2020人教九下二十七章相似三角形单元测试卷(实用含解析)

2020人教九下二十七章相似三角形单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）
1. 下列四条线段为成比例线段的是（）
A.a=10，a=5，a=4，a=7
B.a=1,a=√3,a=√6,a=√2
C.a=8，a=5，a=4，a=3
D.a=9,a=√3,a=3,a=√6
2. 若a
a+a =a
a+a
=a
a+a
=a，则a的值是（）
A.1
2B.−1 C.1
2
或−1 D.3
2
3. 如图，△aaa和△a1a1a1是以点a为位似中心的位似三角形，若a1为aa的中点，aa=4，则a1a1的长为（）
A.1
B.2
C.4
D.8
4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点(a, a)对应大鱼上的点( )
A.(−2a, 2a)
B.(−2a, −2a)
C.(−2a, −2a)
D.(−2a, −a)
5. 若点a数线段aa的黄金分割点，且aa>aa，则下列说法正确的有（）
①aa=√5+1
2aa；②aa=3−3−√5
2
aa；③aa:aa=aa:aa；④aa≈
0.618aa．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6. 下列说法中：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形aaaaa与五边形
a′a′a′a′a′位似，则在五边形中连线组成的△aaa与△a′a′a′也是位似的．正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
7. 如图，已知点a、a分别在△aaa的边aa、aa的延长上，下列给出的条件中，不能判定aa // aa的是（）
A.aa:aa＝aa:aa
B.aa:aa＝aa:aa
C.aa:aa＝aa:aa
D.aa:aa＝aa:aa
8. 如图，以点a为位似中心，把△aaa放大为原图形的2倍得到△a′a′a′，以下说法中错误的是()
A.△aaa∼△a′a′a′
B.点a，点a，点a′三点在同一直线上
C.aa:aa′＝1:2
D.aa // a′a′
9. 下列命题：
①所有的等腰三角形都相似；
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
③四个角对应相等的两个梯形相似；
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 如图，以某点为位似中心，将△aaa进行位似变换得到△aaa，记△aaa 与△aaa对应边的比为a，则位似中心的坐标和a的值分别为( )
C.(2, 2)，2
D.(2, 2)，3
A.(0, 0)，2
B.(2, 2)，1
2
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）
11. 将5a=2
3
a化成比例式是________．
12. 两相似四边形的面积的比是1:4，它们的周长差是6aa，则它们的周长分别是________和________．
13. 已知△aaa∽△a′a′a′，△a′a′a′的面积为6aa2，周长是△aaa周长的一半，aa=8aa，则aa边上高等于________．
14. △aaa中，aa=4，aa=2，在aa的延长线上取一点a，当
aa=________时，△aaa∽△aaa．
15. 在△aaa中，a为aa边上一点，∠aaa＝∠aaa，如果aa＝9，aa ＝7，那么aa＝________．
三、解答题（本题共计 8 小题，共计75分，）
16.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，△aaa的顶点a(−2, 0)、a(0, 2)
（1）画出与△aaa关于点a对称的△a1a1a1；
（2）画出一个以点a为位似中心的△a2a2a2，使得△a2a2a2与△a1a1a1的相似比为2．
17.(9分) 已知：线段a、a、a，且a
2=a
3
=a
4
．
（1）求a+a
a
的值．
（2）如线段a、a、a满足a+a+a=27．求a、a、a的值．
18. （9分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板aaa来测量操场旗杆aa的高度，他们通过调整测量位置，使斜边aa与地面保持平行，并使边aa与旗杆顶点a在同一直线上，已知aa＝0.5米，aa＝0.25米，目测点a到地面的距离aa＝1.5米，到旗杆的水平距离aa＝20米，求旗杆的高度．
19. （9分）如图，在△aaa中，点a，a，a分别是边aa，aa，aa的中点，△aaa与△aaa是否位似？如果位似，找出位似中心？
20.(9分) 如图，⊙a与a轴相切于坐标原点a，⊙a与a轴交于点a(0, 2)，点a
的坐标为(−2√2, 0)，连接aa交⊙a于点a.
