2019版高考数学(理科)一轮复习通用版：“数列”双基过关检测

“数列”双基过关检测
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3da 1＋4d ＝24，
6a 1＋6×52d ＝48，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1＋7d ＝24，
2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.
2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( )
A ．3 B.17
C ．9
D ．13
解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.
3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝(
) A ．8 B ．6
C ．4
D ．2
解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8. 所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.
4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( )
A ．53
B ．54
C ．55
D ．109
解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，
各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( )
A ．44
B ．45
C.13×(46－1)
D.14×(45－1)
解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.
当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，
即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a
73＝3×4
53＝45.
6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n ＝n n ＋1，则a 5b 5
等于( ) A.34 B.56
C.910
D.1011
解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5，∴a
5b 5＝S 9T 9＝910.
7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )
A ．1
B ．2
C ．0或1
D ．0或2
解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1，
所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，
即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，
q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，
解得q ＝－1或±2，
当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0.
当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1.
综上所述，log 4a 3的值为0或1.
8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝(
)
A ．75
B ．90
C ．105
D ．120
解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，
由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，
将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，
从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.
二、填空题
9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，
得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，
两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，
则a n ＝1
3n .
当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝1
3n ，
所以a n ＝13n . 答案：a n ＝13n 10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1， ①
∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)， ②
①－②得a n ＝2a n －2a n －1，
即a n ＝2a n －1.
∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，
∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列， 故a n ＝2n －1. 答案：2n －
1 11．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ， 由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，
故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46.
答案：46
12．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________. 解析：设公比为q (q >0)，
由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，
又a 3＝3，则a 1＝13
， 所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3
＝1213. 答案：
1213
三、解答题
13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18.
(1)求公差d 及通项a n ；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值． 解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2
＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．
14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(－1)n a n 2
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝n 2＋n ， ∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12
n －1＝(n －1)2＋n －1， 两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)． 又∵当n ＝1时，a 12
＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1. ∴a n ＝n ·2n ＋
1. (2)∵b n ＝(－1)n a n 2
＝n (－2)n ， ∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n . －2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1， ∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n ＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)
－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23， ∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋
1＋29.。