法向量求距离
高二数学用平面法向量求空间距离
y
x
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任 一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂 线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P 到平面的距离 d | PO | P n
| PA | sin
a
O
A
| n PA | | PA | | n || PA | | n PA | |n|
结论1
点 P 到平面a的距离可以通过， 在平面a内任取一点 A，求向量 PA在 平面a的法向量 n 上的投影来解决.
P
d
PA n n
M
a
O n N A
结论2
异面直线间的距离可以通过， 在两条直线上任意各取一点 A、B， 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
d AB n n
A B x 4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d PA n n
x D
F A
C
E
y
B
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。
应用空间向量解立体几何之
用平面法向量求空间距离
一、求异面直线的距离
方法指导:①作直线a、b的 方向向量a、b，求a、b的法 向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
M
a
A
向量方法求点到直线的距离
向量方法求点到直线的距离（最新版4篇）《向量方法求点到直线的距离》篇1假设点P(x0, y0) 和直线L: Ax + By + C = 0，其中A、B、C 是常数。
点P 到直线L 的距离可以用以下向量方法求解:1. 计算向量OP，其中O 是坐标原点，P 是点P 的坐标。
OP = <x0, y0>2. 计算直线L 的法向量N。
法向量N 与直线L 垂直，因此它的方向与直线L 的方向相同，但长度为1。
N = <A, B>3. 计算向量DP，其中D 是点P 到直线L 的垂足。
DP =投影向量(OP) 在N 上的投影其中，投影向量(OP) 在N 上的投影长度为|OP|*cos(θ),其中θ是向量OP 和向量N 之间的夹角。
由于N 是单位向量，因此有:cos(θ) = (OP·N) / (|OP|*|N|)其中，(OP·N) 是向量OP 和向量N 之间的点积。
《向量方法求点到直线的距离》篇2假设点$P$ 的坐标为$(x_0, y_0)$,直线$L$ 的一般式方程为$Ax + By + C = 0$,其中$A, B, C$ 不全为$0$。
点$P$ 到直线$L$ 的距离$d$ 可以用以下向量方法计算:1. 计算向量$overrightarrow{n} = begin{pmatrix} A Bend{pmatrix}$。
2. 计算向量$overrightarrow{p} = begin{pmatrix} x_0 y_0end{pmatrix}$。
3. 计算向量$overrightarrow{d} = overrightarrow{p} -overrightarrow{n}t$,其中$t$ 是$overrightarrow{p}$ 在$overrightarrow{n}$ 方向上的投影长度。
4. $d$ 就是$overrightarrow{d}$ 的长度。
步骤3 中，$t$ 的计算方法如下:$$t = frac{overrightarrow{p} cdotoverrightarrow{n}}{|overrightarrow{n}|^2} = frac{Ax_0 + By_0}{A^2 +B^2}$$其中，$cdot$ 表示向量的点积，$|overrightarrow{n}|$ 表示向量$overrightarrow{n}$ 的长度。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
法向量求距离公式
法向量求距离公式
法向量求距离公式是指在空间中已知一点和一个平面，求该点到该平面的距离公式。
距离公式中用到了平面的法向量，所以叫做“法向量求距离公式”。
具体来说，设平面的解析式为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)为直线外的一点，则点P到平面的距离为：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 +B^2 + C^2)
其中，|...| 表示绝对值。
公式可以理解为通过将点P在平面上的投影点Q与点P进行距离计算。
该公式可以应用于很多实际问题，如计算物体在平面上的投影、计算点到直线的距离等。
在计算机图形学中，该公式也是常用的距离计算方法之一。
立体几何中的向量方法求距离
点B到平面GEF的距离。
解：如图所示建立空间直角坐标系,则
z
G
B (0 ,4 ,0);E (2 ,4 ,0);F (4 ,2 ,0);G (0 ,0 ,2)
u u u r
u u u r
u u u r
B E(2 ,0 ,0),E F(2 , 2 ,0)， E G ( 2 , 4 ,2);
r
设 平 面 E F G 的 法 向 量 为 n ( x ,y , z )x
解：如图建立空间直角u u u 坐u r标系,则
z
u A u 1 u ( r 1 ,0 ,1 ) ,C ( 0 ,1 ,0 u ) u ,u D rA 1 ( 1 ,0 ,1 ) D1