(1)求线段aa的长；
(2)求直线aa的函数解析式．
21.(10分) 如图，已知△aaa内接于⊙a，且aa=aa，直径aa交aa于点a，a是aa上的一点，使aa // aa．
(1)求证：aa=aa；
(2)试判断四边形aaaa的形状，并说明理由；
(3)若aa=8，aa=10，求aa的长．
22.(10分) 在aa△aaa中，∠aaa=90∘，a是aa边上一点，以aa为直径的⊙a与边aa相切于点a，连接aa并延长，与aa的延长线交于点a．
（1）求证：aa=aa；
（2）若aa=6，aa=4，求⊙a的面积．
23.(11分) 如图，aa是⊙a的直径，a、a为⊙a上不同于a、a两点，并且a、a位于直径aa的两侧，aa＝aa
（1）如图1，求证：∠aaa＝2∠aaa；
（2）如图2，aa、aa交于点a，过点a作aa⊥aa于点a，延长aa交aa于
点a，求证：aa＝aa；
（3）在（2）的条件下，若tan∠aaa=1
，aa＝5，求线段aa的长．
2
参考答案与试题解析
2020人教九下二十七章相似三角形单元测试卷
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.
【答案】
B
【考点】
比例线段
【解析】
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于
两边两项的积，相等即成比例．
【解答】
解：a、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；
a、从小到大排列，由于√2×√3=1×√6，所以成比例，符合题意；
a、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；
a、从小到大排列，由于√6×3≠√3×9，所以不成比例，不符合题意．
故选a．
2.
【答案】
C
【考点】
比例的性质
【解析】
分两种情况讨论．①a+a+a≠0，利用比例的等比性质得出；②a+a+a=0，利用分式的性质得出．
【解答】
解：当a+a+a≠0时，根据比例的等比性质得到：a+a+a
a+a+a+a+a+a =a+a+a
2(a+a+a)
=
1
2
=a；
当a+a+a=0时，a+a=−a，a=a
−a
=−1．
因而a的值是1
2
或−1．
故选a．
3.
【答案】
B
【考点】
位似变换
【解析】
根据位似变换的性质得到a1a1
aa =aa1
aa
，a1a1 // aa，再利用平行线分线段成比例定
理得到aa1=aa1，所以a1a1=aa1，然后把aa=1aa，aa=4代入计算即可．
解：∵ a1为aa的中点，
∴ aa1=1
2
aa，
∵ △aaa和△a1a1a1是以点a为位似中心的位似三角形，
∴ a1a1
aa =aa1
aa
，a1a1 // aa，
∴ aa1
aa =aa1
aa
，
∴ a1a1
aa =aa1
aa
，
即a1a1
4=1
2
∴ a1a1=2．
故选a．
4.
【答案】
B
【考点】
作图-位似变换
位似变换
【解析】
位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为1:2．
【解答】
解：根据图形可得，两个图形的位似比是1:2，
∴ 对应点是(−2a, −2a).
故选a．
5.
【答案】
B
【考点】
黄金分割
【解析】
根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．
【解答】
解：∵ 点a数线段aa的黄金分割点，
∴ aa=√5+1
2
aa，①正确；
aa=√5−1
2
aa，②错误；
aa:aa=aa:aa，③错误；
aa≈0.618aa，④正确．
故选：a．
6.
【答案】
C
位似图形的判断
【解析】
利用位似图形的性质，各边之间的关系，以及对应点的关系可以解决．
【解答】
解：利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，因为它是一种特殊的相似，所以①正确②错误，
两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心在两个图形之间，③正确；
若五边形aaaaa与五边形a′a′a′a′a′′位似，则在五边形中连线组成
的△aaa与△a′a′a′，画出图形，可得它也是位似．④正确．
所以①③④正确．
故选a．
7.
