吉林省松原市油田第十一中学2020-2021学年高二第一学期月考数学试题

吉林省松原市油田第十一中学2020-2021学年高二第一学期
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简：AB DC CB --=（ ）
A ．AC
B ．DA
C ．A
D D ．DB 2．已知向量()(2,1),1,0a b =-=，则a b ⋅等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．3-
D ．2- 3．已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（ ）
A ．()1,3-
B ．()3,1-
C ．()1,1-
D ．()2,2- 4．已知向量(1,2)a =，(,6)b x =-，若//a b .则x 等于（ ）
A ．3
B ．-3
C ．-12
D ．12
5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ）
A ．（2,4）
B ．（3,5）
C ．（1，1）
D ．（－1，－1）
6．已知向量(1,3)a =，(b =-，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 7．在ABC 中，点M 满足2BM MC =，则（ ）
A ．1233
AM AB AC =+ B ．2313AM AB AC =+ C ．1233AM AB AC =- D ．2313AM AB AC =-
8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30,45,B C b ︒︒===，
则c =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D 9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 且有cos cos a A b B =，则此三角形是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222a b c =-，则角B 的大小是( )
A ．45
B ．60
C ．90
D ．135
11．在ABC 中，1BC =，AB =3C π=
，则A =（ ）. A ．6π或56π B ．6π C ．23π D ．3
π 12．ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题： ①21sin sin 2sin B C S a A
= ②若2cosBsinA sinC =，则ABC 是等腰直角三角形；
③2222sin C sin A sin B sinAsinBcosC =+-
④()()2222
()()a b sin A B a b sin A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题
13．已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_______________ 14．已知平面向量(1,2),(4,)a b m == ，若a b ⊥，则b =________.
15．设ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1,45a
B ==°，AB
C 的面
积为2，则ABC 的外接圆的面积为________.
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = ________ m.
三、解答题
17．已知向量(a →=，(),1b x →=.
（1）若a b →→⊥，求x ；
（2）若,30a b →→=︒，求x .
18．已知3,4a b ==，且a 与b 不共线.
（1）当向量a kb +与a kb -互相垂直时，求k 的值； （2）当a 与b 的夹角为3
π时，求a b +的模.
19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin cos b C B =． （1）求B ；
（2）若4b ac ==，求ABC 的周长．
20．
已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B = sin )A ，(2,2)p b a =--.
（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；
（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3
C =
，求ABC ∆的面积.
参考答案
1．C
【分析】
根据向量加减法公式直接结算结果.
【详解】
AB DC CB AB CD BC --=++
AB BC CD AD =++=.
故选：C
【点睛】
本题考查向量加减法，属于基础题型.
2．B
【分析】
利用平面向量数量积的坐标公式计算即可．
【详解】
向量()(2,1),1,0a b =-=，则()21102a b ⋅=⨯+-⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．
3．D
【分析】
根据向量线性运算可得+=AB OA OB ，由坐标可得结果.
【详解】
()2,2+=+==-AB OA OA AB OB
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
4．B
【分析】
根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为//a b ，所以有1(6)23x x ⨯-=⇒=-，
故选：B
【点睛】
本题考查了已知平面向量共线求参数问题，属于基础题.
5．C
【解析】
试题分析：()()()2,41,31,1DA CB AB AC ==-=-=,故选C.
考点：平面向量的线性运算．
6．C
【分析】 利用公式cos a b a b α⋅=⋅及向量数量积的坐标运算进行求解. 【详解】
设a 与b 的夹角为α，则121cos 21a b a b α⨯-⋅===+⋅， 又[0,180]α∈，3πα∴=
，即a 与b 的夹角是3π. 故选：C
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算、向量的夹角，属于基础题.
7．A
【分析】
由已知条件可得23BM BC =，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案. 【详解】
由点M 满足2BM MC =，可得23BM BC =
, 由图可知()
2212++
+3333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC ===-=+, 故选：A
【点睛】
本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.
8．C
【分析】
由正弦定理求解即可.
【详解】 由正弦定理可知 sin sin b c B C =
，则sin 241
sin 2b C c B ===
故选：C
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.
9．D
【分析】
利用正弦定理进行边化角运算，化简可得到sin 2sin 2A B =，结合三角形中角的范围则可得到角的关系.
【详解】
解：cos cos a A b B =，sin cos sin cos A A B B ∴=，即sin 2sin 2A B =，
因为A ，B 为ABC ∆中的角，所以0,0A B ππ<<<<，则有22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查解三角形边角互化的应用，考查根据三角函数值判断角的关系，考查学生对三角函数的熟练应用能力，属于基础题.
