第11课时 过三点的圆

第11课时 过三点的圆
一、学习目标
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并记住这个结论；
2.学会不在同一条直线上的三个点作圆的方法；
3.知道三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

二、学习准备——确定圆的条件、垂直平分线的作法
1、我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点即为圆心，定长即为半径，根据定义作圆的关键是确定圆心和半径的大小。

确定了圆心和半径，圆就随之确定。

2、线段垂直平分线的性质及作法。

【性质】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

【作法】如右图，①分别以A 、B 为圆心，以大于
2
1
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ，②作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。

二、预习指导
1. 过已知点A 作圆，你能作出几个这样的圆？
2. 过已知点A 、B 作圆，你能作出几个这样的圆？
3. 过已知点A 、B 、C （A 、B 、C 三点不在同一条直线上）作圆。

你能作出几个这样的圆？ 过同一直线上的三点能作一个圆吗？为什么？
【小结】过已知一点可作 ，过已知两点也可作 ，过不在同一条直线上的三点 。

阅读概念，按要求作圆。

4、阅读下列定义，说出图2中的外接圆、内接三角形，外心。

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

这个三角形叫这个圆的内接三角形；外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

外心到△的三顶点距离相等。

5、分别作出下面三角形的外接圆。

观察它们外心的位置。

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
外心在 ； 外心在 ； 外心在 ；
【小结】锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在
，钝角三角形的外心在。

四、预习检测
1、如图3，CD所在的直线垂直平分线段AB。

怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
2、如图4，要烧铸一个和破残轮片的半径一样大的圆轮，怎样确定这个残轮片的半径。

3、经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆？举例说明
4、已知在△ABC中，AC=24，BC=10，AB=26，则其外接圆的半径是多少？
5、等边三角形的边长为a，则它的外接圆半径为多少？
五、拓展资料
阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任
意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所
覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形
被两个圆所覆盖．回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是
cm．
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．
六、预习小结
1、口述确定圆的条件和方法。

2、外心到三角形三个顶点距离相等是三角形外心的重要性质，常用其来求外接圆的半径、。

第12课时直线和圆的位置关系
一、学习目标
1.经探究直线和圆的位置关系；
2.会定量判定直线和圆的位置关系。

二、学习准备
点和圆的位置关系有三种，它们的性质和判定如下：
1、点在圆外
2、点在圆上
3、点在圆内
三、预习指导
1.阅读课本，按下列步骤进行学习。

【观察】观察图中的三幅照片，把地平线看成一条直线，把太阳看成圆，直线和圆“公共点个数”有何什么变化？有三个（或三个以上）的公共点吗？为什么？
【猜想】直线和圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准是什么？
【归纳】直线与圆有三种位置关系，它们是，，。

直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这时直线叫圆的割线；直线和圆有唯一公共点时，直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，这唯一的公共点叫切点；直线和圆没有公共点时，直线和圆相离。

2.按下步骤探索
【观察】分别过圆心作直线l的垂线，设距离为d，说出d与r大小关系？
图 1
【归纳】直线和圆的位置关系的判定和性质
（1）直线l和⊙O＜r
（2）直线l和⊙O＝r
（3）直线l和⊙O＞r
【小结】判断直线与圆的位置关系有两种角度。

一种是从直线与圆的公共点的个数来判定；
一种是用d与r的大小关系来判定。

3、典型例析——阅读、理解示范书写过程
【例1】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示，在Rt△ABC中，
5
=
根据三角形的面积公式有：CD·AB=AC·BC
∴CD=
34
2.4()
5
AC BC
cm AB
⋅⨯
==
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
（1）当r=2cm时，有d＞r,因此⊙O与AB相离（如图2）
（2）当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙O与AB相切（如图3）
（3）当r=3cm时，有d＜r,因此⊙O与AB相交（如图4）
四、预习检测
1、圆的半径是4cm,圆心到直线的距离是5cm,则直线与圆的位置关系是，直线与圆的公共点的个数有个。

2、已知点O到直线l的距离为4cm,若以O为圆心的圆与l相交，则该圆的半径r的取值范围是。

3、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为（1）4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm, 那么直线和圆有几个公共点？为什么？
4、如图5，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？（1）
r=2cm;(2)r=4cm;(3)r=2.5cm
五、拓展资料已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
若∠FDE=70°，
求∠A的度数．
六、预习小结
1.口述直线与圆相交、相切、相离、割线、切线及切点等概念。