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
由平行线分线段成比例定理的逆定理得出a、a、a正确，a不正确，即可得出结论．【解答】
∵ aa:aa＝aa:aa，
∴ aa // aa，选项a正确；
∵ aa:aa＝aa:aa不能判定aa // aa，
∴ 选项a不正确；
∵ aa:aa＝aa:aa，
∴ aa // aa，选项a正确；
∵ aa:aa＝aa:aa，
∴ aa // aa，选项a正确．
8.
【答案】
C
【考点】
位似的性质
作图-位似变换
【解析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】
解：∵ 以点a为位似中心，把△aaa放大为原图形的2倍得到△a′a′a′，
∴ △aaa∼△a′a′a′，a正确；
∴ 点a，点a，点a′三点在同一直线上，a正确；
∴ aa:aa′=1:2，a错误;
∴ aa // a′a′，a正确.
故选a．
9.
【答案】
B
【解析】
根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
【解答】
解：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确；
③四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误；
④所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有2个．
故选：a．
10.
【答案】
C
【考点】
位似变换
确定位似中心
位似的有关计算
【解析】
两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得a．
【解答】
解：连结aa，aa，如图：
易得交点是位似中心为(2, 2)，
a=aa:aa=6:3=2.
故选a．
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）
11.
【答案】
:a（答案不唯一）
5:a=2
3
【考点】
比例的性质
【解析】
a化成比例式，如果使5与a做比例的两逆用比例的基本性质，把所给的等式5a=2
3
个外项，那么2
与a就做比例的两个内项，据此写出一个比例式即可．
3
【解答】
:a（答案不唯一）．
故答案为5:a=2
3
12.
【答案】
6aa,12aa
【考点】
相似多边形的性质
【解析】
由两相似四边形的面积的比是1:4，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方与相似
多边形的周长比等于相似比，即可求得它们的周长比，又由它们的周长差是6aa，即
可求得它们的周长．
【解答】
解：∵ 两相似四边形的面积的比是1:4，
∴ 这两个相似四边形的周长的比是1:2，
设它们的周长分别是aaa，2aaa，
∵ 它们的周长差是6aa，
∴ 2a−a=6，
解得：a=6，
∴ 它们的周长分别是6aa，12aa．
故答案为：6aa，12aa．
13.
【答案】
6aa
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
由△aaa∽△a′a′a′，△a′a′a′的周长是△aaa周长的一半，即可
求得△aaa与△a′a′a′的面积比，又由△a′a′a′的面积为6aa2，即
可求得△aaa的面积，然后由aa=8aa，可求得aa边上高．
【解答】
解：∵ △aaa∽△a′a′a′，△a′a′a′的周长是△aaa周长的一半，∴ △aaa与△a′a′a′的相似比为：2:1，
∴ △aaa与△a′a′a′的面积比为：4:1，
∵ △a′a′a′的面积为6aa2，
∴ △aaa的面积为：6×4=24(aa2)，
∵ aa=8aa，
∴ aa边上高等于6aa．
故答案为：6aa．
14.
【答案】
6
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
由于两三角形有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当aa=aa时，△aaa∽△aaa，然后利用相似比可计算出aa，从而可得
【解答】
解：如图，
∵ ∠aaa=∠aaa，
∴ 当aa
aa =aa
aa
时，△aaa∽△aaa，
即aa
4=4
2
，解得aa=8，
∴ aa=aa−aa=8−2=6．
故答案为6．
15.
【答案】
12
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
只要证明△aaa∽△aaa，可得aa2＝aa⋅aa解决问题；【解答】
如图，
∵ ∠a＝∠a，∠aaa＝∠aaa，
∴ △aaa∽△aaa，
∴ aa:aa＝aa:aa，
∴ aa2＝aa⋅aa＝9×16，
∴ aa＝12，
三、解答题（本题共计 8 小题，共计75分）
16.