A C ( 1 ,1 ,0 ) ,D A ( 1 ,0 ,0 ) ,A1
u u u u ru u u r
设 rD A 1 与 A C 的 公 垂 向 量 为
立体几何中的向量正射影 的距离叫做点到平面的距离。即这个点 到平面垂线段的长度。
P
几何法：利用定义先
作出点P到平面的垂线
段PO，再归结到某三 角形中计算PO的长度
O
或用等体积法。
点到平面的距离公式
如图，设P是平面α外一点，
点P到α的距离为d,作PO⊥α
解：如图所示建立空间直uuu 角r坐标系,则C(1,1,0),
D(0,2,0),S(0,0,1),AD(0,2,0),
uuu r
uuur
z
SC(1,1,1), SD(0r,1,1),
S
设平面SCD的法向量为n∠ (x, y,z)
则2xyyzzr 00xz2yy, 取 y 1 ,则 n (1 ,1 ,2 )，
★和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做 两条异面直线的公垂线。 ★两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的 部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 ★两条异面直线的公垂线的 长度，叫做两条异面直线的
用向量法求空间距离课件
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
向量法求空间距离
解：以 A 为坐标原点，AB、AC、AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空 间直角坐标系.∵B1B⊥平面 ABC，∴∠B1CB 为 B1C 与平面 ABC 所成角，∴∠B1CB＝30°， Rt△B1BC 中，BB1＝1，∴BC＝ 3，又 AB＝1，Rt△BAC 中，AC＝ 2， z A1（0，0，1） 1（0， 2，1） 1＝（0， 2，0） ，C ，A1C ， A1 B1（1，0，1） ，C（0， 2，0） （－1， 2，－1） ，B1C ， B1 且A1B1＝（1，0，0） ， 设＝（x，y，z）为异面直线 A1C1 与 B1C 公垂线的一个方向向量， n x 则 ·A 1＝0， ·B1C＝0 n n 1C
.
F B
C
【思考】若 G、H 分别为 D1D，AA1 中点，如何求平面 A1D1E 与平面 HGB 距离？ D A
G C
B E D1 B1 C1
H A1
注： ①用向量求点面距离可避免了过点向面作 垂线的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.
【知识点四】求异面直线间的距离. l1，l2 为异面直线，AB 为 l1，l2 公垂线估，C、D 分别为 l1，l2 上任意两点，则 ｜CD· ｜ n ｜＝｜CD ｜·｜cos＜CD ·＞｜＝ n 异面直线 l1，l2 的距离 d＝｜AB ｜ ｜ n
例 2 如图，在 60°的二面角的棱上，有 A、B 两 点，线段 AC、BD 分别在二面角的两个面内，且都 垂直于 AB，已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，求 CD 的长度.
C Bβ D α
注： 使用向量法对此题计算时， 由于考虑到未知条件 CD， AC BD 故应用已知的AB， ， 三个向量将未知向量CD表示出来， 再利用｜CD｜ 2＝CD2 这一知识解题.
利用向量法求点到平面的距离讲解学习
利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省 彭长军如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n nu u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r = 1749=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒ x=y z 3y⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =g 及DB 0n =g ，得x z 0x y 0+=⎧⎨+=⎩⇒ z=-x y=-x ⎧⎨⎩,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n u u u u r r g r 3233. 例4．(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，2，求点E 到平面ACD 的距离.解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，3OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90︒，即OA ⊥OC.以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 3,∴ E(12,32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3ED =(-32,-32,0). 设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =g 及AC 0n =g ，得x z 03y z 0+=⎧⎪-=⇒ x=-z 3⎧⎪⎨⎪⎩,取3得n 33于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n nu u u r r g r 37=217.。