2.口述直线与圆的位置关系的性质和判定。

3.用数量关系判定直线和圆的位置关系的方法——比较d（圆心到直线的距离）与r（圆的半径）的大小。

第13课时圆的切线的判定
一、学习目标：探索圆的切线的判定方法，并能运用
二、学习准备——复习直线与圆相切的判定方法
1、目前我们已学过直线与圆相切的两种判断方法，一是定义，直线和圆有且只有一个公共点，二是数量关系，圆心到直线的距离等于半径。

还有其他方法吗？
三、预习指导
按下列步骤探索：
如图1，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠a,
【操作】如图1，拿直尺当直线，让直尺绕着点A旋转
【观察】（1）随着∠a的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
（2）当∠a等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
【猜想】当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？
【结论】
【判定定理】经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线就是圆的切线。

【符号语言】如图1，∵AB是直径，A B⊥l
∴l是⊙O的切线
【例1】已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB（图）
求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OC
O
∵OA=OB,CA=CB
A C B
图
22
∴OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线 ∴AB ⊥OC
∴AB 是⊙O 的切线 四、预习检测
1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=450，AT=AB,求证：AT 是⊙O 的切线
【分析】AT 经过直径的一端，因此只要证AT ⊥AB 即可，而由已知条件可知AT=AB ，所以∠ABT=∠ATB ，又由∠ABT=450，所以∠A TB=450，再由三角形内角和可证∠TAB=900，即
AT ⊥AB 。

2、AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB,点C 在圆上，∠CAB=300， 求证：DC 是⊙O 的切线。

3、（1）AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE=∠B ，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？
（2）若AB 为非直径的弦，∠CAE=∠B ，你认为AE 与⊙O 还相切吗？为什么？
4、如图7，已知AB 平分∠EAF,O 是AB 上任意一点，OM ⊥AE 于M 点，以O 点为圆心，OM A O
B T 图O B C
F A
E 图
5 O B C F A
E
图6
H O
M
E
B
为半径作⊙O ，试说明AF 与⊙O 相切。

【小结】判断一条直线是圆的切线时必须同时满足两个条件：（1）经过半径的外端（2）垂直于这条半径（或半径所在的直线）。

一般题目都会告诉其中一条，只需证明另外一条即可。

五、拓展资料
在⊙O 中，弦AB 等于半径，延长半径OB 到C ，使BC=BO ，（1）试证明AC 是⊙O 的切线。

（2）在⊙O 上是否存在一点D ，使AD=AC ，如果不存在，请说明理由；如果存在，请画出图形，并证明你的结论。

六、预习小结
1、口述证明圆的切线的三种方法
2、圆的切线的判定定理的两个重要的条件及易错点。

第14课时 圆的切线的性质及其判定的综合运用
一、学习目标：1、探索切线与过切点的直径之间的关系；2、综合运用性质与判定解决实际问题。

二、学习准备
举出生活中直线与圆相切的实例。

三、预习指导
1、根据下列步骤进行学习
【观察】观察图1，它们都是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴。

【猜想】如图2，直线CD 与⊙O 相切于点A ，直径AB 与直线CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由。

【证明】小亮认为直径AB 垂直于CD ，他的理由如下：
O A C B 图8
l
O d l O d l
O d 图
1
在图（2）中，AB 与CD 要么垂直，要么不垂直，假设AB 与CD 不垂直，过点O 作一条直径垂直于CD ，垂足为M ，则O M ﹤OA,即圆心O 到直线CD 的距离小于⊙O 的半径，因此CD 与⊙O 相交，这与已知条件“直线CD 与⊙O 相切”相矛盾，所以AB 与CD 垂直。

你同意他的观点吗？这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论成立；第二步是由结论成立推出和已知条件或定理相矛盾；第三步是肯定假设错误，故结论成立。

【结论】圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

【符号语言】如图2，∵CD 是⊙O 的切线 ∴A B ⊥CD
例题：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D 。

求证：AC 平分∠DAB
【分析】CD 是⊙O 的切线，连结OC ，则OC ⊥CD ，连结圆心与切点是解决切线问题时常用的作辅助线方法之一。

证明：连结OC
∵CD 是⊙O 的切线
∴OC ⊥CD
∵A D ⊥CD
∴O C ∥AD
∴∠1=∠2 ∵OC=OA
∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AC 平分∠DAB 【经验】有切线时，常常“连结圆心与切点，得半径，得垂直” 四、预习检测
1、如图4，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD 。

