定积分在几何学上的应用研究报告

8 2a 3
2 sin2 udu
0
0
4 3a 3
8 2a 3
1 2
2
6 3a 3
第六章 定积分的应用
16
说明：Vy 也可按柱壳法求出
Vy
2a 2 xydx 2 2 a t sin t
0
0
a2 1 cost 2 dt
8 a3
2 0
t
sint
sin4 t dt 2
16 a3 2u 0
23
例 13 求阿基米德螺线 a a 0相应于0 2 一段的弧长。
解：
弧长元素为
从而，所求弧长
ds 2 2 d
a 2 2 a 2d a 1 2d
s 2 a 1 2d 0
a
2
1 2
1 2
ln
1
2
2 0
a
2
2
1 4 2
ln
2
1
4 2
第六章 定积分的应用
x t y t
给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值t1 和t2 。
Y
t 1
对应
x
a
Y a
O
bX
O
a
bX
则曲边梯形面积 A
t2
t1
t t dt
t1 对应x b
第六章 定积分的应用
5
例 求由摆线x a t sint ，y a 1 cost a 0 的一拱与x 轴所围
s b 1 y 2dx b 1 f 2 x dx
a
a
第六章 定积分的应用
20
2.曲线弧由参数方程
x y
t t
t
给出
弧长元素（即弧微分）为ds 2 t 2 t dt ，因此
s
2 t 2 t dt
3.曲线弧由极坐标方程 给出 令x cos ，y sin ，则弧长元素（即弧微分）为 ds x 2 y 2 d 2 2 d
0 0
2 ，于是所求表面积为
1
F
1 2
2 y 0
x
2 0
y
2 0
2 2 y
1
1 y 2dx
5 2 2 x 1 1
1
1 dx
4 x 1
11 5
6
1
6
第六章 定积分的应用
27
习题6-2
作业
3，4，12，13，22，25
第六章 定积分的应用
28
a3 2 t 2 sint 2t sin2 t sin3 t dt 0
a3
u2
2 u
2
sin u
2 u
sin2 u sin3 u du
2 2a3 u sin udu 2 2a 3 sin2 udu
4 3a 3
4 2a 3
sin2 udu
4 3a 3
第二节 定积分在几何学上的应
一、平面图形的面积
用
1.直角坐标情形
设曲线y f x f x 0及直线x a ，x b a b 与x
轴所围成的曲边梯形面积为A ，则对应于 x ,x dx 的面积元素为
dA f x dx ，
从而
A
b f a
x dx ，
在 a,b 上夹在两条曲线y
tan dx
tan
R 2x
x
3
R
3
0
2 3
R
3
tan
第六章 定积分的应用
18
思考：可否选择y 作积分变量？此时截面面积函数如何表示？如何求体积？
解：
仍如上建立直角坐标系，底面圆的方程为
x2 y2 R2 立体中垂直于y 轴的截面是矩形，其面积为
A y 2x y tan 2 tan y R 2 y 2 0 y R
y 2
o x 2y
y
2 y x 2 y 2 2 y o x
x 2 y 2 y y o x
2 y x 2 y 2 o x
令 x 0，则侧面积元素
dF 2 yds 2 y 1 y 2dx 2f x 1 f 2 x dx
从而
F
b
a
2 f
1 4
sin
2
2
1 2
a2
3 2
a2
3 4
a2
2a 2
5 4
a2
2a 2
第六章 定积分的应用
10
例 计算双纽线 2 a2 cos 2 a 0所围成的图形的面积，以及它与圆
a 2 sin 所围成的图形的面积。
解：
记双纽线围成面积为
A 1
，它与圆围成面积为
A 2
，利用对称性，有
A1
4
3x 1dx 2
2
2 3
2 3
3x
2
1
3 2
2
8 9
5 2
3 2
1
1
第六章 定积分的应用
25
四、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线y f x 定义在 a,b 上且f x 0 ，它绕x 轴旋转一
周后所得到的旋转体的侧面积为F ，则对应于 x ,x x 的侧面积部分量
F
x 2
因此
s
2 2 d
第六章 定积分的应用
21
例
计算连续曲线段y
x
2
解：
costdt 的长度。
cost
0 ，
2
x
2
从而，所求弧长
s
2
2
1 y 2dx
2
2 2 1 cos x dx 0
2 2 0
2 cos x dx 2
2
2
2
sin
x 2 2 0
4
第六章 定积分的应用
3 4
1 2
2
3 2
a2
第六章 定积分的应用
9
例 计算心形线 a 1 cos a 0 与圆 a 所围成的图形的面积。
解：
利用对称性，有
A
1 2
a2
2
2
1 2
a2
1 cos
2 d
1 2
a2
a2
3
2
2
2 cos
1 2
cos
2
d
1 2
a2
a2
3 2
2 sin
平面截圆柱体所得立体的体积。
解：
取平面与圆柱体底面的交线为x 轴，底面上过圆心且垂直于x 轴的直线为
y 轴，则底面圆的方程为
x2 y2 R2 立体中垂直于x 轴的截面是直角三角形，其面积为
A x
1 R 2
2
x 2 tan R
x
R
利用对称性，于是所求立体体积为
V
2
R 0
1 2
R2 x2
x
1 f 2 x dx
第六章 定积分的应用
26
例 设曲线y x 1 ，过原点作其切线，计算由此曲线、切线及x 轴围成 的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的表面积。
解：
设切点为M
x 0 ,y 0
，则过点M 的切线斜率为k
y x x0
2
1，
x 0
1
由
y
0
y 0
x
2
x
x
0
0
0 1
1
得
x y
度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即
n
s
lim
0
i
M i 1M i
，
max i
M
i
M
1
i
并称此曲线弧是可求长的。
