经济数学 CH6 差分方程

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四、二阶差分方程
当t期的经济变量yt不仅取决于滞后一期的数 量yt-1，而且取决于滞后两期的数量yt-2，这 时就需要二阶差分方程。
二阶差分： △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-
yt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+yt △2yt与连续时间的d2y/dt2相对应。
时间路径的收敛性：b1和b2的绝对值都大于1，余函数发散；都小于1则收敛到0； 如果一个绝对值大于1，一个小于1，那么后者随时间推移而消失，路径发散。
当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统 达到均衡， y*是系统的均衡值。
第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均 衡是否是稳定的。
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例1：yt+1-0.5yt=1 写成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，带入
原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
利用提前因子L-1建立t期和t+1期的联系：
L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1 由此可以将差分方程表述为：
(1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt
假设余函数 为零，得到 方程的解：
E ty t y t a 1 (1 a 1 L 1 ) 1 L 1 m t s t 1 (1 a )s tm s
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t
y t (1 a L ) 1 m t m t a m t 1 a 2 m t 2 ... a t sm s
s
该项即为特别积分。当mt 为常数m时，yt=m/(1-a)。 余函数为齐次方程的解。
t
通解：yt atsmsAat s
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余函数
余函数是齐次方程yt+2+a1yt+1+a2yt=0的通解，形式
一般为yt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方程
或齐次方程的特征方程：
b2+a1b+a2=0
具有两个特征根： b1,b2 a1
a12 4a2 2
第一种情况：a12>4a2，存在不同的实根。余函数yc=A1b1t+A2b2t
当需求等于供给时，市场 p2
出清。
p1
S斜率=1/d
判断供求均衡是否稳定。 供求模型：
D斜率=-1/b
qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b,c,d>0
q2 q1
q
结论：
当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率， 即d<b时，模型是收敛的。反之则是发散的。 当二者相等时，模型是循环的。
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yt a 1(1a 1L 1) 1L 1 m t s t 1(1 a)s tm s
通 解 ： yt s t1(1 a)stmsAat
在许多经济模型中，变量会自动调整使A=0，即经济中没 有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零。
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蛛网模型
将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
当价格不变时，供求达到 均衡。
p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
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b的绝对值小于1，y收敛。 11
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
解：yt


(1)st
a st1
ms
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3、随机线性差分方程
已知随机线性差分方程：
Et-1yt=ayt-1+Et-1mt a的绝对值大于1。 将方程前推一个时期，并引入t时期的预期：
Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在该方程中，yt是t时所知信息惟一决 定的变量，因此Etyt=yt
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三、均衡的动态稳定性
由于一阶差分方程的通解由特别积分和余函数组成， 前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函 数。
余函数的一般形式为A·bt，因此它的变动：
若bb00，则bt的时间路径将是非振振荡荡的的 若bb 11，则bt的时间路径将是收 发敛 散的 的
时期到t时期的未折旧的投
解为：
t
Kt (1)tsIsK0(1)t
资总量加上0时期的未折旧 的初始资本存量。
s1பைடு நூலகம்
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第二种情况：a的绝对值大于1。
yt=ayt-1+mt 在说，这这种样情的况结下果，没yt是有发意散义的。。另对外于，一一些些经前济瞻问性题来
a≠-1
yt
A(a)t
c ,a1 1a
假设t 0时，yt
y0,得到Ay0
c 1a
yt
(y0
c )(a)t 1a
c ,a1 1a
a=-1 y t A ( a )t c t A c t,a 1
假 设 t0时 ， yt y0,得 到 Ay0 yt y0ct,a1
例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
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yt+1
例3：一阶非线性
差分方程
yt+1=2yt-yt2
特 别 积 分 ： yp kta1c2t， (a1a2 1;a12)
当 a1a21， 且 a1＝ （ 2a1＝ 2， a21） 时 ， 令 yt kt2， 代 入 原 方 程 得 到 ：
特 别 积 分 ： ypkt22 ct2， (a1＝ 2， a21)
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2、常系数和可变项的一阶线性差分方程
yt=ayt-1+mt mt是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。 如果系数a的绝对值小于1，系统是稳定的；反之则
是不稳定的。
第一种情况：a的绝对值小于1。
对于任意变量yt，定义滞后因子L为： Lyt=yt-1, Lnyt=yt-n。 原方程可以表述为：(1-aL)yt=mt 由于(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+…)=1 所以(1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+…
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2、解析法
迭代法
例1：yt+1=yt+2，已知 y0=10。
求解：
y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+2·2 y3=y2+2=y0+2·2+2=y0+3·2
……
yt=y0+t·2=10+2t
例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=b·by0=b2y0 …… yt=bty0
1 y2
首先计算均衡点： y1
y=2y-y2 y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
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稳定性总结
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。
0
如果已知0期的初始值y0,则y0 asmsA s
t
将A代入到通解中得到特解：yt atsmsy0at s1
例子：定义Kt为t期期末的资本存量。资本存量的变化如下：
K t ( 1 ) K t 1 I t， 折 旧 率 0 t时期的资本存量等于第1
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一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程
△yt=2→yt+1-yt=2 △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式：
yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满
如果f(y*) 1，那么均衡点是稳定的。
如果f(y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果f(y*) 1，无法判断。
f(y*)dyt1 dyt
yt1yt y*
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练习：蛛网模型
在时间t的需求qtd取决于 当前市场价格pt，供给qts
p
取决于上期的价格pt-1。 p0
（forward-looking）的经济变量，如资产价格， 主要取决于未来变化。 定义提前因子L-1为：L-1yt=yt+1 原方程变为：(L-1-a)yt-1=L-1mt-1 将上式提前一个时期，并乘以-a-1，得到： (1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mt 由于(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+…)=1 所以(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+…
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常系数和常数项的二阶线性差分方程
求解：yt+2+a1yt+1+a2yt=c 与一阶线性差分方程一样，其解由两部分组
成： 表示y的瞬时均衡水平的特别积分yp 表示每一时期与均衡偏离的余函数yc。
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特别积分
令 yt yt1yt2k， 代 入 原 方 程 得 到 ： 特 别 积 分 ： ypk1a1 ca2， (a1a210) 当 a1a21时 ， 令 yt kt,yt1k(t1),yt2k(t2) 代 入 原 方 程 得 到 ：
足方程，则数列｛kyt｝也满足方程。 m阶差分方程：
yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt)
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二、一阶差分方程的解法
解法： 1、作图。 2、解析解。
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1、图解法
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 第一步：计算稳态值或均衡值。
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CH7 差分方程
如果时间被作为离散变量，即变 量t仅取整数值，那么，导数的概念 将不再适用。微分方程被差分方程所 取代。
差分方程就是同时包含了内生变 量现值和滞后值的等式。
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一、离散时间、差分与差分方程
在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个 整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。
将k代入原方程，得到:k+ak=c
特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a≠-1。 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。
特别积分为：yp=kt=ct，a=-1。表示移动均 衡。
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将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。
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练习
求解一阶线性差分方程：
yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A·5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A·5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=2×5t -1/4
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余函数的计算：
假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0
消去非零公因子Abt，得到b=-a
因此，余函数为：yc=A(-a)t
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特别积分的计算：
特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。 则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。
现在的变化模式用差商△y/△t来表示。它是导数 dy/dt在离散时间下的对应物。
由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连 续时期的y的变化时， △t=1，差商△y/△t可以简化 为△y，称为y的一阶差分。
一阶差分： △yt=yt+1-yt 二阶差分：
△2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)