求证：DC 是⊙O 的切线
【分析】要证DC 是⊙O 的切线，需证DC 垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD,利用平行关系推出∠3=∠4，又因为OD=OB ，OC 为公共边，因此△CDO ≌△CBO ，所以，∠ODC=∠OBC=900.
提示：若已知直线经过圆上的某一点，则“连半径，证垂直”。

【证明】：
2、如图5，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆相切于点E 。

求证：CD 与小圆相切。

【分析】因为已知条件没给出CD 与小圆有公共点，所以可过圆心O 作OF ⊥CD ，OE ，可知OE ⊥AB ，又AB 、CD 为大圆的弦，而且相等，而OE=OF 分别为两弦的弦心距，因此有OE=OF ，得证。

O D C B A
3 图3 1
2
图
O D C A B
4 2
3 1
【证明】：
五、拓展资料
如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长与BC 的延长线交于点F 。

（1） 求证：BD=BF
（2） 若BC=6,AD=4,求⊙O 的面积。

六、预习小结
若已知直线与圆的公共点没有确定时，则“作垂直，证距离等于半径” 归纳总结——添加辅助线的方法
解决切线问题时，常常需要添加辅助线： 1、当已知某直线是切线时，“连结圆心与切点，得半径，得垂直” 2、要证明某条直线是切线时；
（1）若已知直线经过圆上的某一点，则“连半径，证垂直”
（2）若已知直线与圆的公共点没有确定时，则“作垂直，证半径”
第15课时 弦切角
一、学习目标：1.能说出弦切角的概念 2.记住弦切角定理及推论，并会运用它们。

二、学习准备：复习相关定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对______的一半 如图1.111
____,____,____222
A ABC AC
B ∠=
∠∠=∠∠=∠ 2、切线的性质定理：圆的切线__________于经过切点的半径。

如图1.MN 与圆o 相切于B ，
AB 是圆O 的直径，则AB____MN 。

B A
F E
O D
C 图
5
三、预习指导
1、按下列步骤学习弦切角的概念
（1）圆周角CAB ∠，让射线AC 绕点A 旋转，产生无数个圆周角，当AC 绕点A 旋转到与圆相切时，得CAE ∠
（2）分析CAE ∠的特点：顶点在圆周上；一边与圆相交；另一边与圆相切。

（3）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

1、 按下列步骤学习弦切角的性质，完成探索过程。

a) 观察图3.P BAC ∠∠与的关系 (2)猜想_________________________
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

证明过程：已知，如图，AC 是⊙O 的弦，AB 是的切线，弧 AmC 是弦切角BAC ∠所夹的弧，P ∠是弧
AmC 所对的圆周角，求证：BAC P ∠=∠ 证明：分三种情况
.
90O BAC AC BAC AmC BAC ︒
︒∠∴∠=∴∠∴∠=∠ (1)圆心在的边上,如图3-1AB 是o 的切线又是半圆.P=90P
(2)(32),,,90o BAC o AQ CQ BAQ ACQ ︒∠-∠=∠= 圆心在的外部图作的直径连接
(3)∠圆心o 在BAC 的内部(图3-3)，综上，可知BAC ∠=∠P
5. DE o A,AB,
AB ,AC o AC DAB =∠ 如图4.切于点是的弦所对的弧,若那么与 EAC ∠是否相等?为什么?
推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

6、 5.,AB o ⊥ 已知如图是的切线切点为A,OB 交o 于点C,AD OB,
1∠=∠垂足为D,求证:2
2112
E OC AC
AC EC E ∠=∠⊥∴=∴∠=∠∴∠=∠ 证明:延长AD 交o 于E,连接CE.则 图5
四、预习检测
1、如图6,AB 是o 的弦,CD 是经过o 上一点M 的切线.求证:(1)AB//CD 时,AM=BM.(2)AM=BM 时,AB//CD.
图6
五、拓展资料
27,,,,,,:(1)(2)D AB BD o AF o E BC AF C DE BE BE ABC AE AD AB
⊥∠= 如图是线段上的点以为直径作切于于连接求证平分
图7
六、预习小结
1.能说出弦切角的概念 。

2.记住弦切角定理及推论，并会运用它们。

第16课时 三角形的内切
一、学习目标：会作三角形的内切 二、学习准备
利用直尺和圆规作一个角的角平分线OC 。

作法：（1）以O 为圆心，以任意长为半径，交角两边于A 、B 两点； （1） 分别以A 、B 两点为圆心，以大于1
2
AB 的长为半径画弧， 两弧交于C 点；
（2） 过C 点作和射线OC 。