【答案】
解：（1）如图所示，△a1a1a1为所求三角形；
（2）如图所示，△a2a2a2为所求三角形．
【考点】
作图-相似变换
作图-旋转变换
【解析】
（1）画出与△aaa关于点a对称的△a1a1a1，如图所示；
（2）画出一个以点a为位似中心的△a2a2a2，使得△a2a2a2与△a1a1a1的相似比为2即可．
【解答】
解：（1）如图所示，△a1a1a1为所求三角形；
（2）如图所示，△a2a2a2为所求三角形．
17.
【答案】
解：（1）∵ a
2=a
3
，
∴ a
a =2
3
，
∴ a+a
a =5
3
，
（2）设a
2=a
3
=a
4
=a，
则a=2a，a=3a，a=4a，∵ a+a+a=27，
∴ 2a+3a+4a=27，
∴ a=3，
∴ a=6，a=9，a=12．【考点】
比例的性质
【解析】
（1）根据比例的性质得出a
a =2
3
，即可得出a+a
a
的值；
（2）首先设a
2=a
3
=a
4
=a，则a=2a，a=3a，a=4a，利用a+a+a=
27求出a的值即可得出答案．【解答】
解：（1）∵ a
2=a
3
，
∴ a
a =2
3
，
∴ a+a
a =5
3
，
（2）设a
2=a
3
=a
4
=a，
则a=2a，a=3a，a=4a，
∵ a+a+a=27，
∴ 2a+3a+4a=27，
∴ a=3，
∴ a=6，a=9，a=12．
18.
【答案】
旗杆的高度为11.5a
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
根据题意可得：△aaa∽△aaa，进而利用相似三角形的性质得出aa的长，即可得出答案．
【解答】
由题意可得：△aaa∽△aaa，
则aa
aa =aa
aa
，
∵ aa＝0.5米，aa＝0.25米，aa＝1.5a，aa＝20a，
∴ 0.5
20=0.25
aa
，
解得：aa＝10，
故aa＝aa+aa＝10+1.5＝11.5(a)，
19.
【答案】
解：△aaa与△aaa是位似图形，位似中心是点a，
理由：∵ 点a，a，a分别是边aa，aa，aa的中点，
∴ aa
aa =aa
aa
=aa
aa
=1
2
，
∴ △aaa∼△aaa，
∵ 连接aa，aa，aa交于一点a，
故△aaa与△aaa是位似图形，位似中心是点a.
【考点】
位似图形的判断
确定位似中心
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：△aaa与△aaa是位似图形，位似中心是点a，
理由：∵ 点a，a，a分别是边aa，aa，aa的中点，
∴ aa
aa =aa
aa
=aa
aa
=1
2
，
∴ △aaa∼△aaa，
∵ 连接aa，aa，aa交于一点a，
故△aaa与△aaa是位似图形，位似中心是点a.
20.
【答案】
解：(1)∵ ⊙a与a轴切于坐标原点a，且交a轴于点a(0, 2)，∴ aa⊥a轴于a，aa是直径且aa=2，
∴ aa=1，
又∵ aa交⊙a于a，∴ aa=1，
∵ a(−2√2, 0)，∴ aa=2√2，
aa△aaa中，根据勾股定理得：aa=√(2√2)2+12=3，
则aa=aa−aa=2；
(2)过a作aa⊥aa于a，
∵ aa⊥a轴，
∴ aa // aa，
∴ aa
aa =aa
aa
=aa
aa
，
又∵ aa=1，aa=2，aa=3，aa=2√2，
∴ aa=aa⋅aa
aa =2
3
，aa=aa⋅aa
aa
=4
3
√2，
∴ aa=aa−aa=2
3
√2，
∴ a(−2
3√2, 2
3
)，
根据直线aa交a轴于点a(0, 2)，设直线aa的解析式为a=aa+2(a≠0)，
将a的坐标代入得：−2
3√2a+2=2
3
，
∴ a=√2，
∴ 直线aa的解析式为a=√2a+2．
【考点】
一次函数的综合题
比例线段
比例的性质
切线的性质
勾股定理
【解析】
（1）由圆a与a轴切于坐标原点，且与a轴交于a点，根据切线的性质得到aa垂直于a轴，且aa为直径，得到aa的长，由aa的长求出半径aa的长，再由aa为圆的半径，得出aa的长，同时由a的坐标得出aa的长，在三角形aaa中，由
