2019年北大附中初二(下)期中数学试卷及答案

2019北大附中初二（下）期中
数 学
一．选择题（共8小题）
1.如图,A,B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B 的点C,找到AC,BC 的中点D,E,并且测出DE 的长为10m,则A,B 间的距离为（ ）
A. 15m
B. 25m
C. 30m
D. 20m
2.用配方法解方程x 2﹣4x ﹣2＝0，原方程应变形为（ ）
A. （x +2）2＝6
B. （x ﹣2）2＝6
C. （x ﹣2）2＝2
D. （x ﹣2）2＝4 3.甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成绩的说法中正确的是（ ）
A. 甲的成绩相对稳定，其方差小
B. 乙的成绩相对稳定，其方差小
C. 甲的成绩相对稳定，其方差大
D. 乙的成绩相对稳定，其方差大 4.菱形、矩形、正方形都具有的性质（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线平分对角 5.在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A. BC CD =
B. AB CD =
C. 90D ∠=︒
D. AD BC =
6.近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（ ）
A. 4.69（1+x ）＝5.83
B. 4.69（1+2x ）＝5.83
C. 4.69（1+x ）2＝5.83
D. 4.69（1﹣x ）2＝5.83
7.函数 y kx b =+ 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 kx b 0+< 的解集是 ()
A x 0> B. x 0< C. x 2> D. x 2<
8.已知某四边形的两条对角线相交于点O ．动点P 从点A 出发，沿四边形的边按A→B→C 的路径匀速运动到点C ．设点P 运动的时间为x ，线段OP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共8小题）
9.已知m 为一元二次方程x 2﹣3x +2＝0的一个根．则代数式2m 2﹣6m +2019的值为____
10.已知一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是_．
11.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．
12.若样本数据1，2，3，2的平均数是a ，中位数是b ，众数是c ，则数据a ，b ，c 的方差是___．
13.如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 抛物线2
2y x x =−+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）. 14.如图，△ABC 中，AB=AC ，BE ⊥AC ，D 为AB 中点，若DE=5，BE=8．则EC=______．
15.如图，已知∠A ，以点A 为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE ，AF 于点B ，D ，继续分别以点B ，D 为圆心，线段AB 长为半径画弧交于点C ，连接BC ，CD ，则所得四边形ABCD 为菱形，判定依据是：_____．
16.已知关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2﹣（k +2）x +4＝0的根是正整数，求整数k ＝_．
三．解答题（共9小题）
17.用配方法解方程x 2﹣6x ﹣7＝0
18.用合适的方法解方程：4x 2﹣x ＝3．
19.已知：在△ABC 中，AC=BC ，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，CB 的中点.
求证：四边形DECF 是菱形.
20.已知一次函数y=kx+1与y=-12
x+b 的图象相交于点（2，5），求关于x 的方程kx+b=0的解． 21.如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，以线段BC 、CD 上两点P 、Q 和方形
点A 为顶点作正方形的内接等边△APQ ，求△APQ 的边长．
22.如图，已知一次函数y ＝kx +k +1的图象与一次函数y ＝﹣x +4的图象交于点A （1，a ）．
（1）求a 、k 的值；
（2）根据图象，写出不等式﹣x +4＞kx +k +1的解；
（3）结合图形，当x ＞2时，求一次函数y ＝﹣x +4函数值y 的取值范围；
23.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了,A B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描
述和分析.下面给出了部分信息.
a .A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02,24x x ≤<≤<，46x ≤<，68x ≤<，810,1012x x ≤<≤≤）：
的
b .A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
c .B 部门每日餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
d . ,A B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
（1）写出表,m n 中的值；
（2）在,A B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“A ”或“B ”），理由是____________；
（3）结合,A B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量.
24.一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.
