2020届湖北省宜昌市高三上学期期中数学（文）试题

2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三上学期期
中数学（文）试题
一、单选题
1．若{}{}1,2,3,4,2U U C A ==，则集合A 的子集个数是（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 【答案】D
【解析】试题分析：根据补集的定义可知{}1,3,4A ，所以子集个数为3
28=．
【考点】子集个数.
2．已知2,0()(1),0
x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44
()()33f f +-的值等于（ ）
A ．2-
B ．4
C ．2
D ．4-
【答案】B 【解析】【详解】
2,0
()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩
,
448
()2333f ∴=⨯=，
44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，
4484
()()43333
f f ∴+-=+=，故选B.
【考点】分段函数.
3．已知12(1,0),(0,1)e e ==,则与1234e e -垂直的向量是（ ） A ．1243e e - B ．1234e e + C ．1243e e + D ．1234e e -+
【答案】C
【解析】结合向量坐标公式和向量垂直的公式，先表示出1234e e -，再进行求解即可 【详解】
1234(3,4)e e -=-，
A 项中，()12434,3e e -=-，(
)()
12123443121224e e e e -⋅-=+=，不符合； B 项中，()12
343,4e e +=，()()1
2
1
2
34349167e e e e -⋅+=-=-，不符合；
C 选项中，1243(4,3)e e +=,∵34(4)30⨯+-⨯=,∴1234e e -与1243e e +垂直，符合；
D 选项中，()12343,4e e -+=-，(
)(
)
1212343425e e e e -⋅-+=- 故选：C 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题
4．幂函数()y f x =的图象经过点()
3,3，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 C ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减
D ．既不是奇函数，也不是偶函数，在(0,)+∞上单调递增 【答案】D
【解析】设幂函数为()n
f x x =，由图象过点()
3,3得1
2
n =
，由函数定义域知函数不具有奇偶性，再由0n >得到函数在(0,)+∞单调递增. 【详解】
由题意设()n
f x x =，
因为函数()f x 的图象经过点()
3,3， 所以33n =，解得1
2
n =
，即()f x x =， 所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，且在()0,∞+上是增函数. 故选：D ． 【点睛】
本题考查待定系数法求幂函数的解析式后，进一步考查幂函数的奇偶性、单调性，考查对函数性质的理解.
5．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】试题分析：由题意，选项A 中的函数既是奇函数又是增函数；选项B 中
函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数；选项C 中
函数
是奇函数，且在
是减函数，在
上是减函数；选项D 中函数
是既不是奇函数也不是偶函数，且上是增函数.故选A.
【考点】函数的奇偶性、单调性. 6．已知1
sin 33πα⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭,则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．22
B 22
C ．13
-
D ．
13
【答案】D
【解析】观察可知，62
3⎛⎫-=⎭⎛⎫++ ⎪⎝
⎪⎝⎭ππ
π
αα，则由诱导公式可求得 【详解】 ∵1cos cos sin 62333ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦,
故选：D . 【点睛】
本题考查诱导公式的用法，属于基础题 7．已知向量a ,b 夹角为
3π
,且3,2,||12a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,则|2|a b +=（ ） A ．
214
B ．
21
2
C ．
612
D ．
614
【答案】C
【解析】可先求得a ，再由22|2|||4||4a b a b a b ++=+⋅即可求得 【详解】 由题可知，52
a =
，22255161
|2|||4||441414222
a b a b a b +=++⋅=
+⨯+⨯⨯⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查向量模长的求法，属于基础题
8．定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意的正实数()()()121212,,0x x x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式(2)(36)0f x f x -->的解集是（ ） A ．()0,6 B ．()0,2
C ．(2,)+∞
D ．()2,6
【答案】D
【解析】由题可判断函数为增函数，可将(2)(36)0f x f x -->转化为
(2)(36)f x f x >-，再去“f ”即可求解
【详解】
∵函数()f x 对任意的正实数12,x x 均有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦, ∴()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,
∴不等式(2)(36)0f x f x -->,即(2)(36)f x f x >-,可转化为2360x x >->， ∴所求不等式的解集是()2,6 故选：D 【点睛】
本题考查根据函数的增减性解不等式，属于基础题
9．函数4sin 28y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像的一条对称轴方程是（ ）
A ．16
x π
=-
B ．3
16
x π=
C ．16
x π
=
D ．316
x π=-
【答案】B 【解析】可令2,8
2
x k k Z π
π
π+=
+∈，求出对称轴的通式，给k 赋值，结合选项判断
即可 【详解】 令2,8
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈,得3,162k x k Z ππ=
