江西省玉山县一中2019届高三数学上学期第一次月考试题理201812040163

玉山一中2018—2019学年度第一学期高三第一次月考
理科数学
时间：120分钟满分：150分
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合M {x|(x 3)(x 1) 0},N {x|log2x 1}，则M N （）A．[ 3,2]B．[ 3,2]C．[1,2]D．(0,2]
1
f(x) ()p: x [0, ),f(x) 1
x
2．已知，命题，则（）
2
A．p是假命题， p：
x0[0,),f(x0)1
B．p是假命题， p： x [0, ),f(x) 1
C．p是真命题， p：
x f x
0[0,),(0)1
D．p是真命题， p： x [0, ),f(x) 1
3．值域是(0,+∞)的函数是（）
1
11
A．y= 2 x B．y=( )1-x C．y= D．y= (x
51 2x)1
32
4．方程的解所在的区间是（）
log x x 3
3
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+ ）
5．幂函数y f(x)的图象经过点 ，则是（）
3,3f(x)
3
A．偶函数，且在上是增函数B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是增函数D．非奇非偶函数，且在上是增函数6．已知直线m和平面 , ，则下列四个命题正确的是（）
A．若 ，m ，则m B．若 // ，m// ，则m// C．若 // ，m ，则m D．若m// ，m// ，则 // 7．设f x 为可导函数，且满足 ，则曲线在点
lim1
f1 f1 x
y f x 1,f 1
x 02
x
处的切线的斜率是( )
A．2B． 1C．1D．
2
2
8．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝
( )
- 1 -
A．0 B．3 C．2 D．4
9．存在实数x，使|x 1| |x 3| a成立的一个必要不充分条件是（）
A． 2 a 2B．a 2C．a 2D．a 6
10．函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是（）
11．已知为双曲线的左，右焦点，点在该双曲线上，且12PF，F1,F x2 y2 2P PF
22则=（）
cos F PF
12
133
A．B．C．D．
454
4
5
12．已知函数f(x 1)是偶函数，当x (1, )时，函数f(x) sin x x，设a f 1 ,
2
b f(3)
c f(0)a,b,c
, 则的大小关系为
A．b a c B．c a b C．b c a D．a b c
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）.
13．已知A {x|y x 1},B {y|y x2 1}，则A I B _____________．
1
x
( 2
),x
14．已知函数 ，
则
f(x) 2
f(x 1),x 2
f(log3)
2
15．在长方体中，底面是边长为1的正方形，若其外接球的表面积
ABCD A B C D ABCD
1111
为16 ，则异面直线与所成的角的余弦值为__________．
BD CC
11
16．定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x 2) f(x)，当x [0,1)时，
f(x) x[ 3,3]g(x) f(x) kx 3k k 2
，若在区间内，函数有6个零点，则实数的取值范围为________．
- 2 -
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
已知集合A {x y x2 7x 18}，集合B {x y ln(4 3x x2 )}，集合
C {x m 2 x 2m 3}
．
（1）设全集U R，求 C A I B；（2）若A I C C，求实数m的取值范围．
U
18．（本小题满分12分）
设函数f(x) kx2 2x（k为实常数）为奇函数，函数g(x) a f(x) 1(a 0且a 1) ．（1）求k的值；
（2）求g(x) 在[ 1,2]上的最大值；
（3）当a 2 时，g(x) t2 2mt 1对所有的x [ 1,1]及m [ 1,1] 恒成立，求实数t 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，
ABC 60 E，F BC，PC
，分别是的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由
6
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角
2
E A
F C
的
余弦值。

- 3 -
20．（本小题满分 12分）
x y
3
2
2
已知椭圆
的离心率为
，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成 2
2
1(a b 0)
a b
2
a
x a 2 y b 2
2
的三角形的面积为 3 ，圆 C 方程为 .
(
) ( )
( )
b
（1）求椭圆及圆 C 的方程；
（2）过原点 O 作直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，若CA CB 2 ，求直线 l 的方程.
21．（本小题满分 12分）
设函数 f (x )
ln x a
x 1 2x
， g (x ) f (x ) x ，若 x 1是函数 g (x ) 的极值点.
（1）求实数 a 的值；
（2）当 x 0 且 x 1时， ( )
ln f x
x n x 1 x
恒成立，求整数 n 的最大值.
请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分 10分）选修 4-4：极坐标与参数方程选讲
x 4t 1
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （为参数）.以坐标原点为极
3t O
y3t
2
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为 2 22 sin( ).