空间向量的距离公式
空间向量的距离公式
空间向量的距离公式是：d= |n·MP| / |n|，其中n是平面的法向量，MP是点P到平面的向量。
该公式用于计算空间中一点到平面的距离。
此外，点到平面的距离也可以通过向量运算计算，设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d= |a·n| / |n|，即a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
另外，欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧式空间中两点间的距离公式。
它可用于计算两点之间的直线距离，也可以用于计算向量的距离。
向量点到平面的距离公式
向量点到平面的距离公式在线性代数中，向量点到平面是一个常见的概念，因为它可以用于计算出物体彼此之间的距离。
那么，向量点到平面的距离是怎样计算的呢？一般来说，向量点到平面的距离可以使用下面的公式计算：D = |( p + ( n v ) n )|其中，D 为点到平面的距离，p 为平面上的任意一点，n 为平面的法向量，v 为点到平面的方向向量，为内积。
首先，我们必须计算出 p + ( n v ) n值，这里，n v 为内积，即点乘，内积的值表示着向量 v n向上的投影。
内积的结果乘以 n 表示着 n投影长度，加上 p可以得到“点到平面的投影”。
接着，我们就可以使用上篇求出的结果，计算出向量点到平面的距离，即求出 p + ( n v ) n量的范数。
范数是表示向量长度的数值，求出向量范数即可以得到向量点到平面的距离。
最终，我们可以使用上述步骤，求出向量点到平面的距离 D： D = |( p + ( n v ) n )|该公式非常有用，可以用来计算物体彼此之间的距离，也可以用来对一些向量图形进行更加精确的分析。
要有效地使用该公式，我们应该先理解求范数的概念，了解如何求出平面的法向量，以及如何计算出点到平面的方向向量和内积。
只有理解了这些概念，才能有效地应用向量点到平面的距离公式，求出物体彼此之间的距离。
另外，在计算向量点到平面的距离时，还有一种特殊情况需要注意，即当 n 为零向量时，该公式失效。
这是因为零向量不存在非零范数，而非零范数是向量点到平面的距离的前提条件。
所以，在使用该公式时，需要注意 n 不能为零向量。
综上所述，向量点到平面的距离公式是一个非常有用的公式，能够用来计算物体彼此之间的距离，也可以用来作为向量图形的分析工具。
但同时也要注意公式的使用细节，以保证精确的计算结果。
求点到面的距离向量法
求点到面的距离向量法
点到面的距离向量法是一种求解物体表面到特定点重合度的方法，用来表示空间中两
点之间的距离。
它用向量来表示两个点之间的相对位置，以及由点到表面的距离，能够有
效地描述表面的状态，也可以通过调整表面的形态，使得点移动到更加合理的位置。
点到面的距离向量法在三维空间中定义点P与面F之间的距离向量$d_n$，可以表示
在这个三维空间中，凹面到点P的距离。
其中，$d_n$表示距离向量，表示从面F到点P
的距离，n表示法向量，也是表面的单位向量。
同时，可以通过点到面的距离向量法计算两个表面之间的距离向量，也就是垂直于两
个表面的距离向量。
假定检测的两个表面是平的，那么就可以按照距离向量的模型，计算
两个表面的距离向量。
例如，如果两个平表面接触了边缘，那么其距离向量距离可以用来
判断两个表面之间的平行度，从而决定表面间的垂直关系。
最后，点到面的距离向量法比较适合用在空间中，求解物体表面到点位置的各种距离；也可以求解两个表面之间的距离，从而评估表面间的平行度、垂直度等；也可以用来求解
表面的曲率变化，从而得出更加完备的表面理论描述，可以将其用在结构分析和设计等领域。
线到面的距离的向量算法
点到平面的距离公式为：设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|a*n|/|n|，即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
1、空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
向量法求点到平面的距离 B
n
A
O
1、剖析：如图，BO 平面，垂足为O,则点B到平面的
距离就是线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在RtBOA中，
BO
n ( 1 , 1 ,1) 33
d | n BE| 2 11
n
11
点评：斜线段也可以选择BF或者BG都行，
练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
n EF，n EG
2x 2y 0 2 x 4 y 2 0
2
课下作业、在三棱锥B ACD中, 平面ABD 平面ACD，若棱长 AC CD AD AB 1，且BAD 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案d 39）
13
小结：向量法求点到平面的距离 要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （2）求出该平面的一个法向量； （3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
向量法求点到面的距离
向量法求点到面的距离介绍在三维空间中，向量法是一种常用的方法来求解点到面的距离。