+∈,当0k =时316
x π=, 故选：B . 【点睛】
本题考查正弦型函数对称轴的通式的求法，属于基础题
10．设32:()21p f x x x mx =+++在(,)-∞+∞内单调递增，4
:3
q m >，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先将命题p 中函数单增转化为()0f x '≥在(,)-∞+∞上恒成立，求出参数m 取值范围，即可求解 【详解】
对函数求导可得，2
()34f x x x m '
=++，
∵()f x 在(,)-∞+∞内单调递增，则()0f x '≥在(,)-∞+∞上恒成立．即
2340x x m ++≥恒成立，从而16120m ∆=-≤，∴4
3
m ≥
， 又4
:3
q m >，显然p 是q 的必要不充分条件 故选：B 【点睛】
本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基础题
11．函数()sin lg f x x x =-的零点个数是( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】函数的零点可转化为两个函数图像的交点，画出两个函数的图象，则两个函数图象的交点个数即为已知函数的零点个数. 【详解】
由已知，令()sin lg 0f x x x =-=，即sin lg x x =，在同一坐标系中作函数sin y x = 与lg y x =的图象，可知两个函数图象有5个交点， 故选:D
【点睛】
本题考查函数的图象的应用，考查函数零点概念和数形结合思想的应用． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f =，当0x >时，有
()()
2
0xf x f x x
->'成立，则不等式()0x f x ⋅>的解集是（ ）
A ．()(),11,-∞-⋃+∞
B ．()()1,00,1-⋃
C ．1,
D ．()()1,01,-⋃+∞
【答案】A
【解析】设()
()f x g x x
=
， 则2()'()()
()[]'0f x xf x f x g x x x -==>',即x >0时 ()f x x
是增函数，
当x >1时,g (x )>g (1)=0,此时f (x )>0； 0<x <1时,g (x )<g (1)=0,此时f (x )<0.
又f (x )是奇函数,所以−1<x <0时,f (x )=−f (−x )>0； x <−1时f (x )=−f (−x )<0. 则不等式x ⋅f (x )>0等价为()0{0
x f x >> 或()0{
x f x << ，
即x >1或x <−1，
则不等式xf (x )>0的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞)， 本题选择A 选项.
二、填空题
13．已知函数2()ln f x x ax =-，且函数()f x 在点(2，f (2))处的切线的斜率是12
-
，则a ＝_____
【答案】
14
【解析】()1'2f x ax x =
-，根据()1
'22
f =-解出a 即可.
【详解】
()1'2f x ax x =
-，所以()11
'2422f a =-=-，所以14
a =，填14. 【点睛】
解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别. 14．已知两向量()()2,sin ,1,cos a b θθ==，若//a b ，则sin 2cos 2sin 3cos θθ
θθ
+=-_______.
【答案】4
【解析】根据两个向量共线的性质可得tan 2θ=,再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为tan 2
2tan 3
θθ+-，运算求得结果.
【详解】
两向量()()2,sin ,1,cos a b θθ==，若//a b ， 则2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=，
sin 2cos tan 222
42sin 3cos 2tan 343
θθθθθθ+++∴
===---，故答案为4.
【点睛】
本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换. 15．已知向量，
，则向量
在上的投影为_________．
【答案】 【解析】求出利用投影公式计算即可. 【详解】
，则向量
在上的投影为
故答案为 【点睛】
本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键. 16．给出下列四个命题：
①()sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的对称轴为3,28k x k Z ππ=
+∈；
②函数()sin f x x x =+的最大值为2； ③(0,),sin cos x x x π∀∈>；
④函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增．
其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②
【解析】对①，由正弦型函数的通式求解即可； 对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断； 对③，由特殊函数值可判断错误；
对④，先结合诱导公式将函数化为()sin 23f x x ⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
π，
由0,3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
π求出23x π-的范围，再结合增减性判断即可 【详解】 令2,4
2
x k k Z -
=
+∈⇒π
π
π3,28
k x k Z ππ
=
+∈，故①正确；
()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，故该函数的最大值为2，故②正确；
当4
x π
=
时，sin cos x x =，故③错误；
由0,
2,3333x x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪
⎢⎥⎥⎝⎡⎤∈⇒⎢⎣⎭⎦⎣⎦
ππππ，故()sin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ在区间0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故④错误． 故答案为：①② 【点睛】
本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题
三、解答题 17．已知3(2,6),
(,2),,22a b m c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
,且()
6a b c -⊥.
(1)求实数m 的值; (2)求向量a 与b 的夹角θ.
