2025高考数学一轮复习-7.6.2-空间距离及立体几何中的创新问题【课件】

所以－－44xx＋＋44yz＝＝00，，
因此可取 n＝(1,1,1)，由于M→A＝(2，－3，－4)，那么点 M 到平面 AB1P 的距离为 →
d＝|M|An·| n|
＝|2×1＋－3×1＋－4×1|＝5 3
3 3，
故
M
到平面
AB1P
的距离为5
3
3 .
考点二 立体几何中的新情境问题
【例 2】 (多选)大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外， 通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱
易知C→1N＝(0,0，－2)，设点 C1 到平面 ABN 的距离为 d2， 则 d2＝C→1|Nn|·n＝4－343＝ 3.
(2)求点到平面的距离的常用方法 ①直接法：过 P 点作平面 α 的垂线，垂足为 Q，把 PQ 放在某个三角形中，解三角形 求出 PQ 的长度就是点 P 到平面 α 的距离． ②转化法：若点 P 所在的直线 l 平行于平面 α，则转化为直线 l 上某一个点到平面 α 的距离来求． ③等体积法．
(1)M 到直线 PQ 的距离； (2)M 到平面 AB1P 的距离．
【解】 如图，建立空间直角坐标系， 则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)．
(1)因为Q→M＝(－2，－3,2)，Q→P＝(－4，－2，－2)，所以Q→M在Q→P上的投影向量的模
→→ ＝|QM→·QP|＝
第七章 立体几何与空间向量
第六节 利用空间向量求空间角、距离 第二课时 空间距离及立体几何中的创新问题
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 空间距离
【例 1】 (1)若 O 为坐标原点，O→A＝(1,1，－2)，O→B＝(3,2,8)，O→C＝(0,1,0)，则线段
AB 的中点 P 到点 C 的距离为( D )
165 A. 2
B．2 14
C. 53
53 D. 2
(2)如图，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 4，N 是 CC1 的中点．
①求点 N 到直线 AB 的距离； ②求点 C1 到平面 ABN 的距离． 【答案】 (2)①4 ② 3
【解析】
(1)
由
题
意
可
知
，
→ OP
＝
1 2
(
→ OA
|QP|
|－2×－－44＋2＋－－3×22＋－2－＋222×－2|＝
10 ＝5 24
6
6 .
故 M 到 PQ 的距离为
|Q→M|2－5662＝ 17－265＝ 4662.
(2)设 n＝(x，y，z)是平面 AB1P 的一个法向量，则 n⊥A→B1，n⊥A→P， 因为A→B1＝(－4,0,4)，A→P＝(－4,4,0)，
＋
→ OB
)
＝
2，32，3
，
→ PC
＝
→ OC
－
→ OP
＝
－2，－12，－3，|P→C|＝ 4＋14＋9＝ 253，故选 D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,0)，B(2 3，2,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)， ∵N 是 CC1 的中点， ∴N(0,4,2)．
①A→N＝(0,4,2)，A→B＝(2 3，2,0)，
A.6
B. 12
C.10 6 30
D.
5 6
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A→P＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝34，12，23. 又A→B＝(1,0,0)， ∴A→P在A→B上的投影为A→P→·A→B＝34，
|AB| ∴点 P 到 AB 的距离为
|A→P|2－A→P→·A→B2＝56. |AB|
则|A→N|＝2 5，|A→B|＝4.
设点 N 到直线 AB 的距离为 d1，则 d1＝|A→N2－A→N→·A→B2 |AB|
＝ 20－4＝4.
②设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得nn··AA→→BN＝＝24y＋3x2＋z＝2y0＝，0， 令 z＝2， 则 y＝－1，x＝ 33，即 n＝ 33，－1，2.
的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点 A 处，“大摆锤”启动后，主轴 OB
在平面α内绕点 O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点 A 在平面β内
绕点 B 作圆周运动，并且始终保持 OB⊥β，B∈β.设 OB＝4AB，在“大摆锤”启动后，下
列结论正确的是(ABD)
A．点 A 在某个定球面上运动
P(0,0,2)，P→B＝(2,0，－2)，B→C＝(0,2,0)，设平面 PBC 的法向量为 n＝(a，b，c)，则
2a－2c＝0， 2b＝0，
不妨取
n＝(1,0,1)，又A→B＝(2,0,0)，所以
AD
到平面
PBC
的距离
→ d＝|A|Bn·|n|＝
2.
3．长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M 是 A1C1 的中点，P 在 线段 BC 上，且 CP＝2，Q 是 DD1 的中点，求：
B．β与水平地面所成锐角记为θ，直线 OB 与水
平地面所成角记为δ，则θ＋δ为定值
C．可能在某个时刻，AB∥α
D．直线
OA
与平面α所成角的正弦值的最大值为
17 17
【解析】 因为点 A 在平面 β 内绕点 B 作圆周运动，并且始终保持 OB⊥β，所以 OA
＝ OB2＋AB2.又因为 OB，AB 为定值，所以 OA 也为定值，所以点 A 在某个定球面上运
→ ④向量法：设平面 α 的一个法向量为 n，A 是 α 内任意点，则点 P 到 α 的距离为 d＝|PA|n·|n|.
『变式训练』
1．已知棱长为 1 的正方体 ABCD—EFGH，若点 P 在正方体内部且满足A→P＝34A→B＋12A→D
＋23A→E，则点 P 到 AB 的距离为( A )
5
181
2.在底面是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中，侧棱 PA⊥底面 ABCD，BC∥AD，∠ABC ＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则 AD 到平面 PBC 的距离为____2____．
【解析】 由已知可得，AB，AD，AP 两两垂直，所以以 A 为坐标原点，AB，AD， AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，