25.如图，在▱ABCD 中，AD ＞AB ，AM 、BN 、CP 、DQ 为四个内角的角平分线，P 、为AD 边上两点，其中AM 与DQ 相交于E ，BN 与CP 相交于F ，AM 与BN 相交于G ，CP 与DQ 相交于H ．
（1）求证：四边形EHFG 是矩形．
（2）▱ABCD 满足 时，四边形EHFG
正方形；▱ABCD 满足 时，F 点落在AD 边上．（与点P 、点N 重
合）
（3）探究矩形EHFG 的对角线长度与▱ABCD 的边长之间的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（）
A. 15m
B. 25m
C. 30m
D. 20m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理即可得到结果.
【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm，
故选D.
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2.用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，原方程应变形为（）
A. （x+2）2＝6
B. （x﹣2）2＝6
C. （x﹣2）2＝2
D. （x﹣2）2＝4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤求解即可.
【详解】方程x2﹣4x﹣2＝0，变形得：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法-配方法，二次项系数为1时，配一次项系数的一半的平方是关键.
3.甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成绩的说法中正确的是（）
A. 甲的成绩相对稳定，其方差小
B. 乙的成绩相对稳定，其方差小
C. 甲的成绩相对稳定，其方差大
D. 乙的成绩相对稳定，其方差大
【答案】B
【解析】
【分析】 结合图形，乙的成绩波动比较小，则波动大的方差就小.
【详解】从图看出：乙选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定的，甲的波动较大，则其方差大.
故选：B .
【点睛】此题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
4.菱形、矩形、正方形都具有的性质（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线平分对角 【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊平行四边形的性质进而得出符合题意的答案．
详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选A.
【点睛】此题主要考查了特殊平行四边形，正确掌握特殊平行四边形的性质是解题关键
5.在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. BC CD =
B. AB CD =
C. 90D ∠=︒
D. AD BC = 【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 【详解】∵四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD 是矩形， 当一组邻边相等时，矩形ABCD 为正方形， 这个条件可以是：BC CD =. 故选A.
【点睛】此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 6.近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（ ） A. 4.69（1+x ）＝5.83
B. 4.69（1+2x ）＝5.83
C. 4.69（1+x ）2＝5.83
D. 4.69（1﹣x ）2＝5.83
【答案】C
【解析】
【
设平均每次增长的百分率为x ，根据“由原来4.69亿人增长到5.83亿人”，根据增长后的量=增长前的量×
(1+增长率)增长次数即可得出方程．
【详解】设这两年手机支付用户的年均增长率为x ，
∴4.69×
(1+x)2=5.83 故选C.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．正确找出等量关系是解题关键.
7.函数 y kx b =+ 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 kx b 0+< 的解集是 ()
A. x 0>
B. x 0<
C. x 2>
D. x 2<
【答案】C
【解析】
【分析】
观察函数图象得到即可． 【详解】由图象可得：当x ＞2时，kx+b ＜0，
所以关于x 的不等式kx+b ＜0的解集是x ＞2，
故选C ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8.已知某四边形的两条对角线相交于点O ．动点P 从点A 出发，沿四边形的边按A→B→C 的路径匀速运动到点C ．设点P 运动的时间为x ，线段OP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解.
【详解】A、C选项A B C
→→路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故A、C错误，对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误.
故选：D.
【点睛】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断.解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化.
二．填空题（共8小题）
9.已知m为一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个根．则代数式2m2﹣6m+2019的值为____
【答案】2015．
【解析】
【分析】
把x=m代入原方程，得到关于m的方程，变形后整体代入代数式即可求值.
【详解】∵m为一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个根．
∴m2﹣3m+2＝0，
即m2﹣3m＝﹣2，
∴2m2﹣6m+2019＝2（m2﹣3m）+2019＝2×（﹣2）+2019＝2015．
故答案为2015．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的概念及求代数式的值，整体代入思想是解答本题的关键.
10.已知一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是_．
【答案】m≥﹣9
4
．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】根据题意得△＝32﹣4（﹣m）≥0，
所以m≥﹣9
4
．
故答案为m≥﹣9
4
．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“△≥0”时方程有两个实数根是关键.