三、预习指导
1. 阅读下面内容，思考下列问题：
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切。

分析：假设符合条件的圆已作出， 则它的圆心到三角形三边的距离相等， 因此，圆心在这个三角形三个角平分线上， 半径为圆心到三边的距离。

作图：（1）,,()A C BE CF I ∠∠作的平分线和交点为如上图右 （2）,I ID BC ⊥过点作垂足为D.
(3),.
I I I 以为圆心,以ID 为半径作就是所求的圆 思考：EB 和CF 只有一个交点I ，并且I 到三角形ABC 三边的距离相等，为什么？
2.由作图过程可知：三角形三个内角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等，以交点为圆心，到三边距离为半径作圆，并且只能作出一个，这个圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

实践操作——作内切圆，说出内心的位置
4、分别作出已知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的内切圆，并说出内心的位置。

总结：三角形内心的性质：（1）到三边距离相等（2）三角形内角平分线的交点（3）内心一定在三角形内部
:,,,..,70,.
ABC I BC CA AB D E F FED A ︒
∆∠=∠例题.已知在中内切圆和边分别相切于点若求的度数
四、预习检测
:,55,,.ABC A O BOC ︒∆∠=∠已知在中点是内心求的度数
五、拓展资料
2
:,,,:I ABC AI BC ABC E IE AE DE
∆∆= 已知点是的内心交边于点交外接圆于点求证
第17课时圆和圆的位置关系
一、学习目标：1、知道圆与圆之间的几种位置关系；2、探究两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系。

二、学习准备
1、2009年7月22日我国长江流域出现罕见的日全食天象，日甚持续时间超过6分钟，堪称21世纪中国人能看到的最壮观的天象之一。

由于它的最佳观测地点都集中在中国，所以它也被国际天文界誉为“中国的日全食”。

经历了“初亏、食既、食甚、生光、复圆”五个过程，你能回忆那精彩的全过程吗？ 观测探究——两圆的位置关系 三、预习指导
1、在一张透明纸上作一个⊙
1
O
，再在另一张透明纸上作一个与⊙
1
O
半径不等的⊙
2
O
，
按下列步骤探究。

操作： 模拟“日食”过程，在纸上贴出你发现的不同位置关系
观察：结合①公共点的个数，②一个圆上的点在另一个圆的位置关系，说出五种位置关系中各自有什么特点。

分类：
⑴外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
⑵外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
⑶相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
⑷内切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⑸内含：两个圆没有公共点，一个圆上的点都在另一个圆的内部；
思考：如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？ 结论：如果只从公共点的个数来考虑，分三种：相离、相切、相交。

⎧⎨
⎩
外离（1）相离内含 ⎧⎨⎩外切
（2）相切内切 （3）相交 2、按下列步骤探究“两圆位置关系和判定”
观察：五种位置关系与两圆的半径、圆心距（圆心与圆心之间的距离）之间的数量关系。

猜想：两圆位置关系与哪些量有关？圆心距d ，两圆半径R 、r （R ﹥r ） 结论：两圆位置关系的性质与判定 ① 外离⇔d ﹥R+r ② 外切⇔d=R+r
③ 相交⇔R-r ﹤d ﹤R+r ④ 内切⇔d=R-r
⑤ 内含 d ﹤R-r 经验：判定两圆的位置关系有两种方法：一种是看公共点的个数和一个圆上的点与另一个圆的位置关系；一种是看两圆半径与圆心距的关系。

例题：例1已知：⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 外一点，op=8cm ，求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少？（2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少？ 解：（1）设⊙O 与⊙P 外切于点A ，则PA=OP-OA ∴PA=3cm
（2）设⊙O 与⊙P 内切于点B ，则PB=OP+OB ∴PB=13cm
四、预习检测 1、⊙1O 和⊙2
O
的半径分别为3cm 和4cm ，设（1）
1
0=8cm ；（2）1
0=7cm ；（3）1
02
O
=5cm ；
（4）
1
02
O
=1cm ；（5）
1
02
O
=0.5cm ；（6）
1
0和2
O
重合；⊙
1
0和⊙2
O
的位置关系
怎样？
2、两个圆的半径分别为3cm 和5cm ，且两圆的圆心距为8cm ，求这两个圆的位置关系。

