武汉市九年级数学下册第二单元《相似》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且
////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）
A ．1:2:3
B ．1:2:4
C ．1:3:5
D ．2:3:4
2．下列各组线段的长度成比例的是（ ） A ．2cm ，4cm ，6cm ，8cm B ．10cm ，20cm ，30cm ，40cm C ．2.2cm ，3.3cm ，5cm ，8cm
D ．20cm ，30cm ，60cm ，40cm
3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）
A ．∠BAC ＝∠ADC
B ．∠B ＝∠ACD
C ．AC 2＝A
D •BC
D ．
DC AB
AC BC
= 4．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若
10BE CG +=，
3
2
AG BE =，则AF 的长为（ ）
A ．1
B ．
43
C ．
95
D ．2
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，
4CF =，则点E 的坐标是（ ）
A ．()8,4-
B ．()10,3-
C ．()10,4-
D ．()8,3-
6．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC
的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7．如图，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，点D 、E 在AB 边上，
45DCE ∠=，若3,4AD BE ==，则
ABC ∣的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．32
D ．36
8．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16
9．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示
AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形
ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）
A ．
51
2
- B ．
51
2
+ C ．
35
2
D ．
35
2
+ 11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）
A ．
AD AC
AC AB
= B ．
AD CD
CD BD
= C ．
DE CD
CD DG
= D ．
EG BD
EF BG
= 12．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）
A ．ADC AC
B ∠=∠ B ．AB
C AC
D ∠=∠ C ．
AD AC
AC AB
= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅
二、填空题
13．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．
14．如图，在ABC 中，//DE BC ，若9AB =，8AC =，3AD =，则EC 的长是______．
15．如图，直线////a b c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若
2AB =，3BC =，3DE =，则EF =_______．
16．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为
AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是
_____________．
17．如图，小思作出了边长为1的第1个等边三角形111A B C △，然后分别取111A B C △三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个等边三角形222A B C △，用同样的方法作出了第3等边三角形333A B C △．
（1）111A B C △与222A B C △的面积比为______．
（2）依此方法作下去，可得第n 次作出的等边三角形n n n A B C 的面积是______． 18．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，则⊙O 半径是________．
19．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结
论：①AF ⊥BG ；②BN 43=
NF ；③
38
BM MG =；④S 四边形CGNF 1
2=S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是___________．
20．若2a c e
b d f
==
=，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-
+，当Q 为BF 中点时，53
y =．
（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由： （2）求DE ，BF 的长； （3）若30AED ∠=︒
①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；
②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值． 22．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点()0,0O ，()1,3A -，()4,0B ，连接OA ，OB ，AB ．
（1）若将OAB 向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到111O A B △，点
O ，A ，B 的对应点分别为1O ，1A ，1B ，画出111O A B △并写出顶点1A 的坐标；
（2）画出22OA B △，使22OA B △与OAB 关于原点对称，点A ，B 的对应点分别为2A ，2B ；
（3）以点O 为位似中心，在给定的网格中将OAB 放大2倍得到33OA B ，点A ，B 的对应点分别为3A ，3B ，画出33OA B 并直接写出33A B 的长度．
23．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．
（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长； （2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅． 24．如图1，点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数()0m
y x x
=
>的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过点B 作BD y ⊥轴于D ．
（1）求m 的值和直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点
Q 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC 向C 点运动，当动点P 运动到点
D 时，点Q 也停止运动，设运动的时间为t 秒．如图2，当点P 运动时，如果作OPQ
△关于直线PQ 的对称图形'O PQ △，是否存在某时刻t ，使得点'O 恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求'O 的坐标和t 的值﹔若不存在，请说明理由．
25．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD 为边画一个三角形，使它与ABC 相似． （2）在图②中画一个三角形，使它与ABC 相似（不全等）．