【答案】（1）1m =-（2）45θ︒=
【解析】（1）由向量的坐标公式结合()
6a b c -⊥可求参数m ； （2）由公式cos ||||
a b
a b θ⋅=⋅，再结合坐标运算求解即可
【详解】
6(26,612)(26,6)a b m m -=--=--,.
(1)∵(6)a b c -⊥,∴(6)0a b c -⋅=,即3
(26)(6)202
m -+-⨯=, 解得1m =-.
(2)(2,6),(1,2)a b ==-, ∴2
cos 2||||43614
a b a b θ⋅=
==⋅+⋅+, ∴45θ︒=. 【点睛】
本题考查由向量垂直求参数问题，向量夹角的求解，属于基础题 18．已知全集
，集合
，
，
．
Ⅰ求，
．
Ⅱ若，求a 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)
，
(Ⅱ)
【解析】Ⅰ根据交集与并集、补集的定义，计算即可； Ⅱ根据子集的定义，列出不等式组求a 的取值范围． 【详解】 Ⅰ全集
，集合
，
，
，
或
，
；
Ⅱ
，
，
，
若，则，
解得
，
的取值范围是．
【点睛】
本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题． 19．已知函数()32cos 2,f x x x x R =+∈. (1)求该函数的最小正周期、单调增区间; (2)若6
25f α⎛⎫=
⎪⎝⎭,求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值.
【答案】（1）最小正周期T π=,单调递增区间为:,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦（2）7
25
【解析】（1）将函数化简可得()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝
=⎪⎭
，再由正弦型函数周期与单调区间通
式求解即可； （2）由625f α⎛⎫= ⎪⎝⎭得3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，又2cos 212sin 36⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαα，即可求解 【详解】
31
()32cos 22sin 2cos 222f x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,x ∈R ,
∴()f x 的最小正周期22
T π
π==, 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
,可得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈,
即得单调递增区间为:,,3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
(2)由6
25f α⎛⎫=
⎪⎝⎭,得62sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,可得:3sin 65πα⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭, 得:2
237cos 2cos 212sin 12366525
πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】
本题考查函数周期、单调区间的求法，二倍角公式的应用，属于中档题
20．已知0,1c c >≠，设p ：指数函数(21)x y c =-在R 上为减函数，q ：不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 【答案】15,(1,)28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦
【解析】分别求出命题p 正确时和命题q 成立时参数c 的取值范围，再结合p 正确q 不正确和q 正确p 不正确两种具体情况求解即可
【详解】
解析：当p 正确时，
∵函数(21)x y c =-在R 上为减函数，∴0211c <-<，
∴当p 正确时，
112c <<； 当q 正确时，
∵不等式2(2)1x x c +->的解集为R ，
∴当x ∈R 时，()22(41)410x c x c --+->恒成立.
∴()22(41)4410c c ∆=--⋅-<，∴850c -+<.
∴当q 正确时，58
c >且1c ≠ 由题设，若p 和q 有且只有一个正确，则
（1）p 正确q 不正确，∴1528
c <≤. （2）q 正确p 不正确，∴1c >.
综上所述，若p 和q 有且仅有一个正确，c 的取值范围是15,(1,)28⎛⎤⋃+∞
⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查由函数的增减性求解参数范围，二次函数恒成立问题的转化，由命题的真假求解参数范围，属于中档题
21．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：
3221805040,[120,144)3120080000,[144,500)2
x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴5000元；（2）每月处理量为400吨时，平均成本最低.
【解析】（1）利用：（生物的柴油总价值）-（对应段的月处理成本）=利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）÷（月处理量）=每吨的平均处理成本，即为
y x ，计算y x
的最小值，注意分段. 【详解】
（1）当[200,300)x ∈时，该项目获利为S ，则()2211S 2002008000040022x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭
∴当[200,300)x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利
当300x =时，S 取得最大值5000-，
所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
21805040[120,144)3180000200[144,500)2
x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩ 当[120,144)x ∈时，
()221180504012024033x x x y x =-+=-+ 所以当120x =时，y x
取得最小值240； 当[144,500)x ∈
时，1800002004002002002y x x x =-+≥=-= 当且仅当800002x x =，即400x =时，y x
取得最小值200 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【点睛】
本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.
22．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1
a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x
=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
（II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x --
>+ 设(1)()ln 1
a x g x x x -=-+，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)
a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=， （i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()
g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >；
（ii ）当2a >时，令()0g x '=得
1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <.
综上，a 的取值范围是(]
,2.-∞
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．。