山东省东营市广饶县2021-2022学年第一学期期中测试九年级数学试题

山东省东营市广饶县2021-2022学年第一学期期中测试九年级数学试题
一、选择题
1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须( )
A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位名
B. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2.在△ABC中，若|sinA- 1
2|+(
√2
2
-cosB)2=0，则∠C的度数是( )
A. 45°
B. 75°
C. 105°
D. 120°
3.已知y=(m+ 1)x|m-1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为( )
A. -1
B. 3
C. -1或3
D. 0
4.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是（）
A. B. C. D.
5.如图是三个反比例函数y1= k1
x，y2=
k2
x，y3=
k3
x在x轴上方的图象，由此得到( )
A. k1>k2>k3
B. k2>k1>k3
C. k3>k2>k1
D. k3>k1>k2
6.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为( )
A. 1
2 B.
√2
2
C. 1
D. √2
7.已知反比例函数y= −12
x，则( )
A. y随x的增大而增大
B. 当x>-3且x≠0时，y>4
C. 图象位于一、三象限
D. 当y<-3时，0<x<4
8.如图，反比例函数y= k
x的图像经过▱ABCD对角线的交点P．已知A，C，D三点在坐标轴上，
BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为( )
A. -6
B. -5
C. -4
D. -3
9.在平面直角坐标系xOy中，将块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A 的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C'的坐标为( )
A. ( 3
2，0) B. (2，0) C. （
5
2，0） D. (3，0)
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是-1≤x<3；④方程ax2+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；⑤点(-2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1<0<y2
其中结论正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题
11.用配方法将二次函数y=2x2+4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式是
12.若抛物线y=2(x-2)2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为
13.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为
14.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是米．
15.若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为
16.已知函数y=kx2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为
17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= 2
3，BD= √5，则CD为
18.如图，点A1，A2，A3……在反比例函数y= 1
x(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，……在y轴
上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=……直线y=x与双曲线y= 1
x交于点A1，B1A1⊥OA1，
B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3……则B2022的坐标是
三、解答题(本大题共7小题，共62分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．)
19.
（1）.计算：3tan30°-(cos60°)-1+ √8cos45°+ √(1−tan60°)
（2）.先化简，再求代数式(1−2x+1)÷x 2−1
2x+2
的值，其中x=4cos30°-tan45°
20.如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC=10，AD=8，矩形面积为S，AD与HG 交于K，设GF为x，HG为y．
（1）.求y与x的函数关系式，
（2）.当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？
21.“武汉加油！中国加油！”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩，设增加(x为正整数)条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个，
（1）.直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）.若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？
（3）.设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？
22.如图，已知反比例函数y= k
x的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(2，3)和点B(n，-2)．
（1）.求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）.直接写出不等式k
x<ax+b的解集；
（3）.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标．
23.2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功，建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程，天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础。

某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
(结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41)
24.泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(°C)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(°C)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20°C．
（1）.分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）.从水壶中的水烧开(100°C)降到90°C就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
25.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C．
（1）.求抛物线的解析式：
（2）.设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）.如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度可以得到对应抛物线。

故答案为：B.
【分析】根据题意，由平移的性质、二次函数的性质，结合“上加下减、左加右减”的平移规律即可得到答案。

2.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意可得，sinA=12 ， cosB=√22
∴∠A=30°，∠B=45°
∴∠C=180°-30°-45°=105°。

故答案为：C.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性，结合特殊角的锐角三角函数值，求出∠C 的度数即可。

3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵函数为二次函数
∴m+1≠0且|m-1|=2
∴m=3
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的含义，即可得到二次项的系数不为0，二次项的指数为0，求出m 的值即可。

4.【答案】 C
【解析】【解答】解：A 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；
B 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；
C 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；
D 、由一次函数图象可知，a ＜0，b=0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a ，b 的符号，利用排除法即可解答． 5.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据三个反比例函数的图象可得
k 3＞0，k 1＜0，k 2＜0
当x=-1时，y 1＞y 2
∴k 2＞k 1
∴k 3＞k 2＞k 1
故答案为：C.
【分析】根据函数图象的象限，相同象限两个图象的大小关系，判断k 的大小即可。