aa及aa的长，利用勾股定理求出aa的长，由aa−aa即可求出aa的长；（2）过a作aa垂直于a轴，由aa也垂直于a轴，得到aa与aa平行，由平行得比例，列出比例式，将aa，aa，aa，aa的长代入，求出aa及aa的长，由aa−aa求出aa的长，根据aa及aa的长，得出a的坐标，由直线aa与a轴的交点a的坐标设出直线aa的方程为a=aa+2，a不为0，将a的坐标代入确定出a的值，即可确定出直线aa的解析式．
【解答】
解：(1)∵ ⊙a与a轴切于坐标原点a，且交a轴于点a(0, 2)，
∴ aa⊥a轴于a，aa是直径且aa=2，
∴ aa=1，
又∵ aa交⊙a于a，∴ aa=1，
∵ a(−2√2 0)，∴ aa=2√2，
aa△aaa中，根据勾股定理得：aa=√(2√2)2+12=3，
则aa=aa−aa=2；
(2)过a作aa⊥aa于a，
∵ aa⊥a轴，
∴ aa // aa，
∴ aa
aa =aa
aa
=aa
aa
，
又∵ aa=1，aa=2，aa=3，aa=2√2，
∴ aa=aa⋅aa
aa =2
3
，aa=aa⋅aa
aa
=4
3
√2，
∴ aa=aa−aa=2
3
√2，
∴ a(−2
3√2, 2
3
)，
根据直线aa交a轴于点a(0, 2)，设直线aa的解析式为a=aa+2(a≠0)，
将a的坐标代入得：−2
3√2a+2=2
3
，
∴ a=√2，
∴ 直线aa的解析式为a=√2a+2．21.
【答案】
(1)证明：∵ aa是直径，
∴ ∠aaa=∠aaa=90∘，
在aa△aaa和aa△aaa中，{aa=aa
aa=aa
，
∴ aa△aaa≅aa△aaa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
∵ aa=aa，
∴ aa=aa；
(2)解：四边形aaaa是菱形．
理由如下：
∵ aa是直径，aa=aa，
∴ aa⊥aa，aa=aa，
∵ aa // aa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
在△aaa和△aaa中
{∠aaa=∠aaa
aa=aa
∠aaa=∠aaa=90∘
，
∴ △aaa≅△aaa，
∴ aa=aa，
∴ 四边形aaaa是平行四边形，
∵ ∠aaa=∠aaa，
∴ aa=aa，
∴ 四边形aaaa是菱形；
(3)解：∵ aa是直径，aa⊥aa，aa=aa，
∴ aa2=aa⋅aa，
设aa=a，
∵ aa=8，aa=10，
∴ 42=a(10−a)，
解得：a=2或a=8（舍去）
在aa△aaa中，
aa=√aa2+aa2=√42+22=2√5．
【考点】
全等三角形的性质与判定
射影定理
垂径定理
菱形的判定
勾股定理
【解析】
（1）证明△aaa≅△aaa，得到∠aaa=∠aaa，根据等腰三角形的性质
即可证明；
（2）菱形，证明△aaa≅△aaa，得到aa=aa，可知四边形aaaa是平行四边形，易证aa=aa，可证明结论；
（3）设aa=a，则根据aa2=aa⋅aa列方程求出aa，再用勾股定理求出aa．
【解答】
(1)证明：∵ aa是直径，
∴ ∠aaa=∠aaa=90∘，
在aa△aaa和aa△aaa中，
{aa=aa
aa=aa
，
∴ aa△aaa≅aa△aaa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
∵ aa=aa，
∴ aa=aa；
(2)解：四边形aaaa是菱形．
理由如下：
∵ aa是直径，aa=aa，
∴ aa⊥aa，aa=aa，
∵ aa // aa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
在△aaa和△aaa中
{∠aaa=∠aaa
aa=aa
∠aaa=∠aaa=90∘
，
∴ △aaa≅△aaa，
∴ aa=aa，
∴ 四边形aaaa是平行四边形，
∵ ∠aaa=∠aaa，
∴ aa=aa，
∴ 四边形aaaa是菱形；
(3)解：∵ aa是直径，aa⊥aa，aa=aa，∴ aa2=aa⋅aa，
设aa=a，
∵ aa=8，aa=10，
∴ 42=a(10−a)，
解得：a=2或a=8（舍去）
在aa△aaa中，
aa=√aa2+aa2=√42+22=2√5．
22.