4（1）求直线l的普通方程以及圆C的直角坐标方程；
- 4 -
（2）若点P在直线l上，过点P作圆C的切线PQ，求|PQ|的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f x x a.
（1）若不等式f x 2的解集为{x|1 x 5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f 2x f x 2 m对一切实数x恒成立，求实数m 的取值范围.
- 5 -
高三理科数学第一次月考参考答案
1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．D 8．B 9．D 10．A
11．C 12．A
1
14
13．[1, ) 14． ． 15．
16． (0,
6 4
1 6 ]
17．（Ⅰ）
( 2,1) ．（Ⅱ）实数 m 的取值范围是 或 ．
C A I B m 5 m 7
U
试题分析：（Ⅰ） A ( , 2]U[9, ) ， B ( 4,1)，C A ( 2,9) ，
U
( 2,1)
C A I B
．.................................6分
U
（Ⅱ）∵ A I C C ，∴C A ，
当C 时， m 2 2m 3 m 5 ，
m 3 m
2 2
m 2 2m 3
当C 时，
或
，解得： m 7，
2m 3 2 m 2 9
综上：实数 m 的取值范围是 m 5 或 m 7．.................................12分
4
a 1, a 1
18．（1） k 0．（2）
；（3）t U
U
g x (
, 2] {0} [2,
)
( )
1
max
1, 0 a 1 a
2
试题解析：（1）由 f ( x ) f (x ) 得 kx 2 2x kx 2 2x ，∴ k 0．........2分 （2）∵ g (x ) a f (x ) 1 a 2x 1 (a 2 )x 1
①当 a 2 1，即 a 1时， g (x ) (a 2 )x 1在[ 1,2]上为增函数，
g (x )
g (2) a 4 1
最大值为
．
②当a2 1，即0 a 1时，
1
g( 1) 1
a
∴g(x) (a2 )x在[ 1,2]上为减函数，∴g(x) 最大值为．
2
4
a1, a 1 ∴.................................7分
g(x) 1
max
1,0 a 1
a
2
（3）由（2）得g(x) 在x [ 1,1]上的最大值为g(1) ( 2)2 1 1，
∴1 t2 2mt 1即t2 2mt 0 在[ 1,1]上恒成立分
令h(m) 2mt t2 ，
- 6 -
2 h ( 1) t 2t 0, h (1) t 2t 0,
2
或t
t 2 0,
即 所 以
t 0或t 2.
t ( , 2] {0} [2, )
．
.................................12分
19．（ Ⅰ） 垂 直 .证 明 ： 由 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ，
ABC 60
△ABC
，可得
为正三角形．
因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC ．又 BC ∥ AD ，因此 AE AD ． 因为 PA 平面 ABCD ， AE 平面 ABCD ，所以 PA AE ． 而 PA 平面 PAD ， AD 平面 PAD 且 PA AD A ， 所以 AE 平面 PAD ．又 PD 平面 PAD ，所以 AE PD ． .................................6分
（Ⅱ）解：设 AB 2 ， H 为 PD 上任意一点，连接 AH ，EH ． 由（Ⅰ）知 AE 平面 PAD ，则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角． 在 Rt △EAH 中， AE 3 ，所以当 AH 最短时， EHA 最大， 即当 AH PD 时， EHA 最大．
AE 3
6 tan EHA AH AH 2
此时
，
因此 AH 2 ．又 AD 2 ，所以 ADH 45 ，所以 PA 2 ． 解法一：因为 PA 平面 ABCD ， PA 平面 PAC ，
所以平面 PAC 平面 ABCD ．过 E 作 EO AC 于O ，则 EO 平面 PAC ， 过O 作OS AF 于 S ，连接 ES ，则 ESO 为二面角 E AF C 的平面角，
3
3
在 Rt △AOE 中，
，
，
EO AE
A
sin 30
AO AE A cos 30 2
2
3 2
又 F 是 PC 的中点，在 Rt △ASO 中，
，
SO AO A sin 45
4
3 2
2
2
3 9 30 SO
15
4
又，在中，，SE EO SO Rt△ESO
cos ESO
484SE305
4
15
即所求二面角的余弦值为．..................12分
5
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐
标系，又E，F分别为BC，PC的中点，
- 7 -
∴ A (0，0，0)，B ( 3， 1，0)，C ( 3，1，0)，D (0，2，0) ，
3 1
P (0 0 2) E ( 3 0 0) F 1
，，， ，， ， ，，
2
2
，
u u u r
u u u r
3 1
所以
．
AE AF
( 3，0，0)，
，，1
2 2
m AE
设平面 AEF 的一法向量为 m (x ，y ，z )，则
u u u r
1
1
1
m AF
0，
0， 3x 0，
1
因此
取 ，则 ，
z 1 1
m (0，
2， 1) 3 1
x y z 0
．
2 2
1
1
1
因为 BD AC ， BD PA ， PA AC A ， 所以 BD 平面 AFC ，故 BD 为平面 AFC 的一法向量．
u u u r
m BD
2 3
15 又 BD ( 3，3，0) ，所以 cos
．
m ，BD
u u u r 5 12
5
m BD 因为二面角 E AF C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 15 ．.......12分
5
x
2
20．（1）椭圆的方程y21，圆的方程为；（2）或
(x 2)2 (y 1)2 4y 0
4
4x 3y 0
.