11.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为_____．的
【答案】a ＜c ＜b
【解析】
【分析】
根据直线所过象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，再根据直线陡的情况可判断出b ＞c ，进而得到答案．
【详解】根据三个函数图象所在象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b ＞c ．
则b ＞c ＞a ，
故答案为a ＜c ＜b ．
12.若样本数据1，2，3，2的平均数是a ，中位数是b ，众数是c ，则数据a ，b ，c 的方差是___．
【答案】0.
【解析】
【分析】
先确定出a ，b ，c 后，根据方差的公式计算a ，b ，c 的方差.
【详解】解：平均数()123242a =+++÷=；
中位数()2222b =+÷=；
众数2c =；
a ∴，
b ，
c 的方差(222[(22)(22)22)30⎤=−+−+−÷=⎦．
故答案是：0．
【点睛】考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
13.如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 在抛物线22y x x =−+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）.
【答案】>
【解析】
分析：首先求得抛物线y =﹣x 2+2x 的对称轴是x =1，利用二次函数的性质，点M 、N 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，得出答案即可．
详解：抛物线y =﹣x 2+2x 的对称轴是x =﹣
22
−=1．∵a =﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y 1＞y 2． 故答案为＞．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．
14.如图，△ABC 中，AB=AC ，BE ⊥AC ，D 为AB 中点，若DE=5，BE=8．则EC=______．
【答案】4
【解析】
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得AE的长．
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D为AB中点，
∴AB=AC=2DE=2×5=10，
∵BE=8，
AE==
∴6,
∴EC=AC-AE=4，
故答案为4．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
15.如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：_____．
【答案】四条边相等的四边形是菱形．
【解析】
【分析】
由作法知，AB=AD=BC=CD,根据菱形的定义可知所得四边形ABCD为菱形.
【详解】由作法知，AB=AD=BC=CD,
∴四边形ABCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.
故答案为四条边都相等的四边形是菱形.
【点睛】本题考查了尺规作图和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 本题考查了菱形的判定定理：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
16.已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（k+2）x+4＝0的根是正整数，求整数k＝_．
【答案】3或4或6．
【解析】
【分析】
方程的根是正整数，则x1+x2＞0， x1•x2＞0，根据根与系数的关系求解即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（k+2）x+4＝0的根是正整数，
∴x1+x2＝
2
2
+
−
k
k
＞0，且是整数，x1•x2＝
4
2
−
k
＞0，且是整数，
∴k＝3或k＝4和k＝6，
故答案为3或4或6．
【点睛】本题考查的是一元二次方程是根与系数的关系，掌握两根之和与两根之积与一元二次方程的系数的关系是关键.
三．解答题（共9小题）
17.用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0
【答案】x1＝7，x2＝﹣1．
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤求解即可.
【详解】x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
开方得x﹣3＝±4，
∴x1＝7，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法-配方法，二次项系数为1时，配一次项系数的一半的平方是关键. 18.用合适的方法解方程：4x2﹣x＝3．
【答案】x1＝﹣3
4
，x2＝1．
【解析】
【分析】
根据题目的特点，本题可选用因式分解法解方程，化为一般形式后，利用十字相乘法分解后求解即可. 【详解】4x2﹣x＝3．
4x2﹣x﹣3＝0，
（4x+3）（x﹣1）＝0，
4x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3
4
，x2＝1．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，能选择适当的解方程的方法是关键.
19.已知：在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，CB的中点.
求证：四边形DECF是菱形.