3、已知两圆内切，一个圆的半径为3 ，圆心距为2，求另一圆的半径。

五、拓展资料
1、已知两圆半径分别为R 和r （R ﹥r ），圆心距为d ，且d ²+R ²-r ²=2dr ，求两圆的位置关系。

2、已知半径为1、2、3的三个圆两两外切，求以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状。

六、预习小结
知识点：①两圆位置关系的定义；②两圆位置与两圆半径及圆心距之间的数量关系。

1、 题型：①判断两圆的位置关系；②讨论半径、圆心距之间的关系。

2、 解题规律：①抓住定义；②熟记数量关系、结合图形理解。

第18课时圆和圆的位置关系
一、学习目标：会用两圆的性质定理解决问题 二、学习准备：口述两圆位置关系的性质及判定。

三、预习指导
1、猜想：如图，⊙1O 和⊙2O 外切，这个图是轴对称图形吗？如 果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙
1
O
和⊙
2
O
内切呢？
结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，它们都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线。

猜想：相交两圆的连心线与公共弦之间有什么关系？ 证明：设⊙
1
O
和⊙
2
O
相交于点A 、B ，因为⊙
1
O
和⊙
2
O
组成的图形是以
1
O 2
O
为
轴的对称图形，所以交点A 、B 关于直线
1
O 2
O
对称，由此可知：
1
O 2
O
垂直平分AB 。

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

例1两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示（点O ，O ´是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP 、NP 分别为两圆的切线，求（1）∠TPN 的大小。

（2）∠OPQ 的大小。

（3）已知圆的半径为2，求PQ
分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O ´P=OO ´，又TP 、NP 分别为两圆的切线，所以P T ⊥OP ，P N ⊥O ´P ，即∠OPT =∠O ´PN=90°，所以∠TPN 等于360°减去∠OPT+∠O ´PN+∠OPO ´即可。

解：（1）∵OP=OO ´=PO ´
∴△POO ´是一个等边三角形。

（2） （3）
∴△∠OPO´=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线
∴∠TPO=∠NPO´=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
四、预习检测
O、⊙2O的半径为R，求⊙3O的半1、已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙
1
径。

O的半径为r，则分析：根据两圆相外切圆心距的长为两圆半径之和，如果设⊙
3
O3O=2O3O=R+r，连接O3O就有O3O⊥1O2O，所以O2O3O构成了直角三1
角形，
利用勾股定理可求得。

2、已知：AB是⊙O的弦，以A为圆心的圆交⊙O于C、D，交AB于E，CD交AB于F。

求证：AE²=AF·AB（提示：连接AC、AD、BD）
O和⊙2O相交于点B和C，A是⊙1O上另一点，AT
3、如图，已知：⊙
1
O的切线，又直线AB和AC分别交⊙2O于点D和E。

是⊙
求证：AT∥DE。

五、拓展资料
O和⊙2O相交于点C和D，2O1O的延长线和⊙1O相交于点A，AC、如图，已知：⊙
1
O相交于点E、F。

求证：CE=DF
2
六、预习小结
1、口述两圆的对称轴
2、区别连心线、圆心距之间的关系
3、连心线、公共弦之间的关系
4、两圆相交常见的辅助线作法：
①连接切点与圆心构造直角三角形；②在解决两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，这是常见思路；③在解决有关两圆相切的问题时，常常要借助它们的公切线，所以过切点作两圆的公切线是常见一种作辅助线的方法。

第19课时两圆的公切线
一、学习目标：1、了解两圆内、外共切线的概念；2、了解共切线长的概念和性质；3、运用梯形辅助线，会计算两圆内、外共切线的长
二、学习准备
机械中皮带传动就是两圆公切线的模型之一。

请大家回顾本章第14课有关切线的性质及作法。

三、预习指导
1、和两圆都相切的直线叫做两圆的公切线；两圆在公切线的同侧时，这样的公切线叫
外公切线；两圆的公切线在异侧时，这样的公切线叫内公切线；一条公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。

公切线的性质：（1）根据圆的对称性，两条外公切线长相等。

（2）根据圆的对称性，两条内公切线长相等。

3、[例1]已知：⊙o 1和 ⊙o 2的半径分别为R 和r （R>r ），⊙o 1和 ⊙
o 2的圆心距O 1O 2=d ，AB 是两圆的外公切线，A 、B 是切点。

求外公切线的长。

解：∵AB 是⊙O 1、⊙O 2公切线
∴O 1A ⊥ AB O 2B ⊥ AB ∵O 2C ⊥ O 1
A ∴矩形O 2BAC ∴AB=O 2C ，AC=BO 2 在
Rt
ΔO 1O 2C 中 O 1O 2=d
O 1C=O 1A-AC=R- r
∴AB=O 24、请在3的条件下求两圆的内公切线的长。

