沪教版(五四制)八年级数学上册 第三讲 一元二次方程的判别式 讲义 (无答案)

板块一：利用判别式判断方程根的情况
把24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根的判别式，通常用符号“∆（读作“dealt ”）”标号，记作24b ac ∆=-。

在实数范围内，一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定。

当2
40b ac ∆=->
时，方程有两个不相等实数根1,2x =
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等实数根122b
x x a
==-； 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根。

【例题1】 【基础、提高】当m 取什么值时，关于x 的方程222
21)4840x m x m m +++++=（ ①有两个相等实数根 ②有两个不相等的实数根 ③无实数根 【尖子】已知关于x 的方程2310kx x +-=，请说明方程的根的情况.
【例题2】 【基础、提高】如果关于x 的方程220x x m --=① 没有实数根，那么请说明方程
第三讲
一元二次方程的判别式
22(1)0x mx m m +++=② 的根的情况。

【尖子】已知关于x 的方程2(21)(1)0mx m x m +-++=① 无实数根，那么请说明方程
232
04
m x mx ++-
=② 的根的情况。

【例题3】 【基础、提高】设0a b c +>>且a b c -<，
求证：二次方程222222()0a x b a c x b ++-+=没有实数根。

【尖子】已知0a >，b a c >+。

判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明。

【例题4】 【基础、提高】已知关于x 的二次方程20x ax c ++=与20x bx d ++=，求证：当2()ab c d =+时，
这两个方程中至少有一个方程有实根。

【尖子】若0a b c d >、、、，证明：在方程
2
102
x ++=① ，21
02x ++②，2102x +=③，21
02x ++④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。

板块二：利用判别式求参数的取值范围
在实数范围内，一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）反映了系数a 、b 、c 的取值情况。

当方程有两个不相等实数根时，240b ac ∆=->；
当方程有两个相等实数根时，240b ac ∆=-=； 当方程有实数根时，240b ac ∆=-≥；
当方程没有实数根时， 240b ac ∆=-<。

【例题5】 【基础、提高】设两个方程22440x ax a a +++=，()22210x a x a +-+= 中至少有一个方程有
实数根，求a 的取值范围。

【尖子】已知三个二次方程()24430x ax a +--=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中，
至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

【例题6】 【基础、提高】已知关于x 的方程222(3)7120x a x a a b +-+--+=有两个相等的实数根，而
且满足20a b -=。

（1）求a b 、的值；
（2）若k 为已知实数，求证，关于x 的方程2()2()0b a x bkx k a b -++-+=有两个不相等的实数根。

【尖子】已知：m n 、为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数根， 2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m n 、的值.
板块三：判别式的运用
【例题7】 m 为何值时多项式2
2
(22)5x m x m -+++是一个完全平方式。

【例题8】 【基础、提高】已知：a b c 、、是ABC ∆的三边，当0m >时，关于x 的方程
22
()()0c x m b x m ++--=有两个相等的实数根。

求证： ABC ∆是直角三角形.
【尖子】若关于x 的方程22(21)(1)0a x b x cx -+--=有两个相等的实数根，且a b c 、、是ABC ∆的三边，求证：ABC ∆是等腰三角形.
【例题9】 【基础、提高】求方程22562148100x xy y x y ++--+=的实数解
【尖子】若实数x y 、满足2(22)(322)2(4)0x y x y x +-++++=，求x y +.
【例题10】 【基础、提高】已知实数a b c 、、3a c -=，求证24b ac ≥.
【尖子】已知a b c 、、都是实数，证明：2()(2)(2)a b c a b c -≥--.
【练习1】 关于x 的一元二次方程20()x bx c b c ++=≠中，若b c 、可在1、2、3、4、5中取值，则有多少
个方程有实数根。

【练习2】 当k 取何值时，关于x 的方程22213kx kx x x k ++=+-有实数根？
【练习3】 如果,a b 为实数，试证方程()()1x a x b --=的两根为两个不等的实数。

【练习4】 关于x 的一元二次方程2
2
(1)04
a x --+=有实根，其中a 是实数， 则9999
a x +=__ __.
【练习5】 已知二次三项式29(6)2x m x m -++-是完全平方式，求m .
【练习6】 设非零实数121,2,,p p q q 满足关系式12124()p p q q =+，证明：方程2
110x p x q ++=与
2220x p x q ++=至少有一个具有不等的实数根。

【练习7】 已知关于x 的方程22(1)2(1)0a x bx c x +-+-=有两个相等的实数根，a b c 、、为一三角形的三
条边，求此三角形的形状.
【练习8】 已知0x y z -+=，求证：24y xz ≥。