6.【答案】 B
【解析】【解答】解：
连接BC
∵每个小正方形的边长均为1
∴AB=√5 ， BC=√5 ， AC=√10
∵（√5）2+（√5）2=（√10）2
∴三角形ABC 为直角三角形
∴cos ∠BAC=AB AC =√5√10=√22
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合勾股定理，求出三角形三边的长度，继而由勾股定理的逆定理判断三角形ABC 的形状，求出∠BAC 的余弦值即可。

7.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据反比例函数的解析式可得，
A.在每个象限内，y 随x 的增大而增大，选项错误；
B.当-3＜x ＜0时，y ＞4，当x ＞0时，y ＜0，选项错误；
C.函数图象位于二、四象限，选项错误；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的解析式以及性质，分别判断得到答案即可。

8.【答案】 D
过点P作PE⊥y轴于点E。

∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S平行四边形ABCD=6
∵P为对角线的交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
∴DO×EO=3
∴设点P的坐标为（x，y）
∴k=xy=-3
故答案为：D.
【分析】根据题意，将平行四边形的面积转化为矩形BDOA的面积，再得到矩形PDOE的面积，应用反比例函数系数k的意义即可。

9.【答案】C
过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°
∴∠OAC=∠BCD
∵∠AOC=∠BDC ，AC=BC
∴△ACO ≌△BCD （AAS ）
∴OC=BD ，OA=CD
∵点A 为（0,2），点C 为（1,0）
∴OD=3，BD=1
∴点B 的坐标为（3,1）
设反比例函数的解析式为y=k x
将点B （3,1）代入y=k x
∴k=3
∴y=3x
∴将y=2代入y=3x
∴x=32
当顶点A 恰好落在双曲线上时，此时点A 移动了32
个单位长度
∴点C 也移动了32
个单位长度 ∴点C 的对应点C '的坐标为（52
， 0） 故答案为：C.
【分析】根据题意证明△ACO ≌△BCD ，求出点B 的坐标，进而得到反比例函数的解析式，根据解析式以及点A 的坐标即可得到平移的长度，求出C 的对应点即可。

10.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据二次函数的性质可得，函数与x 轴的另外一个交点坐标为（3,0）
①∵对称轴在y 轴右侧，即ab ＜0，c=3＞0，即可得到abc ＜0，结论正确；
②∵x=-b 2a
=1，即b=-2a ，当x=-1时，y=0，即a-b+c=0 ∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，结论正确；
③由图象可得，当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，结论错误；
④当y=3时，ax 2+bx+c=3，根据图象可得，抛物线上有两个点满足条件，即方程ax 2+bx+c-3=0总有两个根，结论正确；
⑤根据图象可得，x=-2时，y 1＜0，当x=2时，y 2＞0，∴y 1＜0＜y 2 ， 结论正确。

故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别判断得到答案即可。

二、填空题
11.【答案】 y =2(x +1)2+3
【解析】【解答】解：原式=2（x 2+2x+1）+3=2（x+1）2+3。

【分析】根据完全平方公式，利用配方法将二次函数变形即可。

12.【答案】 （4,0）
【解析】【解答】解：根据抛物线解析式可得对称轴为x=2
∵抛物线过原点
∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（4,0）。

【分析】根据二次函数的性质，由顶点式得到抛物线的对称轴，求出交点坐标即可。

13.【答案】 (-1,2)
连接AC交对称轴于点N，如图，
在y=-x2-2x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，0=-x2-2x+3
解得x=1或x=-3
∴点A为（-3,0），点B（1,0）
设直线AC的解析式为y=kx+3
则-3k+3=0
∴k=1
∴直线AC的解析式y=x+3
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴抛物线的对称轴为x=-1
将x=-1代入y=x+3，得到y=2
∴点N为（-1,2）
根据抛物线的对称性质，得到当点M和点N重合时，点M到点B的距离与点C的距离之和最小，此时点M为（-1,2）。

【分析】根据轴对称的性质以及二次函数的性质，求出答案即可。

14.【答案】√5
设抛物线的解析式为y=a （x-2.5）2+2，根据题意可得
0=a （0-2.5）2+2
解得a=-825 ∴y=-825（x-2.5）2+2 当y=1.6时
1.6=-825
（x-2.5）2+2 解得x 1=52+√52 ， x 2=52-√52
∴在大棚的活动范围为52+√52-（52-√52
）=√5。