（3）在图③中的线段AB 上画一个点P ，使
2
3
AP PB =． 26．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）在互补四边形ABCD 中，A ∠与C ∠是一组对角，若::2:3:4,B C D ∠∠∠=则
A ∠= °
（2）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB BC 上，且,BE BC AB BD ⋅=⋅求证：四
边形ADEC 是互补四边形．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意易得ADF
AEG
ABC ，则有
13AD AB =，23
AE AB =．进而可求得119
ABC S S =
，213
ABC S S =，359
ABC
S S =
，最后即可求出结果．
【详解】 ∵DF ∥EG ∥BC ， ∴
ADF AEG ABC ，
∵D 、E 是AB 的三等分点， ∴
13AD AB =，23
AE AB =， ∴119
ABC S S =
，49
AEG
ABC
S
S =
．
∵21411993AEG ABC
ABC
ABC
S S S S S S =-=
-=，
3459
9
ABC AEG
ABC
ABC ABC
S S S
S
S S =-=-=．
∴123115::::1:3:5939
ABC
ABC
ABC
S S S S S S ==．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、2×8≠4×6，故本选项错误；
B、10×40≠20×30，故选项错误；
C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误；
D、20×60=30×40，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3．D
解析：D
【分析】
利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】
解：
A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为AC AD
BC AC
=，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当DC AB
AC BC
=时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【第讲】
本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，进而可表示出相关线段长，再根据CH＝
1 2CG列出方程求得x＝1，最后再根据GAF GDE
△∽△可得
AF AG
DE DG
=，进而可求得
AF的长．
【详解】
解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H，
设BE ＝2x ，
∵10BE CG +=，3
2
AG BE =， ∴CG ＝10－2x ，AG ＝3x ， ∴AC ＝CG －AG ＝10－5x ，
∵
ABC 和CDE △都是等边三角形，
∴BC ＝AC ＝10－5x ，CD ＝DE ＝CE ＝BC －BE ＝10－7x ，∠ABC ＝∠DEC ＝∠C ＝60°， ∵GB ＝GE ，GH ⊥BE ， ∴BH ＝HE ＝x ， ∴CH ＝CE ＋HE ＝10－6x ， ∵∠GHC ＝90°，∠C ＝60°， ∴∠HGC ＝30°， ∴CH ＝
1
2
CG ， ∴10－6x ＝
1
2
（10－2x ）， 解得：x ＝1，
∴AG ＝3x ＝3，CG ＝10－2x ＝8，CD ＝DE ＝10－7x ＝3， ∴GD ＝CG －CD ＝5， ∵∠ABC ＝∠DEC ， ∴AB//DE ，
∴
GAF GDE ∽， ∴AF AG
DE DG =， 即3
35
AF =， 解得9
5
AF =，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE ＝2x ，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据题意可求得CE 、OF 的长度，根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCO 是矩形
∴90ECF FOA B ∠=∠=∠=︒
∵将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A
∴90AFE B ∠=∠=︒
∴90CEF CFE OFA CFE ∠+∠=∠+∠=︒
∴CEF OFA ∠=∠
∴Rt ECF Rt FOA ∽
根据题意可设CE x =，则8BE x =-，则8BE x =-
∵4CF =
∴在Rt ECF △中，()2
2248x x +=- ∴3x =
根据题意可设OF y =
∵Rt ECF Rt FOA ∽ ∴
CE CF OF OA
= ∴348y = ∴6y =
∴6OF =
∴10CO CF OF =+=
∴点E 的坐标为()10,3-．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．
6．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质得出∠E=∠B ，∠D=∠C ，根据相似三角形的判定定理得出
△EAD ∽△BCA ，根据相似三角形的性质求出即可
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴∠E=∠B ，∠D=∠C ，
∴△EAD ∽△CAB ，
∴AC ：AD=BC ：DE ，
∵AD =5，AC =10，DE =6，
∴10：5=BC ：6．
∴BC=12．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD ∽△BAC 是解此题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
设DE x =，则7AB x =+，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x 的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．
【详解】
设DE x =，则7AB x =+，
45DCE CAE DBC ∠=∠=∠=︒，
ACE CDE BDC ∴△△△．
设,CD a CE b ==，
则有以下等式：()::3x b b x =+，()::4x a a x =+，::x a b AC =，
整理得()()22
3,4,b x x a x x x AC ab =+=+⋅=， ()()()2
2222227342
x x x x x a b x AC +++===， 解得5x =，
12AB ∴=，
AC BC ∴==
1
362
ABC S ∴=⨯=△， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相
似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∵∠AEF=∠DEA ，
∴△AEF ∽△DEA ， ∴
AE EF DE AE
=， ∴EF•ED=AE 2，
∵AE=4， ∴EF•ED 的值为16，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到51AE AB 和BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例．
【详解】
解：设正方形ABCD 的边长为a ，
∵点E 是AB 上的黄金分割点，
∴512
AE AB ，则12AE a =，
∴BE AE =，则2BE a ==⎝⎭
，
∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭，
2232S BE BC a =⋅=，
∴)
2222333222S a a a a -=-
-=，
∴)
2232:2S S a a =
