中考数学考点总动员系列 专题37 一次方程(组)

考点三十七：一次方程（组）
聚焦考点☆温习理解 1．定义
(1)含有未知数的等式叫做方程；
(2)只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次，这样的整式方程叫做一元一次方程； (3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为一次，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组． 2．方程的解
(1)能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． (2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解． 3．解法
(1)解一元一次方程主要有以下步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法．即把多元方程通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、方程（组）的解
【例1】（2015南充）已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧-=+=+12,
32y x k y x 的解互为相反数，则k 的值是 ．
【答案】﹣1． 【解析】
试题分析：解方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 得：232x k y k =+⎧⎨=--⎩，因为关于x ，y 的二元一次方程组2321x y k
x y +=⎧⎨+=-⎩
的解
互为相反数，可得：2330k k +--=，解得：1k =-．故答案为：﹣1． 考点：二元一次方程组的解．
【举一反三】
（2015绵阳）关于m 的一元二次方程2
2
720nm n m --=的一个根为2，则22
n n -+= ．
【答案】26．
考点：一元二次方程的解． 考点典例二、一元一次方程的解法 【例2】解方程：（1）2132
x x
x ++=- （2）x+[2-
1
2
(x-4)]=2x+3． 【答案】(1) x=10; (2) x=-2
3
．
【解析】
试题分析：(1) 这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
(2) 首先去括号，注意乘法分配律的应用与符号的变化，然后再移项，合并同类项，把x 的系数化为1，进行计算即可．
试题解析：(1) 去分母，得2（x+2）+6=6x-3x 去括号，得2x+4+6=6x-3x 移项、合并同类项，得x=10 (2) 去括号得：x+2-1
2
x+2=2x+3， 移项得：x-
1
2
x-2x=3-2-2， 合并同类项得：-3
2
x=-1，
把x 的系数化为1得：x=-2
3
．
考点：解一元一次方程．
【点睛】(1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去
分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项
(特别是常数项)，若分子是多项式，
则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．
【举一反三】
解方程：2164
1
35 x x
+-
=-
【答案】
考点：解一元一次方程．
考点典例三、二元一次方程(组)的解法
【例3】（山东东营第19题，7分）解方程组：
6 29 x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
．
【答案】：
5
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
．
【解析】
试题分析：利用加减消元法即可。

试题解析：解：①+②得：3x=15，③，∴x=5，将x=5代人①，得：5+y=6，∴y=1，∴方程组的解为
5
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
．
考点：解二元一次方程组。