【分析】根据题意，设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，将y=1.6代入解析式求出答案即可。

15.【答案】 x 1=2 ， x 2=4
【解析】【解答】解：根据题意可得，x=-b 2
=2，即可得到b=-4 ∴方程可变为x 2-4x-5=2x-13
x 2-6x+8=0
（x-2）（x-4）=0
x 1=2，x 2=4
【分析】根据二次函数的对称轴求出b 的值，结合b 的值计算得到方程的解即可。

16.【答案】 0或1
【解析】【解答】解：∵函数与x 轴只有一个交点
∴①当函数为一次函数时，与x 轴有一个交点，此时k=0；
②当函数为二次函数时，方程kx 2-2x+1=0有两个相等的实数根，即可得到4-4×k×1=0
∴k=1
∴k 的值为0或1.
【分析】根据函数的性质以及函数与x 轴的交点，通过考虑一次函数和二次函数，求出k 的值即可。

17.【答案】 1或5
【解析】【解答】解：①当△ABC 为锐角三角形时，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB=90°，∵cos ∠BAD=AD AB =23
∴设AD=2x ，则AB=3x ，∵AB 2=AD 2+BD 2
∴9x 2=4x 2+（√5）2 ， 解得x=1或x=-1（舍去）
∴AB=AC=3x=3，AD=2x=2
∴CD=AC-AD=1
②当△ABC 为钝角三角形时，根据①可得，AD=2x=2
AB=AC=3x=3，∴CD=AC+AD=5
【分析】根据题意，由三角形的形状进行分类讨论，结合勾股定理计算得到答案即可。

18.【答案】(0,2√2022)
【解析】【解答】解：根据题意可得，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3等三角形均为等腰直角三角形∵点A1为（1,1）
∴OB1=2，设A2（m，2+m）
则有m（2+m）=1
解得m=√2-1
∴OB2=2√2
设A3（a，2√2+a），则有a（2√2+a）=1
解得a=√3-√2
∴OB3=2√3
∴OB n=2√n
∴点B n坐标为（0，2√n）
∴点B2022坐标为（0,2√2022）。

【分析】根据图形的规律，求出答案即可。

三、解答题(本大题共7小题，共62分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．)
19.【答案】（1）解：原式=3×√3
3−
1
1
2
+√8×√22+√(1−√3)2=√3−2+2+√3−1
=2√3−1．
（2）解：原式=x−1
x+1⋅
2(x+1)
(x−1)(x+1)=
2
x+1，
∵x=4×√32−1=2√3−1，
∴原式=
2√3−1+1
=√33．
【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值，化简式子求出答案即可；
（2）根据分式的基本性质，化简代数式，继而由特殊角的锐角三角函数求出x的值，求出代数式的值即可。

20.【答案】（1）解：∵矩形EFGH，AD⊥BC，∴HG//BC，
∴AK⊥HG，KD=GF，
△AHG∽△ABC，
∴AK：AD=GH：BC，
∵BC=10，AD=8，GF为x，HG为y．∴AK=8−x，
∴8−x
8=
y
10，
∴y=−54x+10；
（2）解：∵S
矩形EFGH
=GH⋅GF=xy=x⋅(−54x+10)，
∴S=−54x2+10x，
∴x=−b2a=4，此时S=20
∴当x=4时，S的值最大,最大为20．
【解析】【分析】（1）根据题意，用含x的式子表示出AK，通过求证△AHG∽△ABC，根据对应边成比例，即可得到y与x的函数关系式；
（2）根据矩形的面积公式，即可得到S=xy，根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，推出x取何值时，S的值最大。

21.【答案】（1）解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y=500−20x；
∴y与x之间的函数关系式为y=500−20x(0≤x≤25，且x为整数)
（2）解：由题意得：(10+x)(500−20x)=6000，
整理得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
∵尽可能投入少，
∴x2=10舍去．
答：应该增加5条生产线．
（3）解：w=(10+x)(500−20x)=−20x2+300x+5000=−20(x−7.5)2+6125，
∵a=−20<0，开口向下，
∴当x=7.5时，W最大，
又∵x为整数，当x=7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．
【解析】【分析】（1）根据题意可得函数关系式为一次函数，直接写出其函数解析式以及自变量的范围即可；
（2）根据题目中的数量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（3）根据题意得到关于x 的二次函数，根据二次函数的性质以及x 的取值范围求出答案即可。