【答案】
（1）证明：如图，连接aa
∵ aa切⊙a于a，
∴ aa⊥aa，
又∠aaa=90∘，即aa⊥aa，
∴ aa // aa，
∴ ∠aaa=∠a，
又aa=aa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
∴ ∠aaa=∠a，
∴ aa=aa；
（2）解：设⊙a半径为a，
由aa // aa得△aaa∽△aaa，
∴ aa
aa =aa
aa
，
即a+4
2a+4=a
6
，
∴ a2−a−12=0，
解之得a1=4，a2=−3（舍），
经检验，a=4是原分式的解．
∴ a⊙a=aa2=16a．
【考点】
切线的性质
相似多边形的性质
【解析】
（1）作辅助线，连接aa，根据切线的性质知aa⊥aa，已知∠aaa=90∘，可
知aa // aa，得∠aaa=∠a，再根据aa=aa，可知∠aaa=∠aaa，从而可得∠aaa=∠a，aa=aa；
（2）根据△aaa∽△aaa，可将⊙a的半径求出，代入圆的面积公式a⊙a=
aa2，计算即可．
【解答】
（1）证明：如图，连接aa
∵ aa切⊙a于a，
∴ aa⊥aa，
又∠aaa=90∘，即aa⊥aa，
∴ aa // aa，
∴ ∠aaa=∠a，
又aa=aa，
∴ ∠aaa=∠aaa，
∴ ∠aaa=∠a，
∴ aa=aa；
（2）解：设⊙a半径为a，
由aa // aa得△aaa∽△aaa，
∴ aa
aa =aa
aa
，
即a+4
2a+4=a
6
，
∴ a2−a−12=0，
解之得a1=4，a2=−3（舍），经检验，a=4是原分式的解．
∴ a⊙a=aa2=16a．
23.
【答案】
证明：如图1中，连接aa、aa．
在△aaa和△aaa中，
{aa=aa aa=aa aa=aa
，
∴ △aaa≅△aaa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∵ aa＝aa，
∴ ∠a＝∠aaa，
∵ ∠a＝∠aaa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ aa // aa，
∠aaa＝∠aaa，
∵ ∠aaa＝2∠aaa，
∴ ∠aaa＝2∠aaa．
证明：如图2中，连接aa．
∵ aa⊥aa，
∴ ∠aaa＝90∘，
∵aa是直径，
∴ ∠aaa＝90∘，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ aa // aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，∠aaa＝∠aaa，∵ aa＝aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ aa＝aa．
如图3中，连接aa、aa，延长aa交aa于a．则aa⊥aa，aa＝aa．
易知∠aaa＝∠aaa＝∠aaa，
∴ tan∠aaa＝tan∠aaa＝tan∠aaa=1
2
，设aa＝2√5a，
则aa＝2a，aa＝4a，aa=4√5
5a，aa=8√5
5
a，
∴ aa＝aa−aa=3√5
5
a，
∴ tan∠aaa=aa
aa =
3√5
5
a
5
a
=3
4
，
∵ aa // aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ tan∠aaa=3
4
，∵ aa＝5，∴ aa＝3，aa＝4，
∵ tan∠aaa=1
2=aa
aa
，
∴ aa＝8，aa＝4√5，aa＝11，
∴ aa=4
3×11=44
3
，aa=5
3
×11=55
3
，
∴ aa＝aa−aa=40
3
，
