山东省烟台市莱州南十里中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省烟台市莱州南十里中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案： C
2. （改编）右面的程序框图输出的结果为（ ）
参考答案： D
3. 直线y=5与y=﹣1在区间[0，]截曲线y=msin
x+n （m ，n ＞0）所得的弦长相等且不为零，则
下列正确的是（ ）
．
m≤
B
．
m ＞
D 参考答案：
D 略
4. 曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）。

A 、
B 、
C 、1
D 、
参考答案： 解析：D 。

由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即
则∴
5. 已知函数f(x)=sin2x ﹣cos2x 的图象在区间[0，]和[2a ，]上均单调递增，则正数a 的取值范
围是（ ）
A ．[，]
B ．[，π]
C ．[，π]
D ．[，]
参考答案：
B
【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】求解出函数
的单调增区间，根据在区间
和
上均
单调递增建立关系可得答案．
【解答】解：由函数
=2sin （2x ﹣
），
令2x ﹣
得：
≤x≤
，k ∈Z ．
当k=0时，可得增区间为[，
]， ∵在区间
和
上均单调递增
则，
∴0＜a≤π．
当k=1时，可得增区间为[，]，则2a，
∴a．
综上可得：π≥a．
故选B
6. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则
的值
(A)恒为正数(B)恒为负数(C)恒为0 (D)可正可负
参考答案：
A
7. 对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
……仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
B
8. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．
【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积
=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，
∴四棱锥的体积为=4．
∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．
故选C．
【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题．
9. 命题“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
B
【分析】
根据特称量词的否定得到结果.
【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，
本题正确选项：B
【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.
10. 已知集合M= ，集合为自然对数的底数），则
=（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=
参考答案：
【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．
取
M （1，4），则AM 的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．
故答案为：．
【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．
12. 如图，在中，已知，,，点为边上一点，满足
，点是上一点，满足，则．参考答案：
考点：数量积的应用，平面向量的几何应用
由题知：
所以
所以BE=。

故答案为：
13. 若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值．
参考答案：
2或﹣1
考点:二次函数的性质．
专题:函数的性质及应用．
分析:利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．
解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，
说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，
即△=4a2﹣4（a+2）=0
解得a=2或﹣1
故答案为：2或﹣1．
点评:本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．
14. 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为．
参考答案：
3
考点：复数求模．
专题：计算题．
分析：先设z=a+bi，则=a﹣bi，由可得a2+b2，从而可求复数z的模
解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi
∵
∴（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣b2i2=a2+b2=9
∴|z|==3
故答案为：3
点评：本题主要考查了复数基本概念；复数的模，共轭复数及复数的基本运算，属于基本试题15. 若,则实数m的取值范围
是
_________.
参考答案：略
16.
已知集合，设函数（）的值域为，若，则实数的取值范围是．
参考答案：17. 已知函数的零点的个数
是个。

参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；
（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令
|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．
【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．
∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB⊥AD．OD=BC=2，
∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．
∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．
又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，
∴AD⊥PB．
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，，0），C（﹣2，，0），
假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，
则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．
设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．
∴，令y=1得=（0，1，）．
∵OP⊥平面ABCD，
∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．
∴cos＜＞===．解得n=1．
∴==．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．19. （本小题满分13分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，
O为坐标原点，点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l: y=kx+m与⊙O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B. 当
，且，求△AOB面积S的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）椭圆的标准方程为=1 5分
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切
由
设，则，
解得： 8分
设，则
在上是增函数，
20. 在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|?|PB|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，化为普通方程为：y2=2x；
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．
∴t1t2=﹣3．
∴|PA|?|PB|=|t1t2|=3．
21. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，，点
、分别是线段、的中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明
平面；若不存在，请说明理由．
参考答案：
证明：（1）∵，，∴，
又∵平面,平面，
∴平面．
(2) 在线段上存在一点，使得平面，
此时点为线段的四等分点，且，∵底面，∴，
又∵长方形中，△∽△，∴，
又∵，∴平面．
略
22. （12分）（2012?马鞍山二模）现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
限购政策”的概率．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．）
参考值表：
【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．
【专题】图表型．
【分析】（I）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算K2的值，根据临界值表，即可得到结论；
（II）由题意设此组五人A，B，a，b，c，其A，B表示赞同者a，b，c表示不赞同者，分别写出从中选取两人的所有情形及其中至少一人赞同的情形，利用概率为的公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题目得2×2列联表：
假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：
K2=≈6.27＜6.635．
…（6分）
假设不成立．
所以没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异…（8分）（Ⅱ）设此组五人A，B，a，b，c，其A，B表示赞同者a，b，c表示不赞同者
从中选取两人的所有情形为：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，
其中至少一人赞同的有7种，故所求概率为P=…（12分）
【点评】本题考查独立性检验、古典概型，是一道综合题，属于中档题．。