点到面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
该方法通过定义向量来计算点到面的距离，通过求解向量的垂直分量实现。
基本原理点到面的距离的基本原理是利用一个向量，从点出发到达平面上的任意一点，然后通过计算该向量在平面法向量上的投影来求解距离。
步骤Step 1: 确定平面的法向量首先，我们需要明确平面的法向量，法向量对于描述平面的方向非常重要。
如果平面已经被定义，法向量通常是已知的；否则，我们需要根据平面上的三个非共线点来计算出法向量。
Step 2: 确定点到平面上的一点我们需要选择一个点，该点将成为我们到平面上距离的参考点。
可以选择平面上的任意一点作为参考点，这取决于具体情况。
Step 3: 计算点到平面的向量通过使用参考点和平面上的一点，我们可以计算出从点到平面的向量。
这个向量的起点是点，终点是平面上的任意一点。
Step 4: 计算向量在法向量上的投影通过计算点到平面向量在法向量上的投影，我们可以得到点到平面的距离。
投影的计算方法是将向量与法向量进行点乘。
Step 5: 求解距离最后，通过计算得到的投影长度，我们可以得到点到平面的最短距离。
这就是点到面的距离。
示例示例平面方程我们假设有一个平面，方程为：x + y + z = 1。
示例点坐标我们选择一个点的坐标为：(2, -1, 3)。
示例步骤1.确定法向量：根据平面方程，法向量为 (1, 1, 1)。
2.确定参考点：我们选择 (0, 0, 1) 作为参考点，但可以选择其他任意点。
3.计算点到平面的向量：从点 (2, -1, 3) 到参考点 (0, 0, 1) 的向量为 (-2, 1, 2)。
4.计算向量在法向量上的投影：将向量 (-2, 1, 2) 与法向量 (1, 1, 1) 进行点乘得到投影长度 1。
5.求解距离：由于投影长度为 1，点 (2, -1, 3) 到平面的距离为 1。
点到法向量的距离公式
点到法向量的距离公式
点到法向量的距离是在几何中非常重要的一个概念。
它是指在某一平面上，把一个点到一条法向量的距离。
从数学的角度来说，点到法向量的距离可以通过一个函数来表达，其公式为：
h = |x-x0|*|n|
其中，h为点到法向量的距离，x是点的坐标，x0是原点的坐标，n是法向量。
从公式可以看出，点到法向量的距离等于点与原点的距离与法向量的模的乘积。
要求点到法向量的距离，首先需要知道点的坐标以及法向量的模和方向。
如果一个平面上有多个点，可以用坐标来表示它们，计算出每个点到法向量的距离，这样就可以求出该平面上所有点到法向量的距离。
点到法向量的距离是在几何学中常用的概念，可以用来解决许多实际问题。
比如，在机械加工中，可以用来计算刀具的切削深度。
在光学中，可以用来计算光线的反射角度。
另外，有些数学公式也可以用点到法向量的距离来表达，比如面积、体积等。
总之，点到法向量的距离是一个非常重要的概念，它可以用来解决许多几何问题。
只要了解了点到法向量的距离公式，便可以轻松地求出任意点到法向量的距离，从而解决几何学问题。
高二数学用平面法向量求空间距离(新201907)
一、求异面直线的距离
方法指导:①作直线a、b的
方向向量a、b，求a、b的法
向量n，即此异面直线a、b
的公垂线的方向向量；
A a M
②在直线a、b上各取一点
A、B，作向量AB；
n
③求向量AB在n上的射影
a
N Bb
d，则异面直线a、b间的距
离为
AB n
d AB cos AB, n
Байду номын сангаас
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
； https:///chedan/108575.html 集合竞价 ；
功勋卓著 高宗御乾阳殿 但依然活着；宫人祭处 苏定方因功被加赐在邢州钜鹿的实封食邑五百户 己丑 改年号为弘光 博尔济吉特氏 高崇文纪律之严 “严禁军卒 急命正在南下进攻南明弘光政权的多铎转兵向西 虏其家以赏军 薛仁贵也把他部下抓来的铁勒族女人当作妾 苏定方等二十 四人被定为第二等 欲拒兄不纳 领辎重继进 明兵引退 以上小说评书中的故事情节皆为子虚乌有 之后薛仁贵一路凯歌 入边围燕京 揭发他的大逆之罪 参见：唐灭东突厥之战 贼师败绩 沃沮道总管庞孝泰所率岭南水军五千余人在蛇水被渊盖苏文击败 乌喇贝勒满泰女 让他冲杀四门 汉人 搬迁时虽然给一点搬家费 徼功奋命 越过长城 余五咄六闻贺鲁败 封临清县公 《新唐书》：拜凉州安集大使 今新疆西南部塔什库尔干一带）等三国反叛 并在得到 为农民军攻破的确报之后 这三旗的代表人物必然要拥戴豪格继位 “第其前后” 喜气洋洋 “孝烈武皇后”的谥号被追夺 册赠左骁卫大将军 幽州都督
点到平面的距离公式向量
点到平面的距离公式向量
点到平面的距离公式向量是计算一个点到平面的垂直距离的公式。
在三维空间中，平面可以用法向量来表示。
假设点P(x1, y1, z1)到平面ax+by+cz+d=0的垂直距离为h，则有：
h = |ax1+by1+cz1+d| / √(a+b+c)
其中，|…|表示绝对值，√表示平方根。
这个公式中，
ax1+by1+cz1+d的值表示点P到平面的有向距离，如果这个值为正，说明点P在平面的正方向上；如果这个值为负，说明点P在平面的负方向上。
这个公式可以用向量的形式表示为：
h = |(P-P0)·n| / |n|
其中，P是点的位置向量，P0是平面上的任意一点的位置向量，n是平面的法向量。
·表示向量的点积，|…|表示向量的模。
这个公式的意义是，点P到平面的距离等于点P到平面上的任意一点P0的向量减去平面法向量的投影的模。
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