高中数学 1.3.3 已知三角函数值求角学案 新人教B版必修4

1.3.3 已知三角函数值求角
1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角.(重点、难点)
2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角.
[基础·初探]
教材整理 已知三角函数值求角的相关概念 阅读教材P 57～P 60内容，完成下列问题. 1.已知正弦值，求角：
对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上有唯一
的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝
⎛⎭⎪⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2. 2.已知余弦值，求角：
对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的
x 值和它对应，记为x ＝arccos_y (其中－1≤y ≤1,0≤x ≤π).
3.已知正切值，求角：
一般地，如果y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么对每一个正切值y ，在开区间
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记为x ＝arctan_y ⎝
⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有1个.( )
(2)在区间[0,2π]上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( ) (3)在区间[0,2π]上，满足条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( )
(4)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上，满足条件tan x ＝a (a ∈R )的x 只有1个.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问5：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
已知sin x ＝
32
. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合.
【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.
【自主解答】 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上是增函数，且sin π3＝32，∴x ＝π3，∴ ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
π3是所求集合. (2)∵sin x ＝
32＞0，∴x 为第一或第二象限的角.且sin π3＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π3＝32， ∴在[0,2π]上符合条件的角有x ＝π3或x ＝2
3
π，
∴x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
π3
，2π3.
(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝2k π＋
π3，或x ＝2k π＋2π
3，k ∈Z .
1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.
2.对于已知正弦值求角有如下规律：
[再练一题]
1.已知sin α＝3
5，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R .
【导学号：72010033】
【解】 (1)由于sin α＝35，且α为锐角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以α＝arcsin 3
5
.
(2)由于sin α＝35，且α∈R ，所以符合条件的所有角为α1＝2k π＋arcsin 3
5(k ∈Z )，
α2＝2k π＋π－arcsin 3
5(k ∈Z )，
即α＝n π＋(－1)n
arcsin 35(n ∈Z ).
已知cos x ＝－1
3
，
(1)当x ∈[0，π]时，求值x . (2)当x ∈R 时，求x 的取值集合.
【精彩点拨】 解答本题可先求出定义arccos a 的范围的角x ，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x 的集合.
【自主解答】 (1)∵cos x ＝－1
3
且x ∈[0，π]，
∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13. (2)当x ∈R 时，先求出x 在[0,2π]上的解. ∵cos x ＝－1
3
，故x 是第二或第三象限角.
由(1)知x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13是第二象限角， 又cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13，
且2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x ＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＋2k π或
x ＝2π－arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13
＋2k π(k ∈Z )时，
cos x ＝－1
3
，即所求x 值的集合是
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝2k π±arccos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫－13，k ∈Z .
cos x ＝a (－1≤a ≤1)，当x ∈[0，π]时，则x ＝arccos a ，当x ∈R 时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }.
[再练一题] 2.已知cos x ＝－
2
2
且x ∈[0,2π)，求x 的取值集合. 【解】 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x 是第二或第三象限的角，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x ＝π－π4＝3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的
角是x ＝π4＋π＝5π4
.
故所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π4
，5π4.
已知tan α＝－3.
(1)若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，求角α； (2)若α∈R ，求角α.
【精彩点拨】 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解. 【自主解答】 (1)由正切函数在开区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3).
(2)α＝k π＋arctan(－3)(k ∈Z ).
1.已知角的正切值求角，可先求出⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的角，再由y ＝tan x 的周期性表示所
给范围内的角.
2.tan α＝a ，a ∈R 的解集为{α|α＝k π＋arctan a ，k ∈Z }.
[再练一题]
3.已知tan x ＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 【解】 ∵tan x ＝－1＜0， ∴x 是第二或第四象限的角.
由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1可知， 所求符合条件的第四象限角为x ＝－π
4
.
又由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54π＝－tan π4＝－1得所求符合条件的第二象限角为x ＝－54π， ∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5π
4
.
[探究共研型]
探究1 已知角 【提示】 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个.
探究2 怎样求解三角方程？
【提示】 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a 或arccos a 或arctan
a 表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角.
若cos x ＝cos π
7
，求x 的值.
【精彩点拨】 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角. 【自主解答】 在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x ＝cos π7的角有两个：π7和－π
7
.
又y ＝cos x 的周期为2π，所以满足cos x ＝cos π7的x 为2k π±π
7
(k ∈Z ).