【答案】见解析
【解析】
【详解】证明：∵D、E是AB、AC的中点
∴DE=BC，EC=AC
∵D、F是AB、BC的中点
∴DF=AC，FC=BC
∴DE=FC=BC，EC=DF=AC
∵AC=BC
∴DE=EC=FC=DF
∴四边形DECF是菱形
20.已知一次函数y=kx+1与y=-1
2
x+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b=0的解．
【答案】x=﹣3．
【解析】
【分析】
首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．
【详解】∵一次函数y=kx+1与y=-1
2
x+b的图象相交于点（2，5），
∴5=2k+1，5=﹣1
2
×2+b，
解得：k=2，b=6，
则kx+b=0为：2x+6=0，
解得：x=﹣3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确得出k，b的值是解题关键．
21.如图，正方形ABCD中，AB＝1，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边△APQ，求△APQ的边长．
【答案】△APQ
【解析】
【分析】
连接AC，交PQ于点H，根据正方形和等边三角形的性质可证Rt△ABP≌Rt△ADQ，可得△CPQ是等腰直角三角形，在直角三角形ABP中，解直角三角形可求得PH，即可求得△APQ的边长.
【详解】连接AC，交PQ于点H，
如图所示：则∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ＝PQ，∠PAQ＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABP和Rt△ADQ中，
AB AD AP AQ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ（HL），
∴∠BAP＝∠DAQ，BP＝DQ，
∴∠PAC＝∠QAC，CP＝CQ，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∵∠PAQ＝60°，
∴∠PAC＝∠QAC＝30°，
∵∠APQ＝60°，
∴∠AHP＝90°，
∴PH＝QH，
∴CH＝PH＝QH，AC AB，
PH＝tan∠PAH•AH＝tan30°×（AC﹣CH）＝
3
×﹣PH），
解得：PH ＝2
，
∴PQ ＝2PH
∴△APQ
【点睛】本题考查的是正方形的性质及等边三角形的性质，掌握正方形的性质、能在直角三角形APH 中求出PH 长是关键.
22.如图，已知一次函数y ＝kx +k +1的图象与一次函数y ＝﹣x +4的图象交于点A （1，a ）．
（1）求a 、k 的值；
（2）根据图象，写出不等式﹣x +4＞kx +k +1的解；
（3）结合图形，当x ＞2时，求一次函数y ＝﹣x +4函数值y 的取值范围；
【答案】（1）a ＝﹣3，k ＝1；（2）x ＜1；（3）当x ＞2时，y ＜2．
【解析】
【分析】
（1）把A （1，a ）代入y ＝﹣x+4求得a 的值，再把将A （1，3）代入y ＝kx+k+1即可求得k 的值；
（2）观察函数图象即可解答；
（3）当x ＝2时，y ＝2，观察图象，x ＞2时，图象在x ＝2的右侧，在y ＝2的下面，即可解答.
【详解】（1）把A （1，a ）代入y ＝﹣x+4得a ＝﹣1+4＝3，
将A （1，3）代入y ＝kx+k+1得k+k+1＝3，解得k ＝1；
（2）根据图象可得：不等式﹣x+4＞kx+k+1的解集为x ＜1；
（3）当x ＝2时，y ＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，
所以当x ＞2时，y ＜2．
【点睛】本题考查的是一次函数与不等式的解集，掌握利用函数图象求不等式解集的方法是关键.
23.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了,A B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描
述和分析.下面给出了部分信息.
a .A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02,24x x ≤<≤<，46x ≤<，68x ≤<，810,1012x x ≤<≤≤）：
b .A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
c .B 部门每日餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
d . ,A B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表,m n 中的值；
（2）在,A B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“A ”或“B ”），理由是____________；
（3）结合,A B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量.
【答案】(1)m=6.8，n=6.9;(2) A ，A 部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B 部门每日餐余重量的平均数和中位数（3）15600kg ．
【解析】
【分析】
（1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论；
（2）根据表中数据即可得到结论；
（3）根据A 、B 两个部门这20个工作日每日餐余量的平均数即可得到结论．
【详解】（1）m=6.67.02
+=6.8，n=6.9； （2）在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A ，理由是A 部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B 部门每日餐余重量的平均数和中位数；
故答案为A ，A 部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B 部门每日餐余重量的平均数和中位数．
（3）10×240×6.4 6.62
+=15600kg ，
答：估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余重量15600kg ．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，正确的理解题意是解题的关键．
24.一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.
