高三数学寒假作业1 2

2021届高三数学寒假作业1 理
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
班级 姓名 号数
第一卷
一 .选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1. 复数103i z i
=+ (i 为虚数单位)的虚部为 A.1 B. 3 C. 3- D.
154 2. 集合{}{}22|21,230x A x B x x x +=<=-->，那么B A C R )(=
A.[2,1)--
B. (,2]-∞-
C. [2,1)
(3,)--+∞ D. (2,1)(3,)--+∞ 3. 以下选项里面，说法正确的选项是
0a b >>，那么1122
log log a b >
B. 向量(1,),(,21)a m b m m ==- ()m R ∈一共线的充要条件是0m =
C. 命题“*1,3(2)2n n n N n -∀∈>+⋅〞的否认是“*1,3(2)2n n n N n -∀∈≥+⋅〞
D. 函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，那么命题“假设()()0f a f b ⋅<，那么()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点〞的逆命题为假命题
4. 实数30.3a =，3log 0.3b =，0.33c =的大小关系是
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D. b c a <<
5. 函数
y =
A. B. C. D. 6. 3
20x dx λ=⎰,数列{}n a 是各项为正数的等比数列,那么423
a a a λ+的最小值为 A. 32 C. 3 D. 6
7. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为
A.34π+
B. 42π+
C. 942π+
D. 1142
π+ 8. 假设实数,x y 满足3326x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，那么22(1)x y ++的最小值为 A.22108 D. 10
9. 成书于公元五世纪的?张邱建算经?是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二： 南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②
. 逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈那么绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？ 此民谣提出的问题之答案是
(注：①五寸即0.5尺. ②一尺三即1.3尺. ③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于
0.013尺.)
A. 72.705尺
B. 61.395尺
C. 61.905尺
D. 73.995尺
10. 直线()y kx k R =∈与函数213() (0)4()1 2 (0)2
x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公一共点，那么实数k 的取值范围是 A.3(,)2
+∞ B. (,2)
(2,)-∞-+∞ C. (,2)-∞- D. (2,)+∞ 11. 1x =是函数3()ln f x ax bx x =--(0,a b R >∈)的一个极值点，那么ln a 与1b -的大小关系是
A. ln 1a b >-
B. ln 1a b <-
C. ln 1a b =-
D. 以上都不对 12. 1()sin cos (,)4
f x x x x R ωωω=->∈，假设()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，那么ω的取值范围是 A. 3111119[,][,]812812 B. 1553(,][,]41284
C. 37711[,][,]812812
D. 13917(,][,]44812 第二卷
13题至第2122题至第23题为选考题，考生根据要求答题.
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.
13. 向量a ，b 的夹角为3
π，且()1a a b ⋅-=，||2a =，那么||b = . 14. 数列{}n a 满足：*12211,2,()n n n a a a a a n N ++===-∈，函数3()tan f x ax b x =+，
假设4()9f a =，那么12017()()f a f a +的值是 .
15. 定义四个数,,,a b c d 的二阶积和式 a b ad bc c d ⎡⎤=+⎢
⎥⎣⎦
. 九个数的三阶积和式可用如下方式化为 二阶积和式进展计算：12323123123123 a a a b b b b b a c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
1312231312 b b b b a a c c c c ⎡⎤⎡⎤+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 函数
2 9() 1 1 2 n f n n n n -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(*n N ∈)，那么()f n 的最小值为 . 16. 如下图，五面体ABCDFE 中，////AB CD EF ，四边形
ABCD ，ABEF ，CDFE 都是等腰梯形，并且平面
ABCD ⊥平面ABEF ，12,3,4AB CD EF ===，梯形ABCD
的高为3，EF 到平面ABCD 的间隔 为6，那么此五面体的
体积为 .
三.解答题：此题一共6小题.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.(本小题满分是12分)
ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
3sin cos C c B b
=. 〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，假设2π
θπ<<，
2,CD =5AD =，855
a =
，求sin θ与b 的值.
18.(本小题满分是12分) 函数()sin() (0,0,)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的
局部图象如下图.
〔Ⅰ〕求()f x 的表达式；
〔Ⅱ〕把函数()y f x =的图象向右平移
4
π个单位后得到 函数()g x 的图象，假设函数1()(2)()2h x ax g x g x =+- 在(,)-∞+∞单调递增，务实数a 的取值范围.
19.(本小题满分是12分)
两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+(*n N ∈)，11310b a =，其中{}n a 是公差大于零
的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列.
〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕求数列{}n b 的前n 项和n S .
20.(本小题满分是12分)
一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工消费A 、B 两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千抑制A 品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千抑制B 品. 根据场需求，消费的A 、B 两种奶制品能全部售出，每千克A 获利a 元，每千克B 获利b 元. 如今加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千抑制A 品，乙类设备的加工才能没有限制.其消费方案是：每天用x 桶牛奶消费A 制品，用y 桶牛奶消费B 制品(为了使问题研究简化，,x y 可以不为整数).
〔Ⅰ〕假设24a =，16b =，试为工厂制定一个最正确消费方案〔记此最正确消费方案为
0F 〕,即,x y 分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；
(Ⅱ24(14)a λ=+，216(155)b λλ=+-〔这里01λ<<〕，其它条件不变，试求λ的
取值范围，使工厂当且仅当．．．．
采取〔Ⅰ〕中的消费方案0F 时当天获利才能最大.
21.(本小题满分是12分)
函数()ln(2)f x x a ax =+-, 0a >.
〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕记()f x 的最大值为()M a ，假设210a a >>且12()()M a M a =，求证：1214a a <; 〔Ⅲ〕假设2a >,记集合{|()0}x f x =中的最小元素为0x ,设函数()|()|g x f x x =+， 求
证：0x 是()g x 的极小值点.
请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做第一题计分．
22. (本小题满分是10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标标系xoy 中，曲线121cos :9sin 4
x C y αα=+⎧⎪⎨=-⎪⎩(α为参数,R α∈〕，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线
2:sin()4
C πρθ+
=3:2cos C ρθ=. 〔Ⅰ〕求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；
〔Ⅱ〕设,A B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求AB 的最小值.
23. (本小题满分是10分) 选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a =-,a R ∈.
〔Ⅰ〕当2a =时，解不等式：()625f x x ≥--；
〔Ⅱ〕假设关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[1,7]-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：
186s t
+≥.
高三理科数学寒假过关测试一参考答案
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