=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 11．D
解析：D
【分析】 通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG
=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD
，即可求解． 【详解】
解：∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，
∴∠BCD +∠ABC ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCD ＝90°，
∴∠ACD ＝∠ABC ，
又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，
∴△ACD ∽△ABC ，
∴AD AC AC AB
=， 故A 选项不合题意；
∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，
∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD
= 故B 选项不合题意；
∵AF ⊥BG ，
∴∠AFB ＝90°，
∴∠FAB +∠GBA ＝90°，
∵∠GDB ＝90°，
∴∠G +∠GBA ＝90°，
∴∠G ＝∠FAB ，
又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，
∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD
， ∴AD •BD ＝DE •DG ，
∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD
， ∴CD 2＝AD •BD ，
∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG
=， 故C 选项不合题意；
∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，
∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD
故D 选项符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．
12．D
解析：D
【分析】
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【详解】
∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．
故选：D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
二、填空题
13．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG
解析：1：2
【分析】
设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．
【详解】
解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，
∵DE 为三角形ABE 的中位线，
∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14
， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=
-=- ⎪⎝⎭， ∴ 1184
x y =-，所以有： 141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴1112126
EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．
【点睛】
本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．
14．【分析】先根据相似三角形的判定与性质可得从而可得AE 的长再根据线段的和差即可得【详解】解得则故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键 解析：163
【分析】 先根据相似三角形的判定与性质可得
AD AE AB AC =，从而可得AE 的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】
//DE BC ，
ADE
ABC ∴， AD AE AB AC
∴=， 9AB =，8AC =，3AD =，
398
AE ∴=， 解得83
AE =， 则816833
EC AC AE =-=-=， 故答案为：163
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 15．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF 的长
【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 解析：92
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到
AB DE BC EF =，然后根据比例的性质求EF 的长． 【详解】
解：∵直线a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF
=，即23=3EF ， ∴EF=92
． 故答案为：
92． 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 16．（）cm 【分析】利用黄金分割的定义计算出AP 【详解】为的黄金分割点故答案为：（）cm 【点睛】此题考查黄金分割的定义黄金分割物体的较大部分等于与整体的
解析：（4）cm
【分析】
利用黄金分割的定义计算出AP .
【详解】 P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，
()11
8422
AP AB cm ∴==⨯=
故答案为：（4）cm.
【点睛】
. 17．4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A2B2∥A1B1A2B2=A1B1=可证△C2B2A2∽△C1A1B1由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△AnBnCn 的边长为由等
解析：4：1； 【分析】
（1）由三角形中位线定理可得A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=
12A 1B 1=12
，可证△C 2B 2A 2∽△C 1A 1B 1，由相似三角形的性质可求解； （2）由三角形的中位线定理可求△A n B n C n 的边长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由等边三角形的性质可求
解．
【详解】
（1）∵A 2，B 2，C 2分别是等边三角形三边B 1C 1，C 1A 1，A 1 B 1的中点，
∴A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=
12A 1B 1=12，△C 2B 2A 2也是等边三角形， ∴
222C B A ∽△111C A B ， ∴222
11114
C B A C A B S
S =， ∴△111C A B 与222C B A 的面积比为=4：1； 故答案为：4：1；
（2）由题意得，△A 2B 2C 2的边长为12
， △A 3B 3C 3的边长为2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭， △A 4B 4C 4的边长为312⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ，
∴△A n B n C n 的边长为112n
-⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∵边长是1的等边三角形的面积
