上海市浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学理科2009.1

浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷
高三数学（理科）2009.1
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码.
3. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟.
一、填空题（本题满分60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写
结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。

1．计算：=+-∞→1
21
2lim n
n n ． 2．函数x
x
x f +-=
11)(的定义域是 ． 3．用数学归纳法证明等式：a
a a a a n n --=++++++11121
2
（1≠a ，*N n ∈），验证1=n
时，等式左边= ． 4．若函数)0(1
)(>-
=x x
x x f 的反函数为)(1
x f -，则)2(1--f = ．
5．等差数列}{n a 中，公差1=d ，143=+a a ，则2042a a a +++ = ． 6．函数())(cos 22sin 32R x x x x f ∈-=的最小正周期为 ． 7．在二项式10
)1(+x 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ． 8．无穷等比数列}{n a 各项和S 的值为2，公比0<q ，则首项1a 的取值范围是 ．
9．如图，ABC ∆中，
90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆
（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为 ． 10．关于x 的方程0)5(6241
=-+⋅-⋅+k k k x x
在区间]1,0[上有解，则实数k
的取值范围是 ．
11．对于函数n x x mx x f ++-
=2)(2（),2[+∞-∈x ）
，若存在闭区间 ],[b a ),2[+∞-)(b a <，使得对任意],[b a x ∈，恒有)(x f =c （c 为实常数），则实数n m ,的值依次．．
为 ． ≠
⊂
12．研究问题：“已知关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式 02
>+-a bx cx ”，有如下解法：
解：由02
>+-c bx ax ⇒0)1()1(2
>+-x
c x b a ，令x
y 1=，则)1,21
(∈y ，
所以不等式02
>+-a bx cx 的解集为)1,2
1
(．
参考上述解法，已知关于x 的不等式
0<++++c
x b
x a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则 关于x 的不等式
01
1
1<--+-cx bx ax kx 的解集为 ．
二、选择题（本题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分. 13．从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
不同的选法共有………………………………………………………………………（ ） A ．140种 B ． 120种 C ．35种 D ．34种 14．“41
=
a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x
a x ”的 …………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
15．直角POB ∆中，
90=∠PBO ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧
交OP 于A 点.若弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB =α弧度，
则 …………………………………………………………（ ） A. tan α=α B. tan α=2α C. sin α=2cos α D. 2 sin α= cos α
16．函数2
1(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比
数列，则以下不可能成为公比的数是 ………………………………………… （ ） A ．
23 B ．21 C ．3
3 D ．3
三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤。

