《余角和补角》 导学案

《余角和补角》导学案
一、学习目标
1、理解余角和补角的概念。

2、掌握余角和补角的性质，并能运用其解决简单的几何问题。

3、培养观察、分析和推理能力，体会数学在实际生活中的应用。

二、学习重点
1、余角和补角的概念。

2、余角和补角的性质。

三、学习难点
余角和补角性质的应用。

四、知识回顾
1、角的度量单位：度、分、秒。

2、直角的度数为 90°。

五、新课导入
在生活中，我们常常会遇到一些与角的数量关系有关的问题。

比如，在一幅三角板中，有两个角的度数之和等于 90°，而在一些图形中，两
个角的度数之和等于180°。

那么，这些角之间有着怎样的特殊关系呢？今天我们就来学习余角和补角。

六、余角的概念
如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称
互余。

其中一个角是另一个角的余角。

例如，若∠1 ＋∠2 ＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，∠1 是∠2 的
余角，∠2 也是∠1 的余角。

练习 1：
已知∠A ＝ 20°，则∠A 的余角为多少度？
解：因为互为余角的两个角的和为 90°，所以∠A 的余角＝ 90° 20°＝ 70°
七、补角的概念
如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称
互补。

其中一个角是另一个角的补角。

例如，若∠3 ＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，∠3 是∠4 的
补角，∠4 也是∠3 的补角。

练习 2：
已知∠B ＝ 110°，则∠B 的补角为多少度？
解：因为互为补角的两个角的和为 180°，所以∠B 的补角＝ 180°110°＝ 70°
八、余角和补角的性质
1、同角（或等角）的余角相等。

2、同角（或等角）的补角相等。

证明性质 1：
已知∠1 ＋∠2 ＝ 90°，∠1 ＋∠3 ＝ 90°
则∠2 ＝ 90°∠1，∠3 ＝ 90°∠1
所以∠2 ＝∠3
证明性质 2：
已知∠4 ＋∠5 ＝ 180°，∠4 ＋∠6 ＝ 180°
则∠5 ＝ 180°∠4，∠6 ＝ 180°∠4
所以∠5 ＝∠6
练习 3：
已知∠7 与∠8 互余，∠8 与∠9 互余，求证∠7 ＝∠9
证明：因为∠7 与∠8 互余，所以∠7 ＋∠8 ＝ 90°
因为∠8 与∠9 互余，所以∠8 ＋∠9 ＝ 90°
所以∠7 ＝ 90°∠8，∠9 ＝ 90°∠8
所以∠7 ＝∠9
练习 4：
已知∠10 与∠11 互补，∠11 与∠12 互补，求证∠10 ＝∠12
证明：因为∠10 与∠11 互补，所以∠10 ＋∠11 ＝ 180°
因为∠11 与∠12 互补，所以∠11 ＋∠12 ＝ 180°
所以∠10 ＝ 180°∠11，∠12 ＝ 180°∠11
所以∠10 ＝∠12
九、余角和补角的应用
1、在几何图形中，通过寻找余角和补角来求解角的度数。

2、在实际生活中，如测量、建筑等领域，利用余角和补角的知识
解决问题。

例 1：如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠DOE ＝ 90°，
∠AOC ＝ 70°，求∠BOE 的度数。

解：因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠BOD ＝∠AOC ＝ 70°因为∠DOE ＝ 90°，所以∠BOE ＝ 180°∠BOD ∠DOE
＝ 180° 70° 90°
＝ 20°
例 2：在一座灯塔的周围，有一个测量角度的仪器，已知从灯塔顶
端观测到仪器所在位置的角度为 30°，仪器观测到灯塔顶端的角度为150°，求灯塔顶端与仪器所在位置的夹角。

解：因为从灯塔顶端观测到仪器所在位置的角度与仪器观测到灯塔
顶端的角度互为补角，所以灯塔顶端与仪器所在位置的夹角＝ 180°150°＝ 30°
十、课堂小结
1、余角和补角的概念。

2、余角和补角的性质。

3、余角和补角的应用。

十一、课后作业
1、课本 P___练习第 1 5 题。

2、拓展思考：如果一个角的余角比这个角的补角的一半还少20°，求这个角的度数。

通过本节课的学习，我们对余角和补角有了深入的理解，希望同学
们能够在今后的学习和生活中灵活运用这些知识，解决更多与角有关
的问题。