【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为15%.
【解析】
【分析】
设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，则第二年这就后的价格为30（1-20%）（1-x ）元，第三年折旧后的而价格为30（1-20%）（1-x ）2元，与第三年折旧后的价格为17.34万元建立方程求出其解即可．
【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，依题意，得
()()2
30120%117.34x −−=
整理得()210.7225x −=，
解得1 1.85x =，20.15x =.
因为折旧率不可能大于1，所以1 1.85x =不合题意，舍去.
所以0.1515%x ==
答：这辆车第二、三年年折旧率为15%. 【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
25.如图，在▱ABCD 中，AD ＞AB ，AM 、BN 、CP 、DQ 为四个内角的角平分线，P 、为AD 边上两点，其中AM 与DQ 相交于E ，BN 与CP 相交于F ，AM 与BN 相交于G ，CP 与DQ 相交于H ．
（1）求证：四边形EHFG 是矩形．
（2）▱ABCD 满足 时，四边形EHFG
正方形；▱ABCD 满足 时，F 点落在AD 边上．（与点P 、点N 重
合）
（3）探究矩形EHFG 的对角线长度与▱ABCD 的边长之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析； （2）∠BAD ＝90°，且BC ＝2AB ；BC ＝2AB ；（3）GH ＝BC ﹣AB ；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质及角平分线的定义证明四边形EHFG 有三个角是直角即可；
（2）由（1）可得，四边形EHFG 是矩形，若四边形EHFG 为正方形，则有一组临边相等即可；若F 点落在AD 边上．（与点P 、点N 重合），则可得由（1）得：AF ＝AB ，DF ＝CD ，AG ⊥BN ，利用平行四边形的性质等量代换即可得到AB 与BC 的关系.
的
（3）连接EF、GH，由（1）（2）结论证四边形BQDN是平行四边形，四边形GHQB是平行四边形，即可得到其数量关系.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AM，BN分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠MAB+∠NBA＝1
2
（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠EGF＝∠AGB＝90°，
同理：∠EHF＝90°，∠GEH＝90°，
∴四边形EHFG是矩形；
（2）▱ABCD满足∠BAD＝90°，且BC＝2AB时，四边形EHFG为正方形；理由如下：此时F点落在AD边上，与点P、点N重合，如图1所示：
由（1）得：四边形EHFG是矩形，AG⊥BN，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
同理：DF＝CD，
∴AF＝AB＝BE，
∵∠BAD＝90°，
∴△BAF、△ABE是等腰直角三角形，
∵AE⊥BF，
∴BG＝FG，AG＝EG，
∴AG＝1
2
BF＝BG＝FG，
∴FG＝EG，
∴四边形EHFG为正方形，
故答案为：∠BAD＝90°，且BC＝2AB；
▱ABCD 满足BC ＝2AB 时，F 点落在AD 边上．（与点P 、点N 重合）；理由如下：
如图2所示：
由（1）得：AF ＝AB ，DF ＝CD ，AG ⊥BN ，
∴AF ＝DF ＝AB ，
∴AD ＝2AB ，
∴BC ＝2AB ，
故答案为：BC ＝2AB ；
（3）矩形EHFG 的对角线长度与▱ABCD 的边长之间的数量关系为GH ＝BC ﹣AB ；理由如下：如图3所示：连接EF 、GH
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，
∵四边形EHFG 矩形，
∴GH ＝EF ，BN ∥DQ ，
∴四边形BQDN 是平行四边形，
∴BN ＝DQ ，
同（1）（2）得：AG ⊥BN ，AN ＝AB ，CQ ＝CD ＝AB ，
∴BG ＝NG ，
同理：DH ＝QH ，
∴BG ＝QH ，
∴四边形GHQB 是平行四边形，
∴GH ＝BQ ＝BC ﹣CQ ＝BC ﹣AB ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形、正方形的性质及判定，掌握各图形的性质及判定是关键.
是。