定理 光滑曲线弧是可求长的。
1.曲线弧由直角坐标方程y f x a x b 给出
弧长元素（即弧微分）为ds dx 2 dy 2 1 y 2dx ，因此
第六章 定积分的应用
2
例 2 计算抛物线y 2 2x 与直线y x 4 所围成的图形的面积。
解：
由
y y
2
2x x
得交点2,2 及8,4 ，
4
为简便计算，选取y 为积分变量，则有
A
4 2
y
4
1 2
y
2
dy
1 2
y
2
4y
1 6
y
4
3 2
18
第六章 定积分的应用
3
一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程
于是所求立体体积为
V R 2 tan y R 2 y 2dy 0
tan R R 2 y 2d R 2 y 2 0
tan
2 3
R2
y2
3 2
R
0
2 3
R
3
tan
第六章 定积分的应用
19
三、平面曲线的弧长
若在弧AB 上任意做内接折线，当折线段的最大边长 0 时，折线的长
成的图形的面积。
解：
A
2
0
a
1
cost
a
1
cost dt
a 2 2 1 cost 2 dt 0
4a 2
2 0
sin4 t dt 2
8a 2 sin4 udu 0
16a 2 2 sin4 udu 0
16a 2
3 4
1 2
2
3 a 2
第六章 定积分的应用
6
2.极坐标情形
设 在 , 上连续，且 0 。 曲线 及射线 ， 围成一曲边扇形，现在要计算它的
24
习题 6-2
23.计算半立方抛物线y 2
2 3
x
1 3 被抛物线y 2
x 截得的一段
3
弧的长度。
解：
半立方抛物线y 2
2 3
x
1 3 与抛物线y 2
x 关于x 轴对称，
3
由
y
2
y 2
2 3
x
x
3
13
得交点横坐标 x
2 ，利用对称性，所求弧长
s 2 2 1
1 y 2dx 2 2 1
一拱，直线y 0 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。
解：
绕x 轴旋转而成的体积为
Vx
2a y 2dx 2 a y 2dx
0
0
2 0
a2
1
cost 2
a
1
cost dt
2 a3
0
1 cost
3 dt
16 a3
sin6 t dt
0
2
32 a3
2 sin6 udu
sin 2u sin4 udu
16 a3
2
2
2v
sin 2v
cos4 vdv
16 2a 3
2
2
cos4 vdv
32 2a3 2 cos4 vdv 0
32 2a 3
3 4
1 2
2
6 3a 3
第六章 定积分的应用
17
例 9 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 。计算这
y2 b2
1 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转椭球
体的体积。
解一：
利用直角坐标方程，取x 为积分变量，积分区间为 a,a ，有
V a y 2dx a
a a
b 2
b 2x a2
2
dx
b 2x
b
2x
3
a
3a 2
a
2 3
ab
2
2 3
ab
2
4 3
ab
2
第六章 定积分的应用
13
解二：
面积。
在区间 , 上任取小区间 , d ，则对应该小区间上曲边扇形面积 的近似值为
所求曲边扇形的面积为
dA
1 2
2
d
A
1 2
2
d
第六章 定积分的应用
7
例 4 计算阿基米德螺线 a a 0上相应于 从0 变到2 的一段弧与极
轴所围成的图形的面积。
解：
面积元素dA
1 2
a
2
d
，
22
例 12 解：
计算摆线
x y
a a
1
sin cos
的一拱 0
2 的长度。
弧长元素为
ds
dx
2
d
dy d
2
d
a2 1 cos 2 a2 sin2 d
a 2 1 cos d
2a
sin
2
d
s
2 0
2a
sin
2
d
4a
cos
2
2
0
8a
第六章 定积分的应用
4
0
1 a2
2
cos 2d
a2 sin 2 04
a2
A2
2
6 a2 sin2 d
0
4 6
1 2
a2
cos
2d
a2
6
31 4 2
3 4
a2
6
1 2
3 2
第六章 定积分的应用
11
二、体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A x ，A x 在 a,b 上连续，则对应
于 x ,x dx 的体积元素为
0
32 a3
5 6
3 4
1 2
2
5 2a 3
第六章 定积分的应用
15
绕y 轴旋转而成的体积为
Vy
2a 0
x 22dy
2a 0
x 12dy
a2 t sint 2 a sintdt a 2 t sint 2 a sintdt
2
0
a3 2 t sint 2 sintdt 0
利用椭圆参数方程
x y
a cost ，则 b sint
V 2 a y 2dx 0
2
b0 2
sin2 t
a
sint dt
2
2 ab 2 2 sin3 tdt 0
2 ab 2
2 3
1
4 3
ab
2
特别地，当a
b
时，就得到半径为a
的球体的体积为
4 3
a
3
第六章 定积分的应用
14
例 8 计算由摆线x a t sint ，y a 1 cost 相应于0 t 2 的
f 1
x ，y
f 2
x 之间的几何图形
面积即为
A
b
a
f1
x
f2 x dx
第六章 定积分的应用
1
例 1 计算由两条抛物线：y 2 x 、y x 2 所围成的图形的面积。
解：
由
y y
2
x x2
得交点
0,0
及
1,1
，于是
A 1 x x 2 dx 0
2 3
x
3 2
1
1 3
x
3 0
1 3
dV A x dx ，
从而
V
b
a
A x dx
特别地，当考虑连续曲线段y f x a x b 绕x 轴旋转一周围成
的立体体积时，有
V
b
a
f 2
x dx
连续曲线段x y c y d 绕y 轴旋转一周围成的立体体积，有
V
d