=， ∴等边三角形△A
n B n C n 的面积2121422n n -⎡⎤⎛⎫==⎢
⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，根据规律求出第n 个等边三角形的边长是解题的关键．
18．【分析】连接EO 根据切线性质定理得OE ⊥AB 可得到△BEO ∽△BCA 根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O 分别与边ABAC 切于EC 连接OE 则OE ⊥ABBC ⊥AC ∴∠BEO=∠BCA 又
解析：103
【分析】
连接EO ，根据切线性质定理得OE ⊥AB ，可得到△BEO ∽△BCA ，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．
【详解】
解：∵⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，
连接OE ，则OE ⊥AB ，BC ⊥AC
∴∠BEO=∠BCA ，又∠B=∠B
∴△BEO ∽△BCA ∴=BO OE AB AC 又AC=5，BC=12，
∴AB=22AC BC =13，
设圆的半径为r ，
∴
12r r =135
－ ∴r=103 ∴圆的半径是
103 ， 故答案为：103
．
【点睛】
此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理． 19．①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG 根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和
解析：①③
【分析】
①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；
②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF
的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；
④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD ，
∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，
∴BF=CG ，
∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△BCG ，
∴∠BAF=∠CBG ，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；
②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩
， ∴△BNF ∽△BCG ， 32BN BC NF CG ∴==， BN 32
NF =，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，
2213AF AB BF =+=
1122ABF AF BN AB BF S ∆=
⋅=⋅， 6132413N B 3NF BN ===3AN 91AF NF =
∴=-， ∵E 是BF 中点，
∴EH 是△BFN 的中位线，
313213NH EH ==∴BN ∥EH ，
111313AH AN MN AH EH ∴==，，解得：MN=2713143， ∴BM=BN-MN=31311
，MG=BG-BM=81311， 38
BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，
则713 11142712213S 13
CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=
⋅+⋅=+=四边形， S 12
CGNF S ≠四边形，④错误； 故答案为 ①③．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．
20．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8
【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
解析：8
【分析】
根据等比性质，可得答案．
【详解】
2a c e b d f
===， 由等比性质，得24
a c e a c e
b d f ++++==++， 所以8a
c e ++=．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质．
三、解答题
21．（1）DE∥BF，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=11 16
或
x=21 8
【分析】
（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）求出DE=10，MN=6，把
5
3
y=代入
5
10
3
y x
=-+，解得x=5，即NQ=5，得出
QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出
∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=43，BE=83，当DP=DF
时，求出BQ=64
5
，即可得出BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出
△CFQ∽△CDP，则FQ CF
DP CD
=，即可求出x=
11
16
；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，
得出△APE∽△AQB，则PE AE
BQ AB
=，求出AE=53，AB=133，即可得出x=
21
8
，由图
可知，PQ不可能过点B．
【详解】
解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=1
2∠ADC，∠ABF=1
2
∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=1
2
×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，
把y=5
3
代入
5
10
3
y x
=-+，
解得：x=5，即NQ=5，
∴QM=6-5=1，
∵Q是BF中点，
∴FQ=QB，
∵BM=2FN，
∴FN+5=1+2FN，
解得：FN=4，
∴BM=8，
∴BF=FN+MN+MB=18；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF=EM，EH∥CD，
∴∠MHB=∠C=90°，
∵∠A=90°，∠AED=30°
∴AD=1
2
DE=5，
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，
∴∠DFM=∠DEM=120°，
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，
∴∠MEB=∠FBE=30°，
∴DF=EM=BM=8，
∴MH=1
2
BM=4，
∴EH=8+4=12，
由勾股定理得：HB=2243
BM MH
-=，∴BE=2283
EH HB
+=，
当DP=DF时，
5
108
3
x
-+=，解得：x=
6
5
，
∴BQ=14-x=64
5
，
∵64
5
＜83，
∴BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y=0，则x=6；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，
∴CF=1
2
BF=9，
∴CD=9+8=17，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQ CF DP CD =
，49517103
x x +=-+，解得：x=1116； （Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：
∵PE ∥BQ ，
