训练
1. ______________________________________ 数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 .
2.
已知数列｛a n ｝满足a 1 = 2, a *+1 — a *+ 1 = 0（n € N ）,则此数列的通项 a n = _________ ‘
3 •用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
a n 与所搭三角形的个数 n
之间的关系式可以是
1
4 .数列｛ X n ｝中，若 X 1 = 1 , X n + 1= x + 1 — 1 , 厂规律与方法 ----- -------------------------------
1. ｛a n ｝与a n 是不同的两种表示，｛a n ｝表示数列a 1, a 2,…，a n ,…，是数列的一种简记形式. 而 a n 只表示数列｛a n ｝ 的第n 项，a n 与｛a n ｝是 个体 与 整体 的从属关系.
2 .数列的表示方法：（1）图象法；（2）列表法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.
3 .通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映
a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数,
则 X 2 017 =
知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子,
它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 1 (1)53 (2)3
思考2通项公式和递推公式都是表示数列的方法•已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.
知识点二
思考①通项公式法：a n= 2n.
ai = 2,
②递推公式法：* 厂*
a n+1 = a n + 2, n € N .
③列表法：
n123k
a n2462k
坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)•
题型探究
例1解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幕，指数为序号减 1.所以，这个数列的一个通项公式是a n= 1.在直角
跟踪训练1
55
A
A
O
A
G
解由题意可知 a1=I , a2=1+書=2, a3=1+-=2, a4=1+o;= 3,
I 1 1
3
故｛a n ｝是周期为4的数列. 1
…a 2 016= a 4x
503+ 4= a 4= 3. 跟踪训练2 解a 1 = 2, a 2 = 3, a 3= 3a 2 — 2a 1 = 3X 3 — 2 x 2 = 5, a 4= 3a 3— 2a 2= 3x 5 — 2 x 3= 9, a 5= 3a 4— 2a 3= 3x 9 — 2 x 5= 17, a 6= 3a 5— 2a 4= 3x 17— 2x 9 = 33.
«n
30
27 21
21
18 15 12
解析
三角形数依次为 1,3,6,10,15,…，第10个三角形数为1 + 2 + 3+ 4+・・
+ 10= 55.
a 5= 1
+ 丄=1+ 3= 5. a 4
引申探究
” 1 + a1 1 + 2
解a?= = = —3,
1 —a1 1
—2
1 + a
2 1 —
3 a3= _
1 —a2
1
1 +
3 =2 = a1.1 2,
1 + a3 a4=
1
1 —
2 1
3,
1 + a4 a5=
例 3 解 ⑴ 当 n 》2 时，a n = a i + (a 2 — a i ) + (a 3 — a 2)+ …+ (a n — a n -1) =1 + 2+ 2+…+ —2 个=2(n - 1) + 1 n -十1
2 =2n — 1.
a 1= 1也适合上式，
所以数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n - 1.
,12 n -1 1 —2 3 ….n _n . a 1= 1也适合上式，
1
所以数列｛a n ｝的通项公式是 a n = -■
跟踪训练 3 解 a 1 = 1, a 2 — 2, a 3 — 1, a 4= a 6=- 1, a 7— 1, a 8 — 2,
发现：a n + 6— a n ,数列｛a n ｝具有周期性，周期 证明如下： T a n +2— a n +1 — a n ,
二 a n + 3— a n + 2— a n +1 — (a n + 1 — a n ) - a n + 1 — - a n a n + 6=— a n + 3=— (— a n ) — a n .
•••数列｛a n ｝是周期数列，且 T — 6. 二 a 2 016— a 335x
6+ 6—玄6 =— 1. 当堂训练
1. a n — a n -1 + n , n € N *, n 》2
2.3-n
3. a n — 2n + 1, n € N
4.1
(2)当n 》2时,
a 2 a 3
an
= a1 訂•
a n a n - 1
—1, a 5— — 2, T — 6,。