随机过程与排队论12

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1 (1 ) 1 1
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结论(续1)
等待队长的分布 2 p p 1 , j 0 0 1 P{Nq j} j 1 p (1 ) , j1 j 1 平均等待队长
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ 2016年5月18日星期三
上一讲内容回顾
生灭过程 排队论简介
• • • • 排队的概念 基本的排队系统 排队系统的基本组成 经典排队系统的符号表示方法
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此生灭过程的绝对分布pj(t)＝P{N(t)=j}，j=0,1,2,…的福克 －普朗克方程组为 p'0 (t ) 0p 0 (t ) 1p1 (t ) p' j (t ) ( j j )p j (t ) j1p j1 (t ) j1p j1 (t ), j 1
示单位时间内实际进入系统的平均顾客数。
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Little公式的直观解释
在系统达到统计平衡下，可虑一个刚开始接受 服务的顾客，在他后面排队等待服务的平均顾客 数等于在他的平均等待时间内实际进入系统的平 均顾客数，即 Nq e Wq ；又考虑一个刚服务结 束的顾客，在他离开系统时留在系统中的平均顾 客数等于在他的平均逗留时间内实际进入系统的 平均顾客数，即 N W。 显然，M/M/1/排队系统中，Little公式是成立 的，且e等于泊松过程的参数。
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逗留时间
由于顾客的逗留时间等于等待时间加上服务时间，即 W＝Wq＋ 且Wq与相互独立，于是
W(t ) P{W t} P{Wq t x}dP{ x}
0
t
[1 e(1)( t x ) ] exdx (1 ) et
数为(>0)的负指数分布G(t)＝1-e-t，t0；
系统中只有一个服务台；
容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此
独立。
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2.队长
假定N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，包括正在被服 务的顾客数，即N(t)表示时刻t系统的队长，t0，且令 pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则 1)pi,i+1(t)＝P{在t内到达一个而服务未完成} ＋ P {在t内到达j个而服务完j-1个} ＝P{1t，1>t} ＋
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pj＝(1-) ，j=0,1,2,…
k
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结论
在统计平衡的条件下(<1)：
平均队长
N E(N) jp j j(1 ) j
j 0



j 0
(1 ) j
j 0
j 1
j (1 ) j 0

0 1 j 1
indensity)。
1
当 0 1 2 j , 0 1 2 时 构成一个几何概率分布。 k 1 , k 0,1,2,
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队长(续3)
1 令＝ ，则称 为系统的交通强度(Traffic j j 1 1 2 0 1 j 1 1 1 有如下结论： 0 j j 1 1 2 j p j ( t ) ，j=0,1,2,… 令pj＝ lim 1 ，则 t 0 1 j 1 不构成概率分布； 0 1 1) 当 1 时， p ＝ 0 ， j=0,1,2,… j j 1 1 2 j 2)当<1 {p j=0,1,2,…} 存在，与初始条件无 0时， 1 k 1 j， k 1 k 0 k 1 , k 1,2,3, 1 2 k k 关，且
0
t
1 e ( )t , t 0 平均逗留时间
1 1 W Wq E[] , 1 (1 )
逗留时间的方差
(2 ) 1 1 D[W] D[Wq ] D[] 2 2 , 1 2 2 ( ) ( )
在等待条件下的平均等待队长
E(Nq | Nq 1) j(1 )
j 1 j1
=pj-1
1-P{Nq=0} =1-(1- 2) = 2
1 , 1 1
根据队长分布意知： p0=1－也是系统空闲的概率，而正是系 统繁忙的概率。显然，越大，系统就越繁忙。
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Nq jp j1 j(1 ) j1
j 0 2 j 0
(1 ) j
j 0


j1
(1 )
2 j 0
'


j
'
2 1 2 (1 ) j 2 (1 ) 1 1 j 0
2 (1 ) 4
1
2
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结论(续4)
在等待条件下的等待队长分布
P{Nq j | Nq 1} P{Nq j, Nq 1} P{Nq 1} P{Nq j} P{Nq 1}
(1 ) j1 j1 ( 1 ) , 1, j 1 2
3.等待时间与逗留时间
1. 假定顾客是先到先服务。
定理 在统计平衡(<1)下，顾客的等待时间分布函数 Wq(t)＝P{Wqt}为 Wq(t)＝1－e-(1-)t，t0 平均等待时间为
Wq E( Wq ) , 1 (1 )
等待时间的方差为
D[ Wq ] ( 2 ) , 1 2 2 ( )
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结论(续3)
等待队长的方差
D(Nq ) E(Nq ) E (Nq ) j p j1 Nq
2 2 2 j1


2
j (1 )
2 j 1
j 1
1
2
2

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j 1 j 1
1+…+j+1t<1+…+j+2} i＝1,2,3,…
＝(1-e-t)e-t＋o(t) ＝t＋o(t)
3) 类似分析可得
pij(t)＝o(t)， |i-j|2
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队长(续2)
综合上述1)2)3)得
t o( t ) j i 1, i 0 p ij ( t ) t o( t ) j i 1, i 1 o( t ) | i j | 2
{N(t)，t0}是可列无限状态E＝{0,1,2,…}上的生灭过程， 其参数为
i , i 0 i , i 1
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证明
1)当t=0时，有 Wq(0)＝P{Wq=0}＝P{顾客到达时看到的队长为0}＝p02)当t>0时，有
Wq(t)＝P{Wq=0}＋P{0<Wqt}
＝p0
-＋ {0<W t ｜顾客到达时看到的队长为 j} • p P q j
j 1
j 2
P {1+…+jt<1+…+j+1，
j 2

1+…+j-1t<1+…+j}
＝(1-e-t)e-t＋o(t)
＝t＋o(t)
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i＝0,1,2,…
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队长(续1)
2) pi,i-1(t)＝P{在t内未到达而服务完成一个} ＋ P {在t内到达j个而服务完j+1个} ＝P{1>t，1t} ＋ P{1+…+jt<1+…+j+1，
0
t
1 e(1 )t ,
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t0
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证明(续)
平均等待时间
Wq
0
tdWq (t) 0 (1 ) t (1 )e(1 )tdt
0

(1 )
等待时间的方差
'
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队长的方差
2 2
结论(续2)
2 2 j 0
2
D(N) E(N ) E (N) j p j N
j (1 ) 1 j 0
2 j
(1 ) ((
其中，pj-表示顾客到达时看到有j个顾客的平稳概率。
对于M/M/1/排队系统，有 pj-＝pj，j=0,1,2,…
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证明
于是
j1 ( x ) x { e dx } p Wq(t)＝p0 + 0 j ( j 1 )! j1 t