∵ ∠aaa＝∠aaa，∠aaa＝∠aaa，∴ △aaa∽△aaa，
∴ aa
aa =aa
aa
，
∴ aa
40
3
=
45
，
∴ aa=10√5
3
．
【考点】
圆与相似的综合
圆与圆的综合与创新
圆与函数的综合
【解析】
（1）如图1中，连接aa、aa．由△aaa≅△aaa∠aaa＝∠aaa，想办法证明aa // aa，可得∠aaa＝∠aaa，由此即可解决问题．
（2）如图2中，连接aa ．只要证明aa // aa ，即可推出∠aaa ＝∠aaa ，∠aaa ＝∠aaa ，由aa ＝aa ，推出∠aaa ＝∠aaa ，即可证明∠aaa ＝∠aaa ，推出aa ＝aa ．
（3）如图3中，连接aa 、aa ，延长aa 交aa 于a ．则aa ⊥aa ，aa ＝aa ．易知∠aaa ＝∠aaa ＝∠aaa ，推出tan ∠aaa ＝tan ∠aaa ＝tan ∠aaa =1
2，设aa ＝2√5a ，则aa ＝2a ，aa ＝4a ，aa =
4√5
5
a ，aa =
8√5
5
a ，推出aa ＝aa −aa =
3√5
5
a ，推出tan ∠aaa =
aa
aa =
3√5
5a 45
5
a =3
4，由
aa // aa ，推出∠aaa ＝∠aaa ，推出tan ∠aaa =3
4，由aa ＝5，推出aa ＝3，aa ＝4，由tan ∠aaa =1
2=aa
aa ，推出aa ＝8，aa ＝4√5，aa ＝11，
推出aa =4
3×11=44
3，aa =5
3×11=55
3，推出aa ＝aa −aa =40
3，由△
aaa ∽△aaa ，可得aa aa =aa
aa ，由此即可解决问题．
【解答】
证明：如图1中，连接aa 、aa ．
在△aaa 和△aaa 中，
{aa =aa aa =aa aa =aa
， ∴ △aaa ≅△aaa ， ∴ ∠aaa ＝∠aaa ， ∵ aa ＝aa ， ∴ ∠a ＝∠aaa ， ∵ ∠a ＝∠aaa ， ∴ ∠aaa ＝∠aaa ， ∴ aa // aa ， ∠aaa ＝∠aaa ，
∵ ∠aaa ＝2∠aaa ， ∴ ∠aaa ＝2∠aaa ． 证明：如图2中，连接aa ．
∵ aa⊥aa，
∴ ∠aaa＝90∘，
∵ aa是直径，
∴ ∠aaa＝90∘，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ aa // aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，∠aaa＝∠aaa，
∵ aa＝aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ aa＝aa．
如图3中，连接aa、aa，延长aa交aa于a．则aa⊥aa，aa＝aa．
易知∠aaa＝∠aaa＝∠aaa，
∴ tan∠aaa＝tan∠aaa＝tan∠aaa=1
2
，设aa＝2√5a，
则aa＝2a，aa＝4a，aa=4√5
5a，aa=8√5
5
a，
∴ aa＝aa−aa=3√5
5
a，
∴ tan∠aaa=aa
aa =
3√5
5
a
45
5
a
=3
4
，
∵ aa // aa，
∴ ∠aaa＝∠aaa，
∴ tan∠aaa=3
4
，∵ aa＝5，∴ aa＝3，aa＝4，
∵ tan∠aaa=1
2=aa
aa
，
∴ aa＝8，aa＝4√5，aa＝11，
∴ aa=4
3×11=44
3
，aa=5
3
×11=55
3
，
∴ aa＝aa−aa=40
3
，
∵ ∠aaa＝∠aaa，∠aaa＝∠aaa，∴ △aaa∽△aaa，
∴ aa
aa =aa
aa
，
∴ aa
40
3
=
45
，
∴ aa=10√5
．
3。