试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为1(,0),2(,0)，由椭圆的离心率为
F c F c
3 2可得
c
a
3
2
a b 32,
3
22
即，所以
a b b
c
a43
2
，
13
以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为123，即，
c 2c 3
b c
2 3
2
c 3,a 2,b 1
x
2
y2 1
所以椭圆的方程，圆的方程为
4
..................6分
(x 2)2 (y 1)2 4
（2）①当直线l的斜率不存时，直线方程为x 0，与圆C相
切，不符合题意
②当直线l的斜率存在时，设直线方程y kx，
- 8 -
y kx
(k 1)x (2k 4)x 1 0
22
由可得，(x 2) (y 1) 4
22
由条件可得 (2k 4)2 4(k2 1) 0，即k 3 4
2k 41
设A(x,y)，，则x x ，
B(x,y)x x
11122
22
122
k1k1
2k 4k k
2 2
2
y y k(x x) ,y y k x x
12122 12122
k1k1
而圆心C的坐标为（2，1）则CA (x 2,y 1),CB (x 2,y 1)，
1122
所以CA CB (x 2)(x 2) (y 1)(y 1) 2，
1212
即x
1x2 2(x1 x2) y1y2 (y1 y2)
5 2
12k 4k2k 4k
22
所以解得或
2 5 2
k
0 k 1k 1k 1k 1
2222k
4
3
.................................12分 l:y 0 4x 3y 0
或
21．（1）a 2；（2）0．
试题解析：（Ⅰ）
1
(1)ln
x x a
11
x
g(x)f(x)
(x 1)22x2
2x2x
，
依题意，g (1) 0，
据此，1
(11)ln11
a
，解得a 2．........................4分
10
(1 1)22 1221
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)
ln x1
x 1
x
，
由f(x)
ln x n
x 1
x
，得
ln x1ln x n
x 1x x 1
x
，x ln x x ln x1
于是n 1 (2x ln x x2 1)
x 1x 11 x
2对x 0且x 1恒成立，
令h(x) 2x ln x x2 1，则h (x) 2ln x 2 2x，再次求导h(x)220
，
x
①若x 1，可知h (x)在区间(1， )上递减，有h (x) h (1) 0，
可知h(x)在区间(1， )上递减，有h(x) h(1) 0，
1而
1 x
2
，
1则
1 x
2h(x)
，
- 9 -
1
即(2x ln x x21)0
1 x
2
；
②若0 x 1，可知h (x)在区间(0，1)上递增，有h (x) h (1) 0，
1
可知h(x)在区间(0，1)上递减，有h(x) h(1) 0，而
1 x
2
，
1
则
1 x
2
h(x)
1
，即(2x ln x x21)0
1 x
2
．
1
故当2
n (2x ln x x
1)
1 x
2
恒成立时，只需n ( ，0]，又n为整
数，
所以，n的最大值是0．.................................12分
22．（1），；（2）.
【解析】（1）由直线的参数方程消去参数，得，即.
所以直线的普通方程为.
圆的极坐标方程为，即，
将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式代入上式可得，即，此为圆的直角坐标方程. .................................5分
（2）由（1）可知圆的圆心为，半径，
所以，
而的最小值为圆心到直线的距离.
所以的最小值为..................................10分
23．（1）a 3（2）1
m
2
【解析】
（1）由f x 2得x a 2，解得a 2 x a 2，又不等式f x 2的解集为
a 2 1
{x|1 x 5}{a 3
a 2 5
，所以，解得；...............................5分
（2）当a 3时，f x x 3，设g x f 2x f x 2 ，
- 10 -
3x 4,x 3 2 3
g x f2x f x 2 2x 3 x 1 {2 x,
1 x 则
，
2
3x 4,x
1
所以g x 的最小值为g 3 1，
22
故当不等式f 2x f x 2 m对一切实数x恒成立时实数m的取值范围是
m 1
2 ..................................10分
- 11 -。