【点睛】(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，
这样会使运算量较小，提高准确率．
【举一反三】
（2015成都）（本小题满分6分）
解方程组：
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
+
1
2
3
5
2
y
x
y
x
．
【答案】
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
考点：解二元一次方程．
考点典例四、已知方程(组)解的特征，求待定系数
【例3】若关于x、y的二元一次方程组
5
9
x y k
x y k
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（）A、
3
4
- B、
3
4
C、
4
3
D、
4
3
-
【答案】B．
【解析】
试题分析：将k看做已知数求出x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．
试题解析：解：
5
9
x y k
x y k
+=
-=
⎧
⎨
⎩
①
②
，
①+②得：2x=14k，即x=7k，
将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k，
将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6，
解得：k=
3
4
．
故选B．
考点：1.二元一次方程组的解；2.二元一次方程的解．
【点睛】(1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．
【举一反三】
已知方程组
23
351
x y k
x y k
+=
⎧
⎨
+=+
⎩
的解x，y的和为-12，求k的值.
【答案】-11．
考点：二元一次方程组的解．课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（2015.山东济南，第6题,3分）若代数式4x﹣5与21
2
x-
的值相等，则x的值是（）
A． 1 B．3
2
C．
2
3
D． 2
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意得：4x﹣5= 21 2
x-
，
去分母得：8x﹣10=2x﹣1，
解得：x=3
2
，
故选：B．
考点：解一元一次方程．
2.（2015·辽宁大连）方程3x+2(1-x)=4的解是（）
A.x=
52 B.x=6
5
C.x=2
D.x=1 【答案】C 【解析】
试题分析：去括号得：3x+2-2x=4.移项合并得：x=2， 故选C.
考点：解一元一次方程.
3. （2015南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ） A ．25台 B ．50台 C ．75台 D ．100台 【答案】C ． 【解析】
试题分析：设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是（100﹣x ）台，根据题意可得：x =3（100﹣x ），解得：x =75．故选C ． 考点：一元一次方程的应用．
4. （2015内江）植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A ．523220x y x y +=⎧⎨
+=⎩ B ．522320x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．202352x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．20
3252
x y x y +=⎧⎨+=⎩
【答案】D ． 【解析】
试题分析：设男生有x 人，女生有y 人，根据题意可得：20
3252
x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选D ．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
5.（20155210a b a b ++-+=，则()2015
b a -=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2015
5 D ．2015
5
-
【答案】A ．
考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．
6．（2015广元）一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1=x °， ∠2=y °．则可得到的方程组为（ ）
A ．50180x y x y =-⎧⎨+=⎩
B ．50180x y x y =+⎧⎨+=⎩
C ．5090x y x y =-⎧⎨+=⎩
D ．5090x y x y =+⎧⎨+=⎩
【答案】D ． 【解析】
试题分析：根据平角和直角定义，得方程x +y =90；根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x =y +50．可列方程组为50
90
x y x y =+⎧⎨
+=⎩，故选D ．
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角． 8.(山东莱芜第10题，3分)已知⎩⎨⎧==12
y x 是二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为
( )
A ．4
B ．2
C ． 2
D ． ±2
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩
的解，可直接代入得到28
21m n n m +=⎧⎨-=⎩，可解
方程组得：
3
2
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，因此2m-n=4，所以可求2m-n的算术平方根为2．
故选B
考点：二元一次方程组，算术平方根二、填空题
9. 二元一次方程组
7413
563
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
【答案】
3
2 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
考点：解二元一次方程组．
10.方程x+5=1
2
（x+3）的解是
【答案】x=-7.
【解析】
试题分析：方程去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．试题解析：去分母得：2x+10=x+3，
解得：x=﹣7．
考点：解一元一次方程．
11.关于x，y的方程组
2x y m
x my n
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则|m+n|的值是
【答案】3.
考点：二元一次方程组的解．
12.（2015.山东滨州第20题，9分）（本小题满分9分）根据要求，解答下列问题. （1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可): ○
12x+y=3⎧⎨⎩
x+2y=3，
的解为 .
○
22x+3y=10
⎧⎨⎩3x+2y=10，
的解为 .
○
3⎧⎨⎩2x-y=4，
-x+2y=4
的解为 .
（2）以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 . （3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解. 【答案】（1）① y=1.⎧⎨⎩x=1， ②y=2.⎧⎨⎩x=2， ③y=4.
⎧⎨⎩x=4，
（2）x=y 【解析】
试题分析：（1）快速利用代入消元法或加减消元法求解； （2）根据（1）发现特点是x=y ；
（3）类比①②③写出符合x=y 的方程组，直接写出解即可. 试题解析：解：（1）○
1 y=1.⎧⎨⎩x=1， ○2y=2.⎧⎨⎩x=2， ○3y=4.⎧⎨⎩
x=4，
（2）x=y. （3）酌情判分,其中写出正确的方程组与解各占1分. 考点：消元法解二元一次方程组，规律探索
13. (2015.北京市，第13题，3分)《九章算数》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基
本框架，它的代数成就主要包括开方数、正负数和方程数，其中，方程数是《九章算数》最高的数学成就.
《九章算数》中记载：“今年牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。

问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为____.
【答案】5210
258
x y x y +=⎧⎨+=⎩
【解析】
试题分析：根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.”列方程组即可. 考点：二元一次方程组的应用 14.方程2x ﹣1=0的解是x= ． 【答案】
12
．
考点：解一元一次方程. 三．解答题
15.（2015.重庆市A 卷，第19题，7分）解方程组
⎩⎨
⎧=+-=②
①1342y x x y
【答案】
⎩
⎨
⎧
-
=
=
2
1
y
x
.
【解析】
试题分析：此题可用代入消元法解，也可用加减消元法来解.将①代入②，得1
4
2
3=
-
+x
x，解得：1
=
x；将1
=
x代入①，得：2
-
=
y.所以原方程组的解是
⎩
⎨
⎧
-
=
=
2
1
y
x
.故答案为：
⎩
⎨
⎧
-
=
=
2
1
y
x
.
考点：二元一次方程组的解法.
16.（2015.重庆市B卷，第19题7分）解二元一次方程组
21
3 6.
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，①
②
【答案】
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
考点：解二元一次方程组.
17. 已知
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
是方程组
5
1
ax by
ax by
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解，求a2014+b2015的值．
【答案】0．
【解析】
试题分析：把x=3，y=-2代入方程组求出a、b的值，最后代入求出即可．
试题解析：把x=3，y=-2代入方程组得：
325
321
a b
a b
-=
+=
⎧
⎨
⎩
①
②
，
①+②得：6a=6，
解得：a=1，
①-②得：-4b=4，
b=-1，
∴a2014+b2015
=12014+（-1）2015
=0．
考点：二元一次方程组的解．
18.(山东日照，第17题，9分)（9分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=0，求实数m的值．
【答案】m=4．
考点：二元一次方程组的解．。