2019届二轮复习小题分层练8中档小题保分练(4)作业（全国通用）

小题分层练(八) 中档小题保分练(4)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A ．y ＝－x 2＋1
B ．y ＝|x －1|
C ．y ＝|x 3|
D ．y ＝2－|x |
C [对于A ：是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，故A 错； 对于B ：不是偶函数，故B 错；
对于C ：是偶函数，在(0，＋∞)单调递增，故C 对；
对于D ：是偶函数，在(0，＋∞)上y ＝2－x 单调递减，
故选C.]
2．(2018届福建德化三校联考)定义运算a
b ＝⎩⎨⎧
a ，a ≤
b ，b ，a ＞b ，则函数f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象是下图中( )
A B C D
D [由题意可得f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎩⎨⎧ 1，x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＞0，则答案为D.]
3．(2018·惠州二模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3 C [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再往上平移1个单位，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6＋1的图象． ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6＋1的单调区间与函数y ＝sin2x ＋π6相同， ∴令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .
当k ＝0时，该函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，π6，故选C.] 4．(2018·茂名模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C ＋c ＝2a ，且b ＝13，c ＝3，则a ＝( )
A. 1
B.6 C ．22 D. 4
D [∵2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理可得
2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ＝2sin(B ＋C )＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ，
∴sin C ＝2cos B sin C ，∵sin C ≠0,0＜B ＜π，∴B ＝π3.
由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵b ＝13，c ＝3，解得a ＝4.]
5．某几何体的三视图如图41所示，则此几何体的体积为( )
图41
A ．6＋22＋ 6
B ．6＋2 2
C ．3 D.83
D [由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥和一个三棱柱所构成
的简单组合体，所以其体积为V ＝V 1＋V 2，而V 1＝13×⎝
⎛⎭
⎪⎫12×2×2×1＝23，V 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×2×1＝2，所以V ＝V 1＋V 2＝23＋2＝83，故应选D.] 6．等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )
A. 3
B. 4 C ．log 318 D ．log 324
A [∵log 3(2x )、log 3(3x )、log 3(4x ＋2)成等差数列，
∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，
∴log 3(2x )(4x ＋2)＝log 3(3x )2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ (2x )(4x ＋2)＝(3x )22x ＞0
4x ＋2＞0，解得x ＝4.
∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，
∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，
∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3，选A.]
7．(2018·南宁联考)在如图42所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别棱是B 1B 、AD 的中点，异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( )
图42
A.147
B.57
C.105
D.255
D [如图，过
E 点作EM ∥AB ，过M 点作MN ∥AD ，连接EN ，取MN 中点G ，所以面EMN ∥面ABCD ，EG ∥B
F ，异面直线BF 与D 1E 所成角，转化为∠D 1E
G ，不妨设正方形边长为2，GE ＝5，D 1G ＝2，D 1E ＝3，在△D 1GE 中，
由余弦定理cos ∠D 1EG ＝9＋5－22×3×5＝255，选D.] 8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作直线y ＝－b a x 的垂线，垂
足为A ，交双曲线的左支于B 点，若FB →＝2F A →，则该双曲线的离心率为( )
A. 3 B ．2 C. 5 D.7
C [设双曲线的右焦点F 的坐标(c,0)，由于直线AB 与直线y ＝－b a x 垂直，
所以直线AB 方程为y ＝a b (x －c )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－b a x y ＝a b (x －c )求出点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c ，－ab c ，由已知FB →＝2F A →，得点B ⎝
⎛⎭⎪⎫－2a 2＋c 23c ，－2ab 3c ，把B 点坐标代入方程x 2a 2－y 2b 2＝1，(2a 2＋c 2)29a 2c 2－4a 29c 2＝1，整理得c ＝5a ，故离心率e ＝c a ＝5，选C.]
(教师备选)
1．(2018·沈阳一模)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )
A. －3
B. －3或9
C. 3或－9
D. －9或－3
B [结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数：f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －8，x ≤02－log 3x ，x ＞0的函数值，且函数值为0，据此分类讨论：
当x ≤0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －8＝0，∴x ＝－3； 当x ＞0时，2－log 3x ＝0，∴x ＝9，
综上可得，输入的实数x 的值为－3或9.]
2．(2018·南昌一模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 22－y 2
b 2＝1(b ＞0)的左右焦点，点A 为双曲线C 左支上一点，AF 1交右支于点B ，△AF 2B 是等腰直角三角形，
∠AF 2B ＝π2，则双曲线C 的离心率为( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3
D [画出图象如下图所示，根据双曲线的定义有|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝22，根据等腰直角三角形有|AF 2|＝|BF 2|，解得|BF 2|＝|AF 2|＝4，|AF 1|＝4－22，|AB |＝42，|BF 1|＝4＋22，在三角形BF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2
＝4c 2＝42＋(4＋22)2－2×4×(4＋22)×cos π4＝24，解得c ＝6，故离心率为c a ＝62＝ 3.选D.
]
9．(2018·北京朝阳一模)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是()
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
D[若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；
若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；
若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；
若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D. ]
10．(2018·咸阳二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)＞1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为() A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．无法确定
A[令g(x)＝e x f(x)－e x，则
g′(x)＝e x(f(x)＋f′(x))－e x＝e x(f(x)＋f′(x)－1)＞0.
即g(x)在R上为增函数．
所以g (3)＞g (2)，即e 3f (3)－e 3＞e 2f (2)－e 2，整理得e[f (3)－1]＞f (2)－1，即a ＜b ，故选A.]
二、填空题
(教师备选)
若函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x －2，x ＜0，g (x )，x ＞0为奇函数，则f (g (2))＝________. 2 [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x －2，x ＜0g (x )，x ＞0为奇函数，所以f (2)＝g (2)，f (－2)＝22－2＝2，g (2)＝－f (－2)＝－22＋2＝－2，f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2.]
11．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
12
[7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所
求概率为10＋1040＝12.]
(教师备选)
(2018·百校联盟联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，
且PQ ∥BC ，则BQ →·CP →的值为________．
－223
[因为圆心O 为三角形ABC 的中心，所以边长为23，由于直线l ：x －ky ＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点
Q ，且PQ ∥BC ，因此由三角形重心的性质可得，AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，BQ →·CP →＝
(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝⎝
⎛⎭⎪⎫BA →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋23AB →＝BA →·CA →＋49AC →·AB →＋23AC →·CA →＋23
AB →·BA →＝6＋83－243－243＝－223.]
12．(2018·太原二模)已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，BD ＝CD ＝2，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．
60π11 [由题意可知BC ⊥面EAD ，BD ⊥CD ，DE ＝1，设DE 中点是F ，则
AF ⊥面BCD ，AF ＝112，外接球球心在过点E 垂直面BCD 的直线上，即与AF
平行的直线上．设球心为O ，半径为R ，由OA ＝OB ，R 2＝1＋OE 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫112－OE 2＋14，解得OE 2＝411，R 2＝1511，S ＝4π×1511＝60π11
.]。