(最新)2018-2019学年高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏教版选修1-1

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．双曲线x 216－y 2
9
＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±3
4x .
【答案】 y ＝±3
4
x
2．若双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率为3，则实数m ＝__________.
【导学号：95902166】
【解析】 a 2
＝1，b 2
＝m ，∴c 2
＝1＋m ，e ＝c
a ＝1＋m
1
＝3，求得m ＝2. 【答案】 2
3．若方程x 25－k ＋y 2
k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________．
【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
5－k ＞0，k －3＞0，
5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.
【答案】 (3,4)∪(4,5)
4．以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________．
【解析】 设抛物线的标准方程为x 2
＝2py (p ＞0)，则－p
2＝3，p ＝－6，则抛物线方程
为x 2
＝－12y .
【答案】 x 2
＝－12y
5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.
【导学号：95902167】
【解析】 依题意，点Q 为坐标原点，所以p
2＝1，即p ＝2.
【答案】 2
6．椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2
的大小为______．
【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2
中，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－1
2
，∴∠F 1PF 2＝120°.
【答案】 2 120°
7．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________．
【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、
B 为焦点的椭圆(A 、B 、
C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24
＋x 2
3
＝1(y ≠±2)．
【答案】
y 24
＋x 2
3
＝1(y ≠±2) 8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x
－2)2
＋y 2
＝3相切，则双曲线的方程为________．
【解析】 由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2
＋y 2
＝3相切得2b
a 2＋
b 2
＝3，
由c ＝a 2
＋b 2
＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 2
3
＝1
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2
＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1的右焦
点，则双曲线的离心率为__________.
【导学号：95902168】
【解析】 抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，则双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1的右焦点为(2,0)，即有
c ＝a 2＋3＝2，则a ＝1，故双曲线的离心率为e ＝c
a
＝2.
【答案】 2
10．已知抛物线C ：x 2
＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，
则实数t 的取值范围是________．
【解析】 显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4t
x －1，代入抛物线方程得2tx 2
－4x ＋t ＝
0.
由题意Δ＝16－8t 2
<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP →·FP →
的最大值为________．
【解析】 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， OP →
·FP →
＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14
(x ＋2)2＋2
∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →
有最大值6. 【答案】 6
12．一动圆与两圆：x 2
＋y 2
＝1和x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为
________.
【导学号：95902169】
【解析】 x 2
＋y 2
＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2
＋y 2
＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则
⎭
⎪⎬⎪
⎫PO ＝r ＋1PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1＜AO ＝3，
符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 【答案】 双曲线的一支
13.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝
b
2
与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.
【导学号：95902170】
图1
【解析】 将y ＝b
2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 2
4
b
2＝1，
所以x ＝±
32a ，故B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32
a ，
b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.
又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.
因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →
＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋
32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 22
＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2
代入并化简，
得a 2
＝32c 2，所以e 2
＝c 2
a 2＝23，所以e ＝63
(负值舍去)．
【答案】
6
3
14．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2
＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，则k ＝________.
【解析】 过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、
B 1，
由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝FA ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝k
x ＋，
y 2
＝8x ，
⇒消去x 得y 2
－8k
y ＋16＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
y A ＋y B ＝8k ，
y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧
3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，
，消去y B 得k ＝22
3
.
【答案】
22
3
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b
2
＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，263.
(1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .
【导学号：95902171】
【解】 设抛物线C 1的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，263，
则有⎝
⎛⎭
⎪⎫2632
＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2
＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0)．
(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知
2a ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2632
－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632
＝23
，所以a ＝13，b 2＝89 ，
所以双曲线C 2的方程为9x 2
－98
y 2＝1，离心率e ＝3.
16．(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，且c ＝13.
设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝7
3
，解得a ＝7，m ＝3.
因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2
＝36，n 2
＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 2
4
＝1.
17．(本小题满分14分)如图2所示，已知斜率为1的直线
l 过椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的右焦点
F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.
【导学号：95902172】
图2
【解】 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2
＝4，b 2
＝1，c 2
＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2
＋4y 2
＝4，化简整理，得5x 2
－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85
.
所以AB ＝1＋k
2
|x 1－x 2| ＝1＋k
2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝2
×
3
2
－4×5×85＝8
5
.
18．(本小题满分16分)如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，以该椭
圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .
图3
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝2
2
，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.
又a 2
＝b 2
＋c 2
，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2
m
2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦
点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 2
4
＝1.
(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝
y 0x 0＋2，k 2＝y 0
x 0－2
. 因为点P 在双曲线x 2
－y 2
＝4上， 所以x 2
0－y 2
0＝4. 因此k 1k 2＝
y 0
x 0＋2·
y 0
x 0－2＝
y 20
x 20－4
＝1，即k 1k 2＝1.
19．(本小题满分16分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1上，过M 作x 轴
的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →
＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
【导学号：95902173】
【解】 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →
＝(0，y 0)．
由NP →＝2NM →
得x 0＝x ，y 0＝22
y .
因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 2
2＝1.
因此点P 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝2.
(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →
＝(－1－m ，－
n )，
OQ →·PF →
＝3＋3m －tn ，
OP →
＝(m ，n )，PQ →
＝(－3－m ，t －n )．
由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2
＝1， 又由(1)知m 2
＋n 2
＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
20．(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为
A ，上顶点为
B .已知AB ＝
3
2
F 1F 2. (1)求椭圆的离心率．
(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程．
【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝
3
2
F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2
＝a 2
－c 2
，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝2
2
.
(2)由(1)知a 2
＝2c 2
，b 2
＝c 2
，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2
c
2＝1.
设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →
＝(c ，c )， 由已知，有F 1P →·F 1B →
＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.
又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①
因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20
c
2＝1. ②
由①和②可得3x 2
0＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3
，
即点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c 3＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，
进而圆的半径r ＝x 1－
2
＋y 1－c
2
＝
53
c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，
故有⎝⎛⎭⎫c ＋2c 32＋⎝⎛⎭⎫0－2c 32
＝8＋59c 2.解得c 2
＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。