黑龙江高三高中数学月考试卷带答案解析

黑龙江高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设，，则=（）
A．B．C．D．
2.直线和直线平行，则（）
A．B．C．7或1D．
3.数列{}定义如下：=1，当时，，若，则的值等于( )
A．7B．8C．9D．10
4.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
5.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
6.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A．B．C．D．
7.已知实数满足，则的最小值是（）
A．B．C．D．
8.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
9.已知椭圆，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
10.已知函数的图象向右平移个单位后关于对称，当时，
＜0恒成立，设，，，则的大小关系为（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
11.已知为的导函数，则的图像是（）
12.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知为虚数单位，若(R),则 .
2.已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为 .
3.设是椭圆的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为 .
4.已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.
三、解答题
1.正项数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
2.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),直线：，设圆的半径为1，圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点A作圆的切线,求切线的方程；
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
3.设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，
且．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若的图象经过点，求函数在上的值域．
4.已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.
5.已知函数.
（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小.
黑龙江高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.设，，则=（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合表示函数的定义域，故，所以，又
，故，选B.
【考点】对数函数定义域、集合的运算.
2.直线和直线平行，则（）
A．B．C．7或1D．
【答案】B
【解析】根据题意有，解得，选B.
【考点】直线与直线平行.
3.数列{}定义如下：=1，当时，，若，则的值等于( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】因为，所以
，所以，选C.
【考点】数列、分段函数.
4.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体为一半径为的球体上架一底面圆半径为，母线长为的圆锥，故圆锥的高，所以该几何体的体积，选A.
【考点】几何体的三视图、简单组合体的体积.
5.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设此圆的圆心坐标为，则圆的半径，当且仅当
时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为
，选A.
【考点】圆的方程、基本不等式.
6.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得，又因为，所以，故
，设BC边上的高为，则，，选B.【考点】正弦定理、三角形面积公式.
7.已知实数满足，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将化为，，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小
即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为
，选A.
【考点】直线和圆的位置关系、点到线的距离公式.
8.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值
范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为实数互不相等，设，根据函数图象知，当时，，而，所以，选D.
【考点】分段函数图象、二次函数性质.
9.已知椭圆，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两
条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,所以，故，选B.
【考点】椭圆的离心率、勾股定理.
10.已知函数的图象向右平移个单位后关于对称，当时，
＜0恒成立，设，，，则的大小关系为（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】由题意知的图像关于对称，又时，＜0恒成立，表明函数在单调递减，所以，而，所以，即，选D.
【考点】函数对称性、函数单调性、利用函数单调性解不等式.
11.已知为的导函数，则的图像是（）
【答案】A
【解析】因为，所以，因为，令得，，说明在图象递减，根据选项只能选A.
【考点】利用导数研究函数图像.
12.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，当时，，随的增大而增大，因为有个零点，所以，相应的的取值范围是，所以的取值范围是
.
【考点】函数及不等式性质.
二、填空题
1.已知为虚数单位，若(R),则 .
【答案】
【解析】由得，，所以.
【考点】复数相等、复数的运算.
2.已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为 .
【答案】 【解析】由
得，
，解得.
【考点】等比数列前项和公式. 3.设
是椭圆
的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因
，故
所以
.
【考点】椭圆参数方程、平面向量数量积.
4.已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C 都在半径为的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距
离为____________. 【答案】
【解析】因为正三棱锥ABC,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以我们可以把正三棱锥ABC,放到正方体中，P 、A 、B 、C 为正方体的顶点，则正三棱锥ABC 的外接球的球心为正方体体对角线的交点，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，面A 1BD 和面CB 1D 1把体对角线三等分，所以球心到截面ABC 的距离为.
【考点】正三棱锥的结构特征、几何体的外接球的有关问题.
三、解答题
1.正项数列满足：.
（1）求数列的通项公式
；
（2）令，求数列的前项和
. 【答案】（1）；（2）
.
【解析】（1）将
分解因式，根据条件解答；（2）由（1）将
代入求出
，裂项求和.
试题解析：（1）由已知可得：
,
（2）
所以
【考点】数列通项公式的求法、裂项求和.
2.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),直线：
，设圆的半径为1，圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点A 作圆
的切线,求切线的方程； (2)若圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标的取值范围.
【答案】（1）切线方程为和；（2）.
【解析】（1）先联立直线方程求出圆心坐标，写出圆的方程，设出直线方程，利用圆心到此直线距离为半径求解；（2）设出点坐标，利用可得，在上，又在圆上，利用两圆相交建立关
系求解.
试题解析：（1）联立和可得圆心（3，2），又因为半径为1，
所以圆的方程为
设过点A的切线方程为：
圆心到直线的距离为
所以或
所求切线方程为和.
（2）设点，因为
所以
又因为点在圆上，
所以圆与圆相交，
设点，两圆圆心距满足：，所以.
【考点】直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系、点到线的距离公式.
3.设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，且．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若的图象经过点，求函数在上的值域．
【答案】(1)最小正周期是； (2) [－1－，2－].
【解析】(1) 利用倍角公式将函数化为一角一函数形式，根据正弦函数的图象和性质求解；(2)求出，将函数具体化，然后利用正弦函数的特征解答.
试题解析：(1)因为＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin (2ωx－)＋λ，
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin (2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin (×－)＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin (x－)－，
函数f(x)的值域为[－1－，2－]．
【考点】倍角公式、正弦函数的图象和性质、函数值域.
4.已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为. （1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）圆的圆心已知，可求出椭圆方程中的，又椭圆离心率知道根据可得，故可求出椭圆方程；（2）设出两点坐标，联立椭圆方程，用弦长公式将表示成的函数，再将表示成的函数，根据和基本不等式求解.
试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c,因为
所以椭圆的方程为。

（2）设，
联立方程得
所以
则
又点到直线的距离，则
显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是y轴,与已知矛盾，所以要使,只要，所以
当时，.
当时，3，
又显然，所以。

综上，圆的半径的取值范围是.
【考点】椭圆和直线综合、点到直线的距离公式、弦长公式、基本不等式.
5.已知函数.
（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小.
【答案】（1）；(2) ；（3）.
【解析】（1）先利用求出，然后在不等式中分离参数，构造函数求的范围；(2) 要使在定义域上是单调函数，则其导数应在定义域上恒正或恒负，利用，求出的最值，将在此处断开讨论，求
出范围；（3）由（1）知在上单调递减，所以时，即
，而时，，故可得证.
试题解析：（1）因为，所以，，由
1分
令，可得在上递减，
在上递增，所以，即 4分
(2)若，，令
当，当，所以时取得极小值即最小值
而当时，必有根，必有极值，在定义域上不单调. 所以 8分
（3）由（1）知在上单调递减
所以时，即 10分
而时，，所以
所以 12分
【考点】利用导数求函数最值、利用函数单调性证明不等式、利用导数判断函数增减性.。