10．A
【分析】
由222a b c =-
利用余弦定理可得cos 2
B =
，结合B 的范围即可得B 的值． 【详解】
ABC 中，222a b c =-+，
可得：222a c b +-=，
∴由余弦定理可得：222cos 222
a c
b B a
c ac +-===， ()
0,180B ∈，
45B ∴=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11．B
【分析】 根据正弦定理可得
sin sin BC AB A C
=，直接代入即可得解. 【详解】
由正弦定理可得： sin sin BC AB A C
=，
代入可得：1sin A
=， 解得1sin 2
A =， 因为在ABC 中，所以0A π<<， 所以6A π
=或56A π=
， AB BC >，所以C A >，
所以6A π
=，
故选：B.
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，考查了大边对大角的原理，考查了计算能力，属于基础题. 12．D
【分析】
根据正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数恒等变换对各个命题进行化简判断，即可得解.
【详解】 由sin sin a b A B
=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B C S a A =，①正确； 若()2cosBsinA sinC sin A B sinAcosB cosAsinB ==+=+，
∴0cosBsinA cosAsinB -=，()0sin A B -=，∵A ，B 是三角形内角，∴0A B -=， 即A B =，ABC 为等腰三角形，②错；﹐
由余弦定理2222c a b abcosC =+-，又sin sin sin a b c A B C
==， ∴2222sin C sin A sin B sinAsinBcosC =+-，③正确；
()()2222()()a b sin A B a b sin A B +-=-+， 则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，∴22sin cos cos sin a A B b A B
=，由正弦定理得 22sin cos sin sin cos sin =A B A A B B
三角形中0sinA ≠.0sinB ≠，则sinAcosA sinBcosB =， 22sin A sin B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=
，④正确.
故选：D .
【点睛】 本题考查了正余弦定理解三角性，同时考查了面积公式，解题关键是熟练利用公式进行化简变形，考查了计算能力，属于基础题.
13
【解析】 a 在b 方向上的投影为cos ,5a b a b
a a
b a a b b
⋅⋅
=⋅
==⋅=14．【分析】 根据向量垂直的坐标表示可得2m =-，再根据模长公式可得解.
【详解】
因为a b ⊥，所以14
20m ⨯+⨯=，解得2
m =-，
所以(4,2)b =-，所以2||44b =+
=故答案为：【点睛】 本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了模长公式，属于基础题. 15．25
2
π 【分析】 根据三角形的面积公式1sin 2S ac B =
，得到
c =，再根据余弦定理可得5b =，进一步利用正弦定理可以得到外接圆的半径，最终得到答案.
【详解】
由题意可得1sin 2
22c S ac
B ===，则c = 再由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =
+-
13225=+-
=， 则5b =，再由正弦定理可得，
22
b r sinB === 三角形外接圆的半径为：2r =，
ABC 的外接圆的面积为2252
r ππ=
. 故答案为：
252π. 【点睛】 本题考查三角形外接圆的知识点，涉及到三角形的面积公式以及正余弦定理，属于比较常见的中等题型.
16
．【解析】
试题分析:由题设可知在
中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得
,又因为,所以,应填
1006. 考点：正弦定理及运用． 17．（1）；（2）0【分析】
（1）由数量积的坐标公式得0x +=，计算即得x ；
（2）先算出2a →=，b →=
，再由夹角公式列方程2=， 解方程即得结果.
【详解】
（1）因为a b →→⊥，所以0a b →→⋅=，即0x =，得x =
（2）2a →=，b →=a b x →→
⋅= 所以cos ,cos30a b a b a b →→
→→→→⋅=︒=== 整理得20x =，得0x =或x =【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
18．（1）34±
，（2 【分析】
（1）利用向量垂直的性质求出k 的值；
（2）由()2a b a b +=
+，再利用向量的数量积公式求解即可 【详解】 解：（1）因为3,4a b ==，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直， 所以()()22229160a kb a kb a k b k +⋅-=-=-=， 解得34
k =±， （2）当a 与b 的夹角为3π时， ()222
292a b a b a a b b +=
+=+⋅+=+=，
【点睛】 此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
19．（1）23B π=
；（2）4+【分析】
（1）已知等式利用正弦定理化边为角后可求得B 角；
（2）利用余弦定理列出关于,a c 的关系式求得a c +后可得周长．
【详解】
解：（1）因为sin cos b C B =，所以sin sin cos B C C B =．
又sin 0C ≠，所以sin =B B ，即tan B =
又0B π<<，所以23
B π=． （2）由余弦定理得22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-．
因为4b ac ==，所以4a c +=．
故ABC 的周长为4+．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是用正弦定理进行边角转换．
20．（1）见解析（2【详解】
⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a
b
a b R R =,其中R 是ABC ∆的外接圆半径，
所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形.
⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.
由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去）
所以1
1
sin 4sin 223S ab C π
==⨯⨯=。