17．（满分12分）本题有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
若集合2)2(log |{2>--=x x x A a ，0>a 且}1≠a （1）若2=a ，求集合A ； （2）若A ∈4
9
，求a 的取值范围．
18．（满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为
3
π
．若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥ABC P -的体积；
（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
60=B ， c a )13(-=．
（1）求角A 的大小； （2）已知当]2
,6[π
π∈x 时，函数x a x x f sin 2cos )(+=的最大值为3，求ABC ∆的面积.
A
P
20．（满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数()ax x x f -+=
12，其中0>a .
（1）若)1()1(2-=f f ，求a 的值；
（2）证明：当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上为单调函数； （3）若函数)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，求a 的取值范围．
21．（满分20分）本题共有4小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满 分5分，第4小题满分6分．
对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*
n N ∈都成立，我们
称数列{}n c 是 “M 类数列”．
（1）若n a n 2=，32n n b =⋅，*
n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“M 类数列”；
（3）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2009项的和．并判断{}n a 是否为“M 类数列”，说明理由；
（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{}n a 的相邻两项n a 、1+n a ，提出一个条件或结论与“M 类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．
浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测试卷
高三数学参考答案与评分标准(理科卷) 2009年1月
一、填空题
1．1 2．]1,1(- 3．21a a ++ 4．12- 5．80 6．π 7．
114 8．)4,2( 9．π27
35 10．]6,5[ 11．1±和1 12．)1,2
1
()31,21( --
二、选择题
13．D 14．A 15．B 16．B
三、解答题
17．[解]（1）若2=a ，2)2(log 22>--x x ，则422>--x x ………………2分
062
>--x x ，0)2)(3(>+-x x ，得2-<x 或3>x ………………4分
所以}3,2{>-<=x x x A 或 ………………5分
（2）因为A ∈4
9，所以2]249
)49[(log 2>--a ………………7分
21613log >a ， 因为0216
13log >=a 所以 10<<a ………………9分
且
21613
a < ………………11分 14
13
<<a ………………12分 18．[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3
π 所以 3
π
=
∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分
23244
3
3131=⋅⋅⋅
=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //
所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分
10
15
15
213151cos =
-+=
∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为10
15
arccos
………………12分 19．[解]（1）因为 60=B ，所以 120=+C A ， A C -= 120 ………………1分 因为c a )13(-=，由正弦定理可得：C A sin )13(sin -= ………………3分 )sin 3
2cos cos 32)(sin 13()32sin()13(sin A A A A πππ--=--= )sin 2
1
cos 23)(
13(A A +-=，整理可得：1tan =A ………………5分 所以， 45=A （或
4
π
） ………………6分 （2）x a x x f sin sin 21)(2+-=，令x t sin =，因为]2,6[ππ∈x ，所以]1,2
1
[∈t 7分
18
)4(212)()(2
22
++--=++-==a a t at t t g x f ，]1,21[∈t ………………9分
若
214<a ，即2<a ，2121)21(max +==a g f ，32
1
21=+a ，则5=a （舍去）…… 10分 若2114≤≤a ，即42≤≤a ，18
)4(2max +=
=a a g f ，3182
=+a ，得4=a …… 11分 若
14
>a
，即4>a ， a g f +-==21)1(max 1-=a ，31=-a ，得4=a （舍去）12分 故4=a ，326+=∆ABC S ………………14分
20．[解]（1）由)1()1(2-=f f ，可得：a a +=-2222，3
2
=a …………4分 （2）任取210x x <≤
)(1111)()(212
22
122212121x x a x x ax x ax x x f x f --+-+=++--+=-
=
)(1
12122
212
2
21x x a x x x x --+++-=)1
1)(
(22
21
2121a x x x x x x -++++-……………6分
因为10211+<≤x x ，102
2
2+<<x x ，所以11
1022
2
1
21<++++<x x x x …8分
若1≥a ，则0)()(21>-x f x f ，)(x f 在),0[+∞单调递减 ………………10分
若函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调函数，则要使得
a x x x x -++++1
122
21
21对于一切满足
条件的1x 、2x 恒为正或恒为负，又0>a ，所以必须恒为负，所以1≥a ………12分 综上所述，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调减函数． （3）任取211x x <≤，
=-)()(21x f x f )1
1)(
(22
21
2121a x x x x x x -++++-，因为)(x f 单调递增，
所以0)()(21<-x f x f ，又21x x -0<，那么
a x x x x -++++1
122
21
210>恒成立 14分
11
12
22
2212
1<++++<x x x x ， 所以2
2
0≤
<a ………16分 21．[解]（1）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈
故数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．， 对应的实常数分别为1,2． ……………………………2分 因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *
n N ∈
故数列{}n b 是“．M ．类数列．．．”．， 对应的实常数分别为2,0． ……………………………4分 （2）证明：若数列{}n a 是“M 类数列”， 则存在实常数,p q ， 使得1n n a pa q +=+对于任意*
n N ∈都成立，
且有21n n a pa q ++=+对于任意*
n N ∈都成立， …………………………………………6分 因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*
n N ∈都成立，
故数列{}1n n a a ++也是“．M ．类数列．．．”．． …………………………………………8分 对应的实常数分别为,2p q ． ……………………………………………………………9分 （3）因为 *
132()n
n n a a t n N ++=⋅∈ 则有2
2332a a t +=⋅，4
4532
a a t +=⋅，
20062006200732a a t +=⋅， 20082008200932a a t +=⋅
故数列{}n a 前2009项的和
2009S =1a +()23a a ++()45a a ++
+()20062007a a ++()20082009a a +
()24
200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅+
+⋅+⋅=+-………………11分
若数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．， 则存在实常数,p q 使得1n n a pa q +=+对于任意*
n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*
n N ∈都成立，
因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*
n N ∈都成立，
而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且*132()n n n a a t n N ++=⋅∈
则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*
n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==， （1）当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件。

（2）当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件。

因此当且仅当1t =或0t =，时，数列{}n
a 也是“．M ．类数列．．．”．。

对应的实常数分别为2,0, 或1,0-． ………………………………………………………………14分
（4）命题一：若数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．，则数列{}1n n a a +-也是“．M ．类数列．．．”．
． 逆命题：若数列{}1n n a a +-是“．M ．类数列．．．”．，则数列{}n a 也是“．M ．类数列．．．”．
． 当且仅当数列{}1n n a a +-是常数列、等比数列时，逆命题是正确的．
命题二：若数列{}n a 是等比数列，则数列{}1n n a a ++、{}1n n a a +-、{}1n n a a +⋅、1n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是“．M ．
类数列．．．”．
逆命题：若数列{}1n n a a ++、{}1n n a a +-、{}1n n a a +⋅、1n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是“．M ．类数列．．．”．
则数列{}n a 是等比数列．逆命题是正确的．
命题三：若数列{}n a 是“．M ．类．数列．．”．
， 则有1n
n n a a k A B ++=⋅+或1n n a a An B ++=+．
第 11 页 共 11 页 逆命题：若1n n n a a k A B ++=⋅+或1n n a a An B ++=+，则数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．
()1 若1n n a a An B ++=+，当且仅当124
A B a +=
时逆命题是正确的． ()2 若1n n a a An B ++=+，当且仅当11012kA B A a A +≠=++，且时逆命题是正确的．
（命题给出2分，逆命题写出2分，说明逆命题真假2分）。