22.【答案】 （1）解：将 (2,3) 代入 y =k x 得 3=k 2
， 解得 k =6 ，
∴ 反比例函数解析式为 y =6x
． ∴−2n =6 ，
解得 n =−3 ，
所以点 B 坐标为 (−3,−2) ，
把 (−3,−2) ， (2,3) 代入 y =ax +b 得：
{−2=−3a +b 3=2a +b
， 解得 {a =1b =1
， ∴ 一次函数解析式为 y =x +1 ．
（2）x <−3 或 0<x <2
（3）解：设点 P 坐标为 (m,0) ，一次函数与 x 轴交点为 E ，
把 y =0 代入 y =x +1 得 0=x +1 ，
解得 x =−1 ，
∴ 点 E 坐标为 (−1,0) ．
∴S △PAB =S △PAE +S △PBE =12×3PE +12×2PE =52
PE ， ∴52
PE =10 ，即 52|m +1|=10 ， 解得 m =3 或 m =−5 ．
∴ 点 P 坐标为 (3,0) 或 (−5,0) ．
【解析】【解答】解：(2)由图象可得当 x <−3 或 0<x <2 时式 k x
<ax +b ． 故答案为： x <−3 或 0<x <2 ．
【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数的解析式求出k ，继而求出点B 的坐标，根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据图象的交点求出答案即可；
（3）设出点P 的坐标，根据三角形PAB 的面积以及三角形的面积公式求出答案即可。

23.【答案】解：过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC=MN=24m，DE=CN=BM=1.6m，
∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE，
设AE=CE=x，
∴BE=24+x，
∵∠ABE=22°，
∴tan22°=AE
BE=
x
24+x≈0.40，
解得：x=16(m)，
∴AD=AE+ED=16+1.6=16.6(m)，
答：天和核心舱的高度约为16.6m．
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，解直角三角形即可。

24.【答案】（1）解：停止加热1分钟后，设y=k x，
由题意得：50=k 18，
解得：k=900，
∴y=900 x，
当y=100时，解得：x=9，当y=20时，x=45，∴C点坐标为(9,100)，
∴B点坐标为(8,100)，
当加热烧水时，设y=ax+20，
由题意将B点坐标(8,100)代入上式得100=8a+20，解得：a=10，
∴当加热烧水时，函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热时y与x的函数关系式为y=100(8<x≤9)；y=900
x(9<x≤45)；
（2）解：把y=90代入y=900
x，得x=10，
因此从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃可以泡茶需要等待10−8=2分钟．
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求出解析式，确定点C以及点B的坐标，求出一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，求出答案即可。

25.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，
∴{a+b+3=0
9a−3b+3=0解得：{a=−1 b=−2
∴所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3；
（2）P(−1,√10)或P(−1,−√10)或P(−1,6)或P(−1,5 3)
（3）解：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a,−a2−2a+3)(−3<a<0)
∴EF=−a2−2a+3，BF=a+3，OF=−a
∴S
四边形BOCE
=12BF⋅EF+12(OC+EF)⋅OF=12(a+3)⋅(−a2−2a+3)+12(−a2−2a+6)⋅(−a)
=−3
2a
2−9
2a+
9
2=−
3
2(a+
3
2)
2+63
8
∴当a=−3
2时，
S
四边形BOCE最大，且最大值为
63
8．
此时，点E坐标为(−3
2,
15
4).
【解析】【解答】解：（2）∵抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，
∴其对称轴为x=−2
2=−1，
∴设P点坐标为(−1,a)，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，M(−1,0)
∴当CP=PM时，(−1)2+(3−a)2=a2，解得a=53，
∴P点坐标为：P1(−1,53)；
∴当CM=PM时，(−1)2+32=a2，解得a=±√10，
∴P点坐标为：P2(−1,√10)或P3(−1,−√10)；
∴当CM=CP时，由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6，∴P点坐标为：P4(−1,6)
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P(−1,√10)或P(−1,−√10)或P(−1,6)或P(−1,5 3).
【分析】（1）将两个点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）根据函数解析式求出抛物线的对称轴，得到点M的坐标，根据点C以及点M的坐标求出CM的距离，分类讨论求出答案即可。