已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限； (2)求出[0,2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角. [再练一题] 4.已知sin x ＝
2
2
，且x ∈[0,2π]，则x 的取值集合为________. 【解析】 ∵x ∈[0,2π]，且sin x ＝
22＞0，∴x ∈(0，π)当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin
x 递增且sin π
4
＝
22，∴x ＝π4，又sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin 3π4＝22，∴x ＝3π4也适合题意.∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
π4
，3π4.
【答案】 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫π4
，
3π
4
1.(2016·石景山高一检测)下列说法中错误的是( ) A.arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22＝－π4 B.arcsin 0＝0 C.arcsin(－1)＝3
2
π
D.arcsin 1＝π
2
【解析】 根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－π
2，故C 错误.
【答案】 C
2.若α是三角形内角，且sin α＝1
2，则α等于( )
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.120°或60°
【解析】 ∵α是三角形内角，∴0°<α<180°. ∵sin α＝1
2，∴α＝30°或150°.
【答案】 B 3.已知cos x ＝－2
2
，π＜x ＜2π，则x ＝( ) A.3π2 B.5π4 C.4π3
D.7π4
【解析】 因为x ∈(π，2π)且cos x ＝－22，∴x ＝5π4
. 【答案】 B
4.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝3
5，用含符号arcsin x 的关系式表示顶角
β＝________.
【导学号：72010034】
【解析】 由题意，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
又sin α＝3
5
，
所以π6<α<π4，π3<2α<π2，π2<π－2α<2π3，
所以β＝π－arcsin 2425.
【答案】 π－arcsin 24
25
5.
求值：arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－3.
【解】 arcsin
32＝π3
， arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2π
3
，
arctan(
－3)＝－π
3，
∴原式＝π3－2π3
－π3
＝1.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(十二) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列叙述错误的是( )
A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的角 B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝y C.若tan x
2＝y ，则x ＝2arctan y
D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]
【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x
2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错.
【答案】 C
2.已知sin α＝－13，－π
2
＜α＜0，则α等于( )
A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
C.arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13 D.－arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13 【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－1
3
，所以α＝
arcsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13.
【答案】 C
3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－5
6，则x 等于( )
A.arccos 56
B.－arccos 5
6
C.π－arccos 5
6
D.π＋arccos 5
6
【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.
【答案】 C
4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 ∵tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).
∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，23
12π.故选B.
【答案】 B
5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )
【导学号：72010035】
A.arctan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
B.－arctan 1
2
C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
55 D.arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－255
【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－1
2，设直线倾斜角
为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－255.
【答案】 D 二、填空题
6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
3≤x ≤2π3的值域为________.
【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－3
2≤sin x ≤1，
∴0≤arccos(sin x )≤5π
6
.
【答案】 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6
7.(2016·东营高一检测)若x ＝π
3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则
角α＝________.
【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ).
∵α∈(0,2π)，∴α＝4π
3.
【答案】
4π3
8.(2016·日照高一检测)已知cos α＝1
3，α∈[0,2π)，则角α＝________.
【解析】 因为cos α＝1
3
，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)，
所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13
. 【答案】 arccos 13或2π－arccos 13
三、解答题
9.已知sin α2＝－32
，且α是第二象限的角，求角α. 【解】 ∵α是第二象限角，∴α2
是第一或第三象限的角. 又∵sin α2＝－32＜0，∴α2
是第三象限角. 又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43
π(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋83
π(k ∈Z ). 10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α.
(1)α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R . 【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).
(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦
⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tan α＝－2的角有两个.
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2，
且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0， ∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2).
(3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).
[能力提升]
1.给出下列等式：
①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6
； ③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝
⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12. 其中正确等式的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 ①arcsin π2
无意义；②③④正确. 【答案】 C
2.若直线x ＝
k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( ) A.14
B.－34
C.14或－34
D.－14或34
【解析】 要使函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z ∵直线x ＝
k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交， ∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义， 即2×k π2＋π4＝π2＋m π， ∴4k ＝4m ＋1.
当m ＝0时，k ＝14
，满足要求； 当m ＝－1时，k ＝－34
满足要求； 当m ＝1时，k ＝54
不满足要求， 故满足条件的k ＝14或－34
. 【答案】 C
3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________.
【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1，
解得：1≤x ≤32
. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32 4.若f (arcsin x )＝x 2
＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值.
【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ， sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2. ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x ＝－1，即x ＝－
π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。