结论：AB 外公切线长AB 内公切线长
四、预习检测
1、已知：⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2cm 和7cm ，圆心距O 1O 2=13cm ，AB 是⊙O 1、⊙O 2的外公切线，切点分别是A 、B ，求公切线长AB 。

2、⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4cm 和2cm ，圆心距为10cm ，AB 是⊙O 1、⊙O 2的内公切线，切点分别是A 、B ，求内公切线长AB 。

五、拓展资料
⊙o 1和 ⊙o 2外切于点A ，BC 是⊙o 1和 ⊙o 2的外公切线，B 、C 为切点，求证：AB ⊥ AC 。

六、预习小结
1、 请说出两圆在不同位置时的公切线条数。

2、 求公切线主要是由什么定理完成？
3、求两圆外公切线实际上是在知道直角梯形三边的前提下求第四边,方法是梯形一种常见辅助线.
第20课时 弧长及扇形的面积
一、学习目标：1、经历探索弧长计算公式的过程；2、记住弧长及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

二、学习准备----圆的 周长、面积及弧长、扇形概念
1、若圆的半径为r ，则圆的周长公式为;C= ;圆的面积公式为：S= 。

三、预习指导
1、 扇形的概念： 。

2、弧长计算公式：
360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR ，1°的圆心角所对的弧长是
O
R
360
2π即0
180R
π,故n °的圆心角所对的弧长I: l=
180
R
n π [例1]弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道展直长度L （单位：mm,精确到1mm ）
解：由弧长公式，得：
L =
180900100π
⨯⨯=500π≈1570(mm)
所要求的展直长度L=2⨯700+1570=2970(mm)
答：管道的展直长度约为2970mm. 3、扇形的面积计算公式：
360°的扇形面积就是圆面积S=π2
R ,所以圆心角是1°的扇形面积就是0
2
360
R π,故n °的扇
形面积计算公式：S 扇形=
lR R n R n 2118021360
2
0=∙=ππ 【例2】已知：正ABC ∆边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以
2
a
为半径的圆相切于 O 1、O 2、O 3,求弧长21O O 、O 2O 3、O 3O 1围成的图形面积S （图中阴影部分）
【分析】由于阴影是不规则图形，所以它的面积的计算问题要转化成规则图形的面积计算问题来解决。

解：S=S ABC ∆-3S 扇形O 1O 2 ∵S ABC ∆
=
212a = ∴S 扇形AO1O3
=22
22260()2360
24324a a S a ο
πππ⋅=∴=
-=
【注意】把一个问题转化为一个或几个已经有解决方法的问题，是一种重要的数学思想
方法。

四、预习检测
（1）已知扇形的圆心角为60°，半径为5，求扇形的周长。

(2)若弧长为12πcm ，圆心角为54°。

求这条弧的半径。

（3若一条弧长等于半径，过这条弧所对的圆心角的度数。

（4）一条弧所对的圆心角为90°，半径为R 。

求这条弧长。

五、拓展资料
如右图，扇形纸扇完全打开后，外侧两个竹条AB,AC夹角为120°，AB长为30cm贴纸部分
BD的长为20cm，求贴纸部分的面积。

六、预习小结
1、知识点：（1）弧长公式；（2）扇形面积计算。

2、题型：（1）弧长计算；（2）扇形面积计算；（3）弓形面积计算。

3、解题规律：（1）按弧长公式计算；（2）按扇形面积公式计算；（3）的先分清弧长、扇形、
弓形的类别，再计算。

资源连接-----常见弓形面积的几种情况
弓形面积公式：
（1）当弓形AmB的面积小于半圆面积时：S弓形=S扇形-SΔOAB
（2）当弓形AmB大于半圆面积时：S弓形=S扇形+SΔOAB
（3）当弓形AmB等于半:S弓形=1
2
S圆
第21课时圆柱及圆锥的侧面积
一、学习目标：1、经历探索圆锥、圆柱侧面积计算公式的过程；2、了解圆锥、圆柱的
侧面积计算公式，并会运用公式解决问题。

二、学习准备------------复习及了解圆柱、圆锥的相关是概念、性质
1、圆柱的侧面展开图；圆锥的侧面展开图是。

三、预习指导
1、阅读教材，了解圆柱、圆锥的高、母
线。

圆柱及圆锥的侧面积
如图（1）圆柱、圆锥的侧面展开图：。