∴△APE ∽△AQB ，
∴PE AE BQ AB
=， 由勾股定理得：2253DE AD -=
∴AB=8353133= ∴510(10)53314133
x x --+=-x=218， 由图可知，PQ 不可能过点B ；
综上所述，当x=6或x=
1116或x=218
时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点． 【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．（1）作图见解析，()16,1A ；（2）作图见解析；（3）作图见解析，33A B 的长度为
62
【分析】
（1）先根据平移作图画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点1A 的坐标；
（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律得出点22,A B 的坐标，再画出点22,A B ，然后顺次连接点22,,O A B 即可得；
（3）先根据位似的性质得出33,A B 的坐标，再画出点33,A B ，然后顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，最后利用两点之间的距离公式即可得33A B 的长度．
【详解】
（1）先画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，如图所示：
由点坐标的平移变换规律得：()115,34A +-+，即()16,1A ；
（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，
()()1,3,4,0A B -，
()()221,3,4,0A B ∴--，
先画出点22,A B ，再顺次连接点22,,O A B 即可得22OA B △，如图所示：
（3）()()1,3,4,0A B -，
()()3312,32,42,02A B ⨯-⨯⨯⨯∴，即()()332,6,8,0A B -， 2332(82)(06)62A B ∴=-++=，
先画出点33,A B ，再顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，如图所示：
【点睛】
本题考查了平移作图、关于原点对称的点坐标变换规律、位似画图等知识点，熟练掌握各画图方法和点坐标的变换规律是解题关键．
23．（1）BG=12,；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；
（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．
【详解】
(1)解：∵AD ∥BC ，
∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，
在△ADF 和△CGF 中
D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△CGF(AAS)，
∴AD=CG ，FG=FD ，
又∵AD ∥BC
∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA =
又BE ：AE=3：1，
∴BG=3AD ，
又AD=CG
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG ，
又∵∠AFE=∠GFC ，
∴△AFE ∽△GFC ，
EF AF FC FG
=， 又AF=CF ，DF=GF ，
即
EF CF CF FD
=， ∴FC 2=FE•FD ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．
24．（1）直线AB 的解析式为9y x =-+；（2）存在，()'4,2O ，52
t =，见解析；
【分析】
（1）由于点A （8，1）、B （n ，8）都在反比例函数m y x =的图象上，根据反比例函数的意义求出m ，n ，再由待定系数法求出直线AB 的解析式；
（2）①由题意知：OP=2t ，OQ=t ，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t 的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t 值．
【详解】 解：（1）∵点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数m y x =
的图象上， ∴818=⨯=m ，
∴8y x =
， ∴88n
=，即1n =． 设AB 的解析式为y kx b =+，
把()8,1、()1,8B 代入上式得：818k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：19
k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的解析式为9y x =-+．
（2）存在．
当'O 在反比例函数的图象上时，
作PE y ⊥轴，'O F x ⊥轴于F ，交PE 于E ，
则90E ∠=︒，'2PO PO t ==，'QO QO t ==．
由题意知：'PO Q POQ ∠=∠，'90'QO F PO E ∠=︒-∠，
'90'EPO PO E ∠=︒-∠，
∴''PEO O FQ △△，
∴''''
PE EO PO O F QF QO ==， 设QF b =，'O F a =，
则PE OF t b ==+，'2O E t a =-， ∴22t b t a a b
+-==， 解得：45a t =，35b t =， ∴84',55O t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当'O 在反比例函数的图象上时，
84855t t ⋅=， 解得：52
t =±， ∵反比例函数的图形在第一象限，
∴0t >， ∴52
t =， ∴()'4,2O ， 当52
t =
秒时，'O 恰好落在反比例函数的图象上． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）连接DE ，则DE//BC ，由相似三角形的判定方法可知△ADE ∽△ABC ；
（2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF ∽△ABC ；
（3）连接DE ，BE ，DE 交AB 于点P ，则DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可知23
AP AD PB DC ==． 【详解】
解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 26．（1）90；（2）见解析
【分析】
（1）根据互补四边形的定义得到180A C ∠+∠=︒，由四边形内角和得
180B D ∠+∠=︒，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数；
（2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明BDE BCA ，得到BED A ∠=∠，可以证明180A CED ∠+∠=︒，就可以证明四边形ADEC 是互补四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是互补四边形，且A ∠与C ∠是一组对角，
∴180A C ∠+∠=︒，
∵四边形内角和是360︒，
∴180B D ∠+∠=︒，
∵::2:3:4B C D ∠∠∠=，
∴设2B x ∠=，3C x ∠=，4D x ∠=，
24180x x +=︒，解得30x =︒，
∴390C x ∠==︒，则1809090A ∠=-=︒︒︒，
故答案是：90；
（2）∵BE BC AB BD ⋅=⋅， ∴BE BD AB BC
=， ∵B B ∠=∠，
∴
BDE BCA ，
∴BED A ∠=∠，
∴180A CED BED CED ∠+∠=∠+∠=︒，
∴四边形